高中全程复习方略配套课件直线与圆圆与圆的位置关系 (2)ppt课件

1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系内内 容容要要 求求A AB BC C直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系三年三年3 3考考 高考指数高考指数: :1.1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)(1)从方程的观念判别直线与圆的位置关系：即把圆的方程与从方程的观念判别直线与圆的位置关系：即把圆的方程与直线的方程联立组成方程组，转化成一元二次方程，利用判别直线的方程联立组成方程组，转化成一元二次方程，利用判别式式判别位置关系判别位置关系. .0 0直线与圆直线与圆_；0 0直线与圆直线与圆_；0 0直线与圆直线与圆_._.相交相交相切相切相离相离(2)(2)从几何的观念判别直

2、线与圆的位置关系：即利用圆心到直线从几何的观念判别直线与圆的位置关系：即利用圆心到直线的间隔的间隔d d与半径与半径r r比较大小来判别直线与圆的位置关系比较大小来判别直线与圆的位置关系. .d dr r直线与圆直线与圆_；d dr r直线与圆直线与圆_；d dr r直线与圆直线与圆_._.相交相交相切相切相离相离【即时运用】【即时运用】(1)“k=1(1)“k=1是是“直线直线x-y+k=0 x-y+k=0与圆与圆x2+y2=1x2+y2=1相交的相交的_条件条件. .(2)(2)知点知点M(x0,y0)M(x0,y0)是圆是圆x2+y2=r2(r0)x2+y2=r2(r0)内异于圆心的一点

3、，那么内异于圆心的一点，那么直线直线x0 x+y0y=r2x0 x+y0y=r2与此圆的位置关系是与此圆的位置关系是_._.【解析】【解析】(1)(1)当当k=1k=1时，圆心到直线的间隔时，圆心到直线的间隔d d 此时直线与圆相交；假设直线与圆相交，那么此时直线与圆相交；假设直线与圆相交，那么解得解得 所以，所以，“k=1k=1是是“直线直线x-y+k=0 x-y+k=0与圆与圆x2+y2=1x2+y2=1相交的充分不用要条件相交的充分不用要条件. .(2)(2)由于点由于点M(x0,y0)M(x0,y0)是圆是圆x2+y2=r2(r0)x2+y2=r2(r0)内的一点，所以内的一点，所以x

4、02+y02r2x02+y02r1+r2 无解无解 外切外切 d=r1+r2一组实数解一组实数解 相交相交 |r1-r2|dr1+r2两组不同的实数解两组不同的实数解 内切内切 d=|r1-r2|(r1r2)一组实数解一组实数解 内含内含 0d|r1-r2| (r1 r2)无解无解【即时运用】【即时运用】(1)(1)思索：假设两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方思索：假设两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方程有何关系？程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x x、y y的二元一次的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程方程，就是

5、公共弦所在的直线方程. .(2)(2)判别以下两圆的位置关系判别以下两圆的位置关系. .x2+y2-2x=0 x2+y2-2x=0与与x2+y2+4y=0 x2+y2+4y=0的位置关系是的位置关系是_._.x2+y2+2x+4y+1=0 x2+y2+2x+4y+1=0与与x2+y2-4x-4y-1=0 x2+y2-4x-4y-1=0的位置关系是的位置关系是_._.x2+y2-4x+2y-4=0 x2+y2-4x+2y-4=0与与x2+y2-4x-2y+4=0 x2+y2-4x-2y+4=0的位置关系是的位置关系是_._.【解析】由于两圆的方程可化为：【解析】由于两圆的方程可化为：(x-1)2

6、+y2=1(x-1)2+y2=1，x2+(y+2)2=4x2+(y+2)2=4，所以，两圆圆心距所以，两圆圆心距 又两圆的半径之又两圆的半径之和和r1+r2=1+2=3r1+r2=1+2=3，两圆的半径之差，两圆的半径之差r2-r1=2-1=1r2-r1=2-1=1，所以所以r2-r1|O1O2|r1+r2r2-r1|O1O2|- k- 时，直线时，直线l l与圆与圆C C相离；相离；当当 即即k=- k=- 时，直线时，直线l l与圆与圆C C相切；相切；当当 即即k- k- 时，直线时，直线l l与圆与圆C C相交相交. .222k05k5,k1k1 2k51,k11252k51,k12k

7、51,k1125125 与圆有关的弦长、中点问题与圆有关的弦长、中点问题【方法点睛】【方法点睛】直线被圆截得弦长的求法直线被圆截得弦长的求法(1)(1)代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于x x的的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长 (2)(2)几何法：设圆的半径为几何法：设圆的半径为r r，弦心距为，弦心距为d d，弦长为，弦长为l l，那么有：，那么有：222121212AB1kxx1kxx4x x .222( )rd .2l【例【例2 2】(2021(2021淮安模拟淮安模拟)

