傅立叶积分变换

1、第一章傅里叶积分变换积分变换简介所谓积分变换，实际上就是通过积分运算， 把一个函数变成另一个函数的一种 变换这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为:b记为ak(t, )f tdt > F .这里f t是要变换的函数，称为原像函数；F .是变换后的函数，称为像函数； kt,.是一个二元函数，称为积分变换核数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解女口，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、 差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换， 复变函数中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况基于这种思想，便

2、产生了积分变换其主要体现在：数学上：求解方程的重要工具；能实现卷积与普通乘积之间的互相转化工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具§ 1.1傅里叶级数与积分1.傅里叶级数的指数形式在高等数学中有下列定理：定理1.1设fT t是以T 0 ：T ：为周期的实函数，且在-T,T 上满足狄利克雷I 2 2丿条件，即fT t在一个周期上满足：（1连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有限 个极值点则在连续点处，有fT t =:.ancosn t bnsinn t（I）2 山其中 aT 2T fT t dt,an=1fTtcosn tdt n=1,2,1 02t fT t sinn

3、 tdt n 二 1,2.,T -i在间断点to处，（1）式右端级数收敛于fT（to +°）+ fT（to 一0）2ifTt 詣，2 n丄ein ' eJn ta°、2n J： <an ibnein t. . an - ibn e-ln t2 丿an - ibn2C今,则i_li_i 'e ee e又 cos,si n2fT t 八Cnein t+，+cnein 帖 +，)+(ceJ<J+C/e_L2t3+-+c_ne_JnM+，