高中物理奥林匹克竞赛专题---振动.ppt课件

1、 世界上有各种各样的振动，简谐振动世界上有各种各样的振动，简谐振动是最简单的振动。是最简单的振动。1.在平衡位置附近来回振动。2.受回复力作用。特点：特点：1.弹簧质量不计。xo弹F Fx x第第1章章 振动振动1 简谐振动的描画简谐振动的描画2.一切弹力都集中在弹簧上。3.质量集中于物体上。4.不计摩擦。 建立坐标系，建立坐标系，o o点选在点选在弹簧平衡位置处。弹簧平衡位置处。xo弹F Fx x振动位移：从振动位移：从 o o 点指向物体所在位置的矢量。点指向物体所在位置的矢量。回复力：回复力：x xF Fk弹kxF弹一维振动一维振动22dtxdaxmkmF弹022xmkdtxd令令mk2

2、0222xdtxd有有简谐振动微分方程简谐振动微分方程xo弹F Fx xma)cos(tAx其中其中A A为振幅，为振幅， 为圆频率，为圆频率，为初相位。为初相位。mk圆频率圆频率只与弹簧振子性质有关。只与弹簧振子性质有关。单位：单位：rad/srad/s解微分方程解微分方程dtdxv)sin(tAdtdxv)sin(tAdtdva)cos(2tA速度与加速度也都速度与加速度也都是周期变化的。是周期变化的。)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAaxa234o,xav,tAAA2v物体分开平衡位置的最大间隔。物体分开平衡位置的最大间隔。单位：米，单位：米，mm物体完成一次全振动所用的时

3、间。物体完成一次全振动所用的时间。单位：秒，单位：秒，s s1秒内物体完成全振动的次数。单位：赫兹，单位：赫兹，HzHz2 简谐振动的振幅周期频率和相位简谐振动的振幅周期频率和相位2T1T12)cos(tAx由由t相位相位初相初相初始条件初始条件0t0 xx0vv)cos(tAx 由由0tcos0Ax)sin(tAvsin0Av时时2020vxA/ /有有AxAvtg/0000 xv0tcos0Axsin0Av时时2+(2+(/ / )2)2 有有22020)/(Avxmk1.圆频率2.周期2Tkm23.频率T1mk21xo弹F Fx x 3 弹簧、单摆、复摆弹簧、单摆、复摆 质量集中于小球质

4、量集中于小球上，不计悬线质量。上，不计悬线质量。取逆时针为取逆时针为 张角张角正向，以悬点为轴，正向，以悬点为轴，只需重力产生力矩。只需重力产生力矩。lg gmT TsinmglM“ 表示力矩与表示力矩与 张角方向相反。张角方向相反。sinmglMlg gmT TJM22dtdJsin22mgldtdJ当当 5时时sin022Jmgldtd2mlJ022Jmgldtd022lgdtd令令lg20222dtd谐振动微分方程谐振动微分方程2T周期周期gl2lg gmT TT1频率频率lg21与质量无关。与质量无关。lg圆频率圆频率 质量为质量为 m m 的恣意物体，绕的恣意物体，绕 o o 点作小

5、点作小角度摆动，质心角度摆动，质心 c c 到轴的间隔为到轴的间隔为 lc lc。oclcg gm重力矩重力矩sincmglMJM22dtdJsin22cmgldtdJ“ 表示力矩与表示力矩与 张角方向相反。张角方向相反。当当 5时时sin022Jmgldtdc令令Jmglc20222dtd谐振动微分方程谐振动微分方程Jmglc圆频率圆频率2T周期周期cmglJ2T1频率频率Jmglc21oclcg gm例：均匀细杆长为例：均匀细杆长为l l、质量为、质量为mm，绕一端作，绕一端作小角度摆动，求周期小角度摆动，求周期T T。解：由解：由cmglJT2,312mlJlg gm2/llc2/3/2

6、2mglmlTgl322将物理模型转变成数学模型。将物理模型转变成数学模型。矢量矢量 A A 以角速度以角速度 逆时逆时针作匀速圆周运动，针作匀速圆周运动，研讨端点研讨端点 M M 在在 x x 轴轴上投影点的运动，上投影点的运动，xoxyAtM初相初相P 4旋转矢量旋转矢量xoxy0MMtAP1. M 点在 x 轴上投影点的运动)cos(tAx为简谐振动。为简谐振动。2. M 点的运动速度)sin(tAv在在 x x 轴上投影速度轴上投影速度AvAv3. M 点的加速度2Aaxoxy0MMtAPa在在x x轴上投影加速度轴上投影加速度)cos(2tAaM点运动在x轴投影，为谐振动的运动方程。

7、M点速度在x轴投影，为谐振动的速度。M点加速度在x轴投影，为谐振动的加速度。结论：结论：2AA谐振动谐振动旋转矢量旋转矢量t+T振幅振幅初相初相相位相位圆频率圆频率谐振动周期谐振动周期半径半径初始角坐标初始角坐标角坐标角坐标角速度角速度圆周运动周期圆周运动周期xoAotxAoxyA1.初始条件0tAx000vcosAA1cos0l0 xootxAoxyA2.初始条件0t00 x00vcos0A0cos2/3 , 2/l, 0sin0Av0sin取取2/2oxyA3.初始条件0tAx000vcosAA1cosxoAlotxAAxootxAoxyA4.初始条件0t00 x00vcos0A0cos2

8、/3 , 2/l,0sin0Av0sin取取2/323例：质量为例：质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k的弹簧的弹簧 组成的弹簧谐振子组成的弹簧谐振子 t = 0时时 质点过平衡位置且向正方向运动质点过平衡位置且向正方向运动求：物体运动到负的二分之一振幅处时求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的最短时间所用的最短时间0ttt67mk67xo解：设解：设 t 时辰到达末态时辰到达末态由知画出由知画出t = 0 时辰的旋矢图时辰的旋矢图再画出末态的旋矢图再画出末态的旋矢图由题意选蓝实线所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为由于由于得得繁复的三角函数的运