8、)如下图，如下图，知圆知圆E E：x2+(y-1)2=4x2+(y-1)2=4交交x x轴分别于轴分别于A A，B B两点，交两点，交y y轴的负半轴于点轴的负半轴于点M M，过点，过点M M作圆作圆E E的弦的弦MN.MN.(1)(1)假设弦假设弦MNMN所在直线的斜率为所在直线的斜率为2 2，求弦，求弦MNMN的长；的长；(2)(2)假设弦假设弦MNMN的中点恰好落在的中点恰好落在x x轴上，求弦轴上，求弦MNMN所在直线的方程所在直线的方程; ;(3)(3)设弦设弦MNMN上一点上一点P(P(不含端点不含端点) )满足满足PAPA，POPO，PBPB成等比数列成等比数列( (其中其中O

9、O为坐标原点为坐标原点) )，试探求，试探求 的取值范围的取值范围. .PA PBuur uu rg【解题指南】【解题指南】(1)(1)求求M M点的坐标，求点的坐标，求MNMN所在直线的方程，计算圆所在直线的方程，计算圆心心E E到直线到直线MNMN的间隔的间隔d,d,得得 (2)(2)利用中点坐标公式及圆的方程求利用中点坐标公式及圆的方程求N N的坐标，由两点式得弦的坐标，由两点式得弦MNMN所在直线的方程所在直线的方程; ;(3)(3)由由PO2=PAPBPO2=PAPB建立动点建立动点P(x,y)P(x,y)的等量关系，结合点的等量关系，结合点P P在圆内求在圆内求 的取值范围的取值范

10、围. .22MN2 rd ;PA PBuur uu rg【规范解答】【规范解答】(1)(1)在圆在圆E E的方程中令的方程中令x=0,x=0,得得M(0,-1),M(0,-1),又又kMN=2,kMN=2,所以弦所以弦MNMN所在直线的方程为所在直线的方程为y+1=2x,y+1=2x,即即2x-y-1=0.2x-y-1=0.圆心到直线圆心到直线MNMN的间隔为的间隔为 且且r=2,r=2, (2)(2)由于由于yM+yN=0yM+yN=0，所以，所以yN=1yN=1，代入圆，代入圆E E的方程中得的方程中得N(N(2,1).2,1).由由M(0,-1),N(M(0,-1),N(2,1)2,1)

11、得直线得直线MNMN的方程为的方程为x-y-1=0 x-y-1=0或或x+y+1=0.x+y+1=0.2d,5228 5MN2 rd.5(3)(3)易得易得A(- A(- ，0)0)，B( B( ，0)0)，设，设P(x,y),P(x,y),那么由那么由PAPB=PO2PAPB=PO2，得，得 化简得化简得x2=y2+ x2=y2+ 由题意知点由题意知点P P在圆在圆E E内，所以内，所以x2+(y-1)2x2+(y-1)24 4，结合，得，结合，得4y2-4y-34y2-4y-30 0，解得，解得 从而从而33222222x3yx3yxy ,g3213y.22 22PA PBxy3uur u

12、u rg2332y,3).22 【反思【反思感悟】感悟】1.1.此题第此题第(1)(1)问求弦长，求解的关键是利用圆的问求弦长，求解的关键是利用圆的几何性质，因此需求求圆心到弦的间隔几何性质，因此需求求圆心到弦的间隔. .2.2.弦弦MNMN的中点恰好落在的中点恰好落在x x轴上，弦轴上，弦MNMN并不一定垂直于并不一定垂直于x x轴，而只轴，而只能运用中点坐标公式探寻能运用中点坐标公式探寻N N点的坐标点的坐标. .3.3.在求解在求解(3)(3)时，务必留意条件时，务必留意条件“弦弦MNMN上一点上一点P(P(不含端点不含端点) )，其隐含着点其隐含着点P P在圆内运动，可借助此来限定变量

13、在圆内运动，可借助此来限定变量x x、y y的范围的范围. .【变式训练】知圆【变式训练】知圆C C过点过点(1(1，0)0)，且圆心在，且圆心在x x轴的正半轴上，直轴的正半轴上，直线线l:y=x-1l:y=x-1被圆被圆C C所截得的弦长为所截得的弦长为 那么过圆心且与直线那么过圆心且与直线l l垂直的方垂直的方程为程为_._.【解析】设所求直线的方程为【解析】设所求直线的方程为x+y+m=0,x+y+m=0,圆心圆心(a,0)(a,0)，由题意知：，由题意知： 解得解得a=3a=3或或a=-1,a=-1,又由于圆心在又由于圆心在x x轴的正半轴轴的正半轴上，上，a=3,a=3,故圆心坐标

