补充构造异面直线所成角的几种方法

1、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。一.异面直线所成角的求法1、正确理解概念(1)在异面直线所成角的定义中，空间中的点O是任意选取的，异面直线 a和b所成角的大小，与点O的位置无关。(2)异面直线所成角的取值范围是(0 ,902、熟练掌握求法(1)求异面直线所成角的思路是： 通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。(2)求异面直线所成角的步骤：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。因为异面直线所成的角的范围是0。<

2、<90° ,所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角 作为异面直线所成的角。3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例 1 如图，长方体 ABCDAiBiCiDi 中，AAi=AB=2,AD=1,点 E、F、G 分别是DDi、AB、CCi 的中点，则异面直线 BiE与GF所成角的余弦是 有勇气承担命运这才是英雄好汉。16例2已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图 SA = SB = SC,且 ASB= BSC= CSA = _ , M、N分别是AB和SC的中点.求异面

3、直线SM与BN所成的角的余弦值.例3长方体 ABCD球AiBiCiDi中，若 AB=BC=3 , AAi=4 ,求异面直线 BiD与BCi所成角的大小A.D.aJA例4如图，PA 平面ABC ,ACB 90 且 PA ACBCa ,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于练习:1.在棱长为1的正方体 ABCD AiBiCiDi中,M和N分别为Ai Bi和BBi的中点，那么直线 AM与CN（A）23所成角的余弦值是（第i题）Fi分别是AiBi、AiCi的中点2 .如图，AiBiCi ABC是直三棱柱（三侧面为矩形），/BCA=90。，点Di、若BC=CA=CC i,贝U BDi与AFi所成角的余弦

4、值是（）（得3 .正方体ABCD AiBiCiDi中，直线 BCi与AC（D）异面但不垂直（A）相交且垂直（B）相交但不垂直（C）异面且垂直4 .设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：如果 a_Lb、b_Lc,贝U a/c；如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线;如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面在上述四个命题中，真命题的个数是 （）(A)4(B)3(C)2(D)1(E)05 .如果直线l和n是异面直线，那么和直线 1、n都垂直的直线（A）不一定存在（B）总共只有一条（C）总共可能有一条，也可能有两条（D）有

5、无穷多条6 .如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果 E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线 EF与SA所成的角等于(A)90 °(B)60 °(C)45 °(D)307 .右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，BM与ED平行； CN与BE是异面直线;CN与BM成60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是(A)(B) (C)(D)8 .如图，四面体 ABCD 中，ACLBD,且AC = 4, BD=3, M、N分别是AB、CD的中点，则求 MN和BD所成角的正切值为9 .异面直线a、b成60 ° ,过空间一点P的直线c与a、b成角

6、都为60° ,则这样的直线c有 条10 .异面直线a、b成60° ,直线c，a,则直线b与c所成的角的范围为（）(A) 30 ° ,90 (B) 60 ° ,90 (C) 30 0 ,60 (D) 60 ° , 120 M 、 N分别是BC和AiCi的中点 求MN 与11 .如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形,ABi所成角的余弦值。=8, AB12 .如图，四面体 ABCD中，E为AD中点，若 AC=CD=DA 成角的余弦值。二.共面、共线、共点问题共点问题：证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点.解决此类问题的一般

7、方法是：先证其中 两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上.共线问题：证明点共线，常常采用以下两种方法：转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理 证得这些点都在这两个平面的交线上；证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其 他的点都在这条直线上.共面问题：证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：根据已知条件先确定一个平面，再证明其他 点或直线也在这个平面内；分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合.1 .如图所示，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E为AB中点，F为AiA的中点.求证：（i） E、C、Di、F四点共面；（2） CE、DiF、DA三线