9、算用匀速繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的一个运动关系求得圆周运动的一个运动关系求得 简谐振动过程即有动能又有势能，简谐振动过程即有动能又有势能，EkEk、EpEp交替变化。交替变化。221mvEk2)sin(21tAm)(sin21222tmAxoA5 简谐振动的能量简谐振动的能量)(sin21222tAmEkmk2)(sin2122tkAEkkm2otkE221kxEp2)cos(21tAk)(cos2122tkAotkEpEEk 最大时， Ep最小， Ek 、Ep交替变化。周期均为)(sin2122tkAEk2/T)(cos2122tkAEp)(sin2122tkAEkpkEEEotk

10、EpE机械能守恒，谐振机械能守恒，谐振过程保守力作功。过程保守力作功。谐振能量与振幅的平方成正比。谐振能量与振幅的平方成正比。E221kA 质点同时参与两个振动，只研讨两质点同时参与两个振动，只研讨两个同方向同频率的振动合成。个同方向同频率的振动合成。)cos(111tAx)cos(222tAx振动合成振动合成21xxx分振动分振动6 同方向谐振动的合成同方向谐振动的合成1.利用旋转矢量法求合振动xo2A A1A A12A A2A A)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg合成后仍为谐振动，合成后仍为谐振动，角速度不变。角速度不变。)cos(t

11、Ax1.当k212时时, , )cos(212212221AAAAA),2,1,0(k21AA21AA合振动振幅最大。合振动振幅最大。假假设设12AAoxt2.当）（1212k时时, , )cos(212212221AAAAA),2,1,0(k|21AA21AA合振动振幅最小。合振动振幅最小。假假设设0Aoxt例：两同方向、同频率谐振动合成，例：两同方向、同频率谐振动合成，tx3cos41)3/3cos(22tx求：合成谐振动方程求：合成谐振动方程解：合成后解：合成后 不变，不变，)3cos(tAx)cos(212212221AAAAA)03/cos(24224227222112211cosc

12、ossinsinAAAAtg3/cos20cos43/sin20sin45333.0合振动方程合振动方程)33.03cos(72tx 这种振动的合成普通比较复杂，这里这种振动的合成普通比较复杂，这里只讨论只讨论两谐振动的频率两谐振动的频率 1 1、 2 2比较大；比较大；两谐振动的频率相差比较小。两谐振动的频率相差比较小。21 振动合成后，振幅出现时而加强，时振动合成后，振幅出现时而加强，时而减弱的景象而减弱的景象-“拍。拍。1.受力特征：物体受回复力作用kxF2.运动规律：)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAa、TA1.振幅2020vxA2.初相00 xvtg3.圆频率弹簧弹簧单

13、摆单摆mklg4.周期弹簧弹簧单摆单摆kmT2glT22T5.频率弹簧弹簧单摆单摆mk21lg212用数学模型替代物理模型。用数学模型替代物理模型。1.动能)(cos2122tkAEp)(sin2122tkAEk2.势能3.机械能221kAEEEpk1.两同方向同频率谐振动合成)cos(111tAx)cos(222tAx振动合成振动合成)cos(21tAxxx分振动分振动)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtgk21221AAA当当时时|21AAA当当时时)12(12k1.一质点做谐振动，其振动方程为: x =6.010-2cos(t /3 -

14、/4)，(SI)1振幅、周期、频率及初相各为多少？2当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？3质点从平衡位置挪动到此位置所需最短时间为多少？解：解：,m106)1 (2A，3/2,Hz612 2势能势能总能总能由题意，由题意，3 3从平衡位置运动到从平衡位置运动到的最短时间为的最短时间为 T / 8 T / 8。,2/2kxEp2/2kAE,4/2/22kAkx2/Axs75. 08/T2T1,s64/m1024.42x2.一轻弹簧的劲度系数为 200Nm-1，现将质量为 4kg 的物体悬挂在该弹簧的下端，使其在平衡位置下方 0.1m 处由静止开场运动，假设由此时辰开场计时，求：1物体的

15、振动方程自选坐标系；2物体在平衡位置上方 5cm 时弹簧对物体的拉力；3物体从第一次越过平衡位置时辰起到它运动到上方 5cm 处所需求的最短时间。解解: :mk/srad07.711选平衡位置为原点, x轴指向下方如下图 t=0时：1 .00 xsinA;cosA由以上两式由以上两式,m1 .0A振动方程振动方程tx07.7cos1 .0SISI2物体在平衡位置上方 5cm时，弹簧对物体的拉力agmf000v5 .28 .94fsm5 .22xa2而3设t1时辰物体在平衡位置，此时 x =0，tA1cos0或或0cos1t因此时物体向上运动因此时物体向上运动,0v,2/1t再设再设t2t2时辰

16、物体在平衡位置上方时辰物体在平衡位置上方 5 cm 5 cm 处，处，此时此时 x =- 5 cm x =- 5 cm,cos1 .05 .02t即即2/1t即：即：2/1cos2tN2 .29,0v3/22tttt12s074.06/2/3/23/22t3.一质点在 x 轴上作谐振动，选取该质点向右运动经过 A 点时作为计时起点 ( t=0 )，经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后质点第二次经过 B 点，假设知该质点在 A、B 两点具有一样的速率，且AB=10 cm。求:(1)质点的振动方程；(2)质点 A 在点处的速率。解：由旋转矢量图解：由旋转矢量图和和 vAvA= =vBvB 可知可知 T / 2 = 4s T / 2