14、为故圆心坐标为(3(3，0)0)，而直线，而直线x+y+m=0 x+y+m=0过圆心过圆心(3(3，0)0)，3+0+m=03+0+m=0，即，即m=-3, m=-3, 故所求直线的方程为故所求直线的方程为x+y-3=0.x+y-3=0.答案：答案：x+y-3=0 x+y-3=02 2，22a1()2a1,2【变式备选】直线【变式备选】直线 截圆截圆x2+y2=4x2+y2=4得到的劣弧的弧长得到的劣弧的弧长为为_._.【解析】由于圆【解析】由于圆x2+y2=4x2+y2=4的圆心坐标为的圆心坐标为(0(0，0)0)，圆心到直线，圆心到直线 的间隔的间隔d d 而圆的半径为而圆的半径为2 2，

15、所以该直，所以该直线截圆所得弦长为线截圆所得弦长为 所以劣弧所对的圆心角为所以劣弧所对的圆心角为 , ,所以所以劣弧所对的弧长为劣弧所对的弧长为答案：答案：3xy2 303xy2 302 33,3 122 232 ，3234.23 23 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系【方法点睛】【方法点睛】1.1.两圆公切线的条数两圆公切线的条数位置关系位置关系内内 含含内内 切切相相 交交外外 切切外外 离离公切线条数公切线条数0 01 12 23 34 42.2.判别两圆位置关系的方法判别两圆位置关系的方法判别两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝判别两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的

16、和与差的绝对值之间的关系求解对值之间的关系求解. .【提示】利用两圆所组成的方程组的解的个数，不能判别内切【提示】利用两圆所组成的方程组的解的个数，不能判别内切与外切、相离与内含与外切、相离与内含. . 【例【例3 3】知两圆】知两圆x2+y2-2x-6y-1=0 x2+y2-2x-6y-1=0和和x2+y2-10 x-12y+m=0.x2+y2-10 x-12y+m=0.(1)m(1)m取何值时两圆外切；取何值时两圆外切；(2)m(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)(3)求求m=45m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长时两

17、圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. .【解题指南】【解题指南】(1)(1)两圆外切那么有两圆圆心距等于两圆半径之和；两圆外切那么有两圆圆心距等于两圆半径之和；(2)(2)两圆内切那么有两圆圆心距等于两圆半径之差的绝对值，公两圆内切那么有两圆圆心距等于两圆半径之差的绝对值，公切线为两圆的方程之差所得的直线方程；切线为两圆的方程之差所得的直线方程；(3)(3)两圆公共弦所在直两圆公共弦所在直线方程为两圆的方程之差所得直线方程，弦长可用几何法求解线方程为两圆的方程之差所得直线方程，弦长可用几何法求解. .【规范解答】两圆的规范方程为：【规范解答】两圆的规范方程为：(x-1)2+(y-3)2=11

18、(x-1)2+(y-3)2=11，(x-5)2+(y-6)2=61-m(x-5)2+(y-6)2=61-m，圆心分别为，圆心分别为M(1,3)M(1,3)、N(5,6)N(5,6)，半径分，半径分别为别为 (1)(1)当两圆外切时，当两圆外切时，解得：解得：m=25+10 .m=25+10 .(2)(2)当两圆内切时，因定圆的半径当两圆内切时，因定圆的半径 小于两圆的圆心距小于两圆的圆心距5 5，因此，有因此，有 解得：解得：m=25-10 m=25-10 ；1161m.、225 1631161 m，111161 m115 ，11由于由于 所以两圆公切线的斜率一定为所以两圆公切线的斜率一定为

19、，设切线，设切线方程为方程为 那么有那么有解得：解得：容易验证当容易验证当 时，直线与后一圆相交，故所求公切线时，直线与后一圆相交，故所求公切线方程为方程为即即4x+3y+5 -13=0.4x+3y+5 -13=0.MN633k5 14，434yxb3 ，241 3b3114( )13 ，135b11.33135b11334135yx11,333 11(3)(3)两圆的公共弦所在直线的方程为：两圆的公共弦所在直线的方程为：(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10 x-12y+45)=0,(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10 x-12y+45)=0,即即4x+3y-23=