8、共点。3.已知平面平面I,点A、B，点C 且C l, AB l R 设过 A、b、C2 如图，AB II CD , ABB, CD.线。练习：1 .共点的四条直线最多能确定 个平面。2 .空间四点中，若任意三点不共线，那么经过三点的平面有 个点的平面为 ，则 是（）A.直线AC B.直线BC C.直线CR D.以上全错4.已知ABC三边AB、BC、CA分别交平面于P、Q、R,求证：P、Q、R共线由 AB /.'DC D D1C15.如果ABC和AiBiCi不在同一平面内，且 AAi、BBi、CCi两两相交，求证：三直线 AA 1、BBi、CCi 交于一点。三.平行问题1、线线”的证明：

9、(1)平行四边形法：如图，在正方体ABCD A1B1cl D1中,得四边形ABC1D1为平行四边形，于是BC1/AD1；(2)中位线法：如图，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点Q是PC的中点，则由OQ是 PAC的中位线，得到OQ/PA; 线面”平行法：如图，若B1c1/平面ABCD,过B1cl的平面交平面ABCD于MN,则B1cl / MN ; 面面”法：如图，若平面AB1C1D1 平面ABCD,平面 与平面AB1clD1、平面ABCD分别交于EF、MN,则有 EF/ MN;(5) “平行线分线段成比例定理的推论”：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。如

10、图，在正方体 ABCD A1B1clD1中，E, F分别为面对角DiE AF线 D1B1, AiB 上的动点，且 DiE= AiF,则一-,EB1FBD1E AEAE AF又,故,所以 EF/GB。EBiEGEGFB2、线面”的证明：(i)线线”法：如图,Q为PC的中点，则OQ AP所以OQ 平面PAD;(2)面面”法：如图若AiBiCiDi/平面ABCD,直线MN在平面AiBiCiDi，贝U MN / 平面 ABCD ;3、面面”的证明：线面”法：如图布平面AB1clD1上找到两条相交直线MN、MC1均平行于平面ABCD,则有平面 AB1clD1 平面ABCD ;Ai例题分析：1. a/ ,

11、b/ ，则a与b的位置关系()A.平行B .异面 C .相交 D .以上情况均有可能2. a , b是两条不相交的直线，则过直线b且平行于a的平面()3、已知正方体 ABCD-A'B'C'D'中，E, F分别是 A'B' , B'C'的中点。求证：EF/面AD'CA.有且只有一个B .至少有一个 C .至多有一个D .以上答案都不对ABAB4、如图，已知矩形 ABCD所在平面外一点 P, E、F分别是AB, PC的中点 求证：EF/平面PAD;5.如图，四棱锥 P- ABCD的底面是正方形，点 E、F分别为棱AB、PD的中

12、点。 求证：AF/平面PCE;6、如图，在正方体 ABCD ABC1D1中，E是AA1的中点，求证：A1C/平面BDE。7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB/平面AEC.8.已知正四棱锥 P ABCD, M、N分别是PA、BD上的点，且PM : MA=BN : ND=5 : 8,求证：直线 MNT平面PBC9、正方体 ABCD-A BC1D1,Q分别是正方形 AA1D1D和AiBiCiDi的中心。求证 PQ/平面DD1C1C;110.已知正三棱柱 ABCAiBiCi, D为AC中点。求证：直线 ABi/平面CiDB;11.如图：已知AiBiCi-AB

13、C是正三棱柱,D是AC中点.证明:AB 1 /平面DBCi；D12 .如图，在斜三棱柱 ABC AB1c1中，e、f分别是棱B1c1、A1A的中点，证明A1E /平面B1FC13 .如图，在四才锥P ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E是PC的三等分点，F是PB的中点,求证：AF/面BDE;14、如图PA，平面ABCD ,四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB , PD的中点。求证：AF/平面PCE;15 .如图，平面EFGH分别平行于CD,AB , E,F ,G, H分别在BD,BC,AC,AD上，且CD a , AB的面积最大.b, CDAB .(1)求证：EFGH是矩形；(2)求当点E在什么位置时，EFGH16 .如图，在四棱锥 S ABCD中，SA AB 2 , SB SD 2J2 ,底面ABCD是菱形，且 ABC 60 , E为CD的中点.侧棱SB上是否存在点F, 使得C