例谈立体几何中的转化

1、例谈立体几何中的转化立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何 教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。 立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化, 具体从以下几个方面入手。1、位置关系的转化线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位 置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。例1已知三棱锥 S ABC中，/ ABC = 90°侧棱SA丄底面ABC，点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F。求证EF丄SC。分析： A、E、F三点不共线，AF丄SC,要证EF

2、丄SC,只要证 SC丄平面AEF ,只要证SC±AE （如图1）。又 BC 丄 AB , BC 丄 SA , BC 丄平面 SAB , SB是SC在平面SAB上的射影。只要证 AE丄SB （已知）， EF丄SC。例2设矩形ABCD , E、F分别为AB、CD的中点，以EF为棱将矩形 折成二面角A EF 6（如图2）。求证：平面 ABiE /平面CiDF。 分析一（纵向转化）：/AE / DF, AE 二平面 CiDF, AE /平面 CiDF.同理，BiE/平面 CiDF , 又 AEAB iE = E ,平面 ABiE/ 平面 CiDF。分析二（横向转化）： AE / EF, Bi

3、E 丄EF，且 AEAB iE= E,. EF 丄平面 CiDF。 同理，EF丄平面CiDF。平面ABiE /平面CiDF。2、降维转化由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题。例 3 如图-3，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AB=BC= 2 , BBi=2，乙 ABC =90 ,E、F分别为AAi、CiBi的中点，沿棱柱的表面从E至U F两点的最短路径的长度为. 3,22分析：这类问题通常都是将几何体的侧面展开

4、成平面图形来解决。又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。例4如图-4直四棱柱 ABC AiBiCi Di中，AAi = 2 ,底面ABCD是直角梯形，/ A是直角，AB|CD ,AB=4 , AD=2 , DC=i，求异面直线 BCi与DC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）解：由题意AB/CD , - Ci BA是异面直线BCi与DC所成的角连结ACi与AC,在Rt ADC中，可得 AC = 5 ,又在Rt ACCi中，可得 ACi=3.在梯形 ABCD中，过 C作CH/AD 交AB于H,得.CHB =90 ,CH =2,HB =3, C

5、B = 13图-4又在Rt'CBG中，可得BC, = 17 ,AB2 BC； - AC； 在. ABC,中,cos ABC,-2AB BC,3、1717ABG3.17arccos .17异而直线BC1与DC所成角的大小为。实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。3、割补转化割形”与补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过割'或补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。例5如图5,三棱锥 P ABC中，已知 PA丄BC , PA= BC = n,PA与BC的公垂线ED = h,1求证：三棱锥 P AB

6、C的体积V =匚n2h6此题证法很多，下面用割补法证明如下：分析一：如图 5,连结 AD、PD,v BC丄DE , BC丄AB , BC丄平面 APD，又DE丄AP ,V P ABC = V B APD + VCAPD =3 BC APD = 6丄n2h图一6分析二：如图6,以三棱锥P ABC的底面为底面，侧棱 PA为 侧棱，补成三棱拄 PB1C1 ABC，连结EC、EB,则易证 AP丄平面EBC , V三棱拄=APSebc = 2 n2h。1 V p ABC = 3 V 三棱拄4、等积转化等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。立体几何中的等积转化”（或称等积变

7、换）是以面积、体积（尤其是四面体的体积）作为媒介，来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决。例6如图7,已知ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别 为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥 A1 EBFD1的体积。略解：易证四边形 EBFD1是菱形，连结 A1C1、EC1、AC 1、AD 1,则V A1-EBFD1 =2V A-EFD =2V F- A1ED1 =2V C1- A1ED1图一8=2V E- A1C1D1 =V A-A1C1D1 = 6v 正方体ac1 = 6 a3。5、抽象向具体转化例7 A、B、C是球O面上三点，弧 AB、AC、BC的度数分别 是90°

8、; 90° 60°求球O夹在二面角 B AO C间部分的体 积。分析：此题难点在于空间想象，即较抽象。教师引导学生读题：条件即/ AOB = Z AOC = 90°/ BOC = 60°然后给出图形（如 图8）,则可想象此题意即为用刀沿60。二面角，以直径为棱2兀r3将一个西瓜切下一块，求这一块西瓜的体积，（答：9 ）。问题于是变得直观具体多了。例8三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成60°角，求此直线与另外一条直线所成的角。分析：由条件想象到长方体的三条棱也两两垂直，于是问题可以转化为如下问题：长方体一条对角线与同一顶点上的三条棱

9、所成的角分别是60° 60° a,求a的大小。根据长方体的性质，有 COS a+ cos60°+ cos60°= 1，可求得 a= 45°立体几何的教学，关键是要调动学生的学习兴趣，让他们学会联想与转化。立体几何的许多定理、 结论源自生活实际， 源自平面几何，要教会学生联想实际模型，联想平面几何中已经熟悉的东西，借助可取之材来建立空间想象， 加强直观教学，这样就容易让学生接受， 让他们喜欢上这一门学科， 从而更有效 地培养他们的空间想象力，提高他们解决立体几何问题的能力。立方体在高考题中立方体是高中课本里空间图形中的最基本、最常用、最重要的几何

10、体首先：其本身中的点、线、面的位置关系包涵了空间图形中的所有的位置关系其次：它与代数（如：不等式、函数与数列、排列组合等）、三角、解析几何有着密切联系 因而是高考命题的热点下面从数学思想方法方面探究其重要性一体现数形结合思想1 . 2004年天津卷 如图，在棱长为2的正方体ABCD - AB1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点那么异面直线OE和FD1所成的角二的余弦值等于(A)、105.15(B)54(C)5(D)3分析：可建立空间直角坐标系（如图）,转化为空间向量的 数量关系运用数量积来求解，可得OE=( 1,1,1), FD1 =( 1,0,2)OE = J

