时间序列分析模型

1、 时间序列分析 时间序列的线性模型时间序列的线性模型 模型的阶数模型的阶数 模型阶数的确定模型阶数的确定 模型参数的估计模型参数的估计 模型的检验模型的检验 平稳时间序列的预报平稳时间序列的预报 非平稳时间序列及其预报非平稳时间序列及其预报 时间序列的线性模型 自自回归模型回归模型AR(p) 滑动平均模型滑动平均模型MA(q) 自回归滑动平均混合模型自回归滑动平均混合模型ARMA(p, q)一、自回归模型一、自回归模型AR(p) 设Xt为零均值的实平稳时间序列，阶数为阶数为P的自回归的自回归模型模型定义为) 1 . 5(,aXXXXtptp2t21t1tst, 0st,aa E, 0a E2a

2、tst. ts, 0Xa Ets 模型(8.1)简记为AR(p)，它是一个动态模型，是时间序列Xt自身回归的表达式，所以称为自回归模型。满足AR(p)模型的随机序列称为AR(p)序列序列，其中 k，k=1, 2, , p 称其中为自回归系数自回归系数。从白噪声序列at所满足的条件看出， at之间互不相关，且at与以前的观测值也不相关，因此， at也称为新信息序列新信息序列，它在时间序列分析的预报理论中有重要意义。 为方便起见，引进延迟算子的概念。令BXt=Xt1， B2Xt=B(BXt)=Xt2.一般地有BkXt=Xtk, (k=1, 2, )，称B为一步一步延迟算子延迟算子，Bk为k步步延迟

3、算子延迟算子。 于是(5.1)式可表为(B)Xt=at (5.2)其中 (B)=11B pBp. (5.3) 平稳性条件平稳性条件：若(5.2)式中， (B)=0的根全在单位圆外，即所有根的模都大于1，则称此条件为AR(p)模型的平稳性条件。当模型(5.2)满足平稳性条件时， 1(B)存在且一般是B的幂级数，于是(5.1)式又可写成是Xt= 1(B)at,称为AR(p)模型的逆转形式逆转形式。 模型(5.2)可以看作是把相关的序列Xt变为一个互不相关序列at的系统。二、滑动平均模型MA(q) 设Xt为零均值的实平稳时间序列，阶数为阶数为q的的滑动平滑动平均模型均模型定义为)4 . 5(,Xaa

4、Xqtq1t1tt其中 k，k=1, 2, , q 称为滑动平均系数滑动平均系数，并简记模型(5.4) 为MA(q)。满足MA(q)模型的随机序列称为MA(q)序列。序列。用延迟算子表示， (5.4)式可以写成 Xt=(B)at (5.5)其中 (B)=11B pBq. (5.6) 对于由(5.5)式决定的MA(q)模型，若满足(B)=0的根全在单位圆外，即所有根的模都大于1，则称此条件为MA(q) 模型的可逆性条件可逆性条件。当模型(5.5)满足可逆性条件时， 1(B)存在，此时(5.5)式可以写成at=1(B)Xt,它称为MA(q)模型的逆转形式逆转形式。 模型(5.5)中的Xt可以看作是

5、白噪声序列at输入线性系统的输出。三、自回归滑动平均混合模型ARMA(p, q) 设Xt为零均值的实平稳时间序列， P阶自回归阶自回归q阶滑阶滑动平均混合模型动平均混合模型定义为)7 . 5(,aaaXXXqtq1t1tptp1t1t其中(B)和(B) 分别为(5.3)式和(5.6)式所表示 ，且它们无公因子， (B)满足平稳性条件， (B)满足可逆性条件。模型(5.7)记为ARMA(p, q)。满足ARMA(p, q)模型的随机序列称为ARMA(p, q)序列序列。或 (B)Xt=(B)at (5.8) 显然， ARMA(p, 0)=AR(p)； ARMA(0, q)= MA(q)。 如同平

6、稳过程的时域分析与频域分析有对应关系一样，ARMA(p, q)序列与具有有理谱密度的平稳序列之间也存在对应关系。那么，一个平稳序列在什么条件下是ARMA(p, q)序列呢？ 定义定义5.1 设Xt为零均值实平稳时间序列，它的谱密度f()是ei2的有理函数:)9 . 5(,2121,| )e (| )e (|)(f22i22i2a其中()和( )是形如(5.3)式和(5.6)式的多项式，且它们无公因子， () 满足平稳性条件，( )满足可逆性条件。则称Xt是具有有理谱密度的平稳序列。 定理定理5.1 均值为零的平稳时间序列Xt满足(5.8)式的充要条件是： Xt具有形如(5.9)式的有理谱密度。 证明略8