20、0,4x+3y-23=0,所以公共弦长为：所以公共弦长为：222243 323211()2 7.43 【反思【反思感悟】感悟】1.1.处理此题主要是利用两圆的不同位置关系所满处理此题主要是利用两圆的不同位置关系所满足的圆心距与半径的几何关系求解足的圆心距与半径的几何关系求解. .2.2.当两圆相交时，其公共弦方程可利用两圆的普通方程相减得到当两圆相交时，其公共弦方程可利用两圆的普通方程相减得到. .【变式训练】设圆【变式训练】设圆C2C2经过点经过点A(4,-1)A(4,-1)且与圆且与圆C1C1：x2+y2+2x-6y+5=0 x2+y2+2x-6y+5=0切于点切于点B(1,2)B(1,2

21、)，求圆，求圆C2C2的方程的方程. .【解析】由平面几何知识可知：【解析】由平面几何知识可知：C1C1、B B、C2C2三点共线，又三点共线，又BC1BC1的的方程为：方程为：x+2y-5=0 x+2y-5=0，ABAB的垂直平分线方程为：的垂直平分线方程为：x-y-2=0 x-y-2=0，由，由 得得即即C2(3,1)C2(3,1)；又又|C2A|= |C2A|= 所以所以r=r=圆圆C2C2的方程为：的方程为：(x-3)2+(y-1)2=5.(x-3)2+(y-1)2=5.x2y50 xy20，x3y1，5,5,【创新探求】直线与圆的位置关系的创新命题【创新探求】直线与圆的位置关系的创新

22、命题【典例】【典例】(2021(2021江苏高考江苏高考) )集合集合A=(x,y)|A=(x,y)|x,yR, B=(x,y)|2mx+y2m+1,x,yR,x,yR, B=(x,y)|2mx+y2m+1,x,yR,假设假设AB,AB,那那么实数么实数m m的取值范围是的取值范围是_._.222mx2ym ,2【解题指南】此题调查的是直线与圆的位置关系，解题的关键【解题指南】此题调查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是找出集合所代表的几何意义，然后结合直线与圆的位置关系，是找出集合所代表的几何意义，然后结合直线与圆的位置关系，求得实数求得实数m m的取值范围的取值范围【规范解答】【规范解答】

23、AB,A,m2AB,A,m2m m 或或m0.m0.显然显然B.B.要使要使AB,AB,只需圆只需圆(x-2)2+y2=m2(m0)(x-2)2+y2=m2(m0)与与x+y=2mx+y=2m或或x+y=2m+1x+y=2m+1有交点，即有交点，即 或或m,21222m|m|212mm ,2又又m m 或或m0,m0, m m当当m=0m=0时，时，(2(2，0)0)不在不在0 x+y10 x+y1内内. .综上所述，满足条件的综上所述，满足条件的m m的取值范围为的取值范围为答案：答案：22m22.2121222.1,22 .21,22 .2【阅卷人点拨】经过对此题的深化研讨，我们可以得到以

24、下创【阅卷人点拨】经过对此题的深化研讨，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：新点拨和备考建议：创创新新点点拨拨本题有以下两处创新点：本题有以下两处创新点：(1)(1)考查形式的创新，以集合的形式给出了几何图形，且考查形式的创新，以集合的形式给出了几何图形，且两几何图形常见但不落俗套；两几何图形常见但不落俗套；(2)(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线与圆的位置考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线与圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆、直线与圆环关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆、直线与圆环的位置关系；同时还考查分类讨论思想的应用的位置关系；同时还考查分类讨论思想的应用. .

25、 备备考考建建议议 解决直线与圆的位置关系问题时，要注意以下几点：解决直线与圆的位置关系问题时，要注意以下几点：(1)(1)根据题设条件，合理选择利用代数方法还是利用几何根据题设条件，合理选择利用代数方法还是利用几何方法判断其位置关系；方法判断其位置关系；(2)(2)凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对位置凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对位置关系的影响，以便确定是否分类讨论关系的影响，以便确定是否分类讨论. .1.(20211.(2021泰州模拟泰州模拟) )假设直线假设直线ax+by=1ax+by=1过点过点A(b,a)A(b,a)，那么以坐标，那么以坐标原点原点O O为圆心，为圆心，OAOA长为半径的圆的面积的最小值是长为半径的圆的面积的最小值是_._.【解析】由题意可知【解析】由题意可知ab+ba=1,ab+ba=1,即即2ab=1,2ab=1,又又 故所求故所求圆的面积圆的面积S=(a2+b2),S2ab=.S=(a2+b2),S2ab=.答案：答案：22OAba ,2.(20212.