11、3,Fd1 5,有 OE FD1 =( 1,1,1) (-1,0,2)=3又 OE FD1 = 3 5 cos -:3 5cos71 =3-15即cos v =.故选（B）5注：立方体具有的直观性特点从垂直联想到运用向量法求解(将形和数很好地结合起来 )是个好方法2.2003年全国卷(一个四面体的所有棱长都为、2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为(A) 3二(B) 4 二(C) 3 3(D) 6 二分析：本题中没有立方体，可充分挖掘是正四面体特点补形成立方体 . 如图，将正四面体 ABCD补成立方体，则正四面体、立方体的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体的棱长为2,所以正方体棱长

12、为1,从而外接球半径R=，得 S球=3二.故选(A).2BAC注：补形割体”构造模型，进行适当的变形为熟悉的模型从而很方便地进行计算使问题得到顺利的解决，是处理空间图形中惯用的手段.二体现转化与化归思想3. 2003年全国(理)(16).下列5个正方体图形中，I是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出丨面MNP的图形的序号是 (写出所有符合要求的图形序号)NnIM .尤P-N4. 2004年北京卷(4)如图，在正方体 BC与直线C1D1的距离相等，则动点分析：易知是合要求的，由于五个图形中的丨在同一位置，只要观察图 中的平面MNP哪一个和中的平面 MNP平行(转化为面面平

13、行)即可.故为： 注：本题中选中平面 MNP作为 参照系”可清淅解题思路，明确解题目标P到直线ABCD-A 1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P的轨迹所在的曲线是(A) 直线(B) 圆(C) 双曲线(D) 抛物线分析：易知P到直线C1D1的距离为：PC1 .由C1是定点，BC是定直线.条件即动点P到定点C1的距离等于到定直线 线的定义，化归为抛物线问题.故选(D) 注：立几中的解几问题是近年来才露脸的题型和解析几何所有知识内容，更要有跳跃的思维，较强的转换能力 三体现分类讨论思想5. 2000年全国卷(16)如图，E、F分别为正方体的面 ADD1A、面BCC1B1的中心，则四边

14、形 BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 。(要求：把可能的图的序号都填上)分析：因正方体是由三对平行面所组成，所以只要将四边形 BFD1E在三个方向上作投影即可，因而可 分为三类情况讨论.在面ABCD上作投影可得(平行四边形).在面ADD1A上作投影可得(线段).在面ABB1A上作投影可得(平行四边形).故可填为：注：截面、射影的问题是空间图形和平面问题间变换的一种重要题型，象本题一样的定性分析题一定要抓住图形的特性(平行、垂直等)进行分析6. 2004年湖南卷(10)从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为(A)56(B) 52(C)48(D)40分析：可将合

15、条件的直角三角形分为两类：第一类：三个顶点在正方体的同一个面上时有：6C：=24个.第二类：三个顶点在正方体的相对的两个面上时，直角三角形所在的平面一定是正方体的对角面，因而有：6X4=24 个.故共有：24+24=48个.从而选(C)注：以几何体为载体考查排列与组合的有关问题是高考的传统题型，要做到不重复不遗漏地分类并且注意几何体的结构特点去求解.四体现函数与方程思想7. 2002全国卷(18)如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直 点M在AC上移动，点N在BF上移动，AF若 CM 二 BN = a (0 ： a 2).(1 )求MN的长；(2)当a为

16、何值时，MN的长最小；分析：将图形补成为正方体 (如图)运用函数思想 求解.(1 )作 MK丄AB于K,连KN.由面 ABCD丄面 ABEF得MK丄KN.从而MN =JmK2+KN2又由BKKACM J"得 KN AF.MA NF从而KNJ2=BK =-|BN =<2a2MK将代入有MN=(J2 a)? + a = £ a? _2a +1 为所求.(2)运用函数配方法，由(I)知 MN=Ja2-忑a + 1.配方有州=店_*2+扌有即当MN取最小值注：对空间图形中含有一些动态”因素(象距离、角度等)的问题，可考虑能否把这一动源作为自变量，构造目标函数，用函数的思想来处

17、理8. 2004年湖北(18)如图，在棱长为 1的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是 棱CD上的动点试确定点F的使得D1E丄平面AB1F.分析：以A为坐标标原点，建立如图所未的空间直角坐标系 运用方程思想(借助向量的数量积)求解设 DF= x，则 A (0, 0, 0), B1 (1, 0, 1),D1 (0, 1, 1), E 1,1,0 ；, F ( X , 1 , 0)< 2丿D1EAF =(x,1,0).Y于是D1E丄平面ABF二D1E AF =0 =1,丄1 j.(x,1,0)=0二I 2丿” 1既x故当点F是CD的中点时，D1E丄平面AB1F.2在

18、近几年的高考试题中，立方体不仅包涵了所有的数学思想方法，密切了与中学数学中其它内容的联系更体现着从静到动，从单一到多方面，从立方体本身应用问题到利用立方体去解决问题的发展变化仔细研究这些变化对学好空间几何无疑是有裨益的几点思考：1加强对立方体的研究，对空间图形的研究以培养学生的空间想象能力，数形转换能力与逻辑思维能力 对立方体本身的研究：女口：立方体的内切球，外接球，球与立方体的棱相切等；立方体与正四面体的联系； 以正方体各面的中点为顶点可构成正八面体等对空间图形问题中解题方法的研究：以立方体为载体的方法有：平移求角法，割体补形法，面积射影法2( .2 a)2体积相等法，侧面展形法，转化化归法，空间向量法等构造立方体以解决有关冋题（第册下B P19 3）已知三个平行平面a B、丫与两条直线 > m分别相交与m共面去理解于点A、B、C和点D、E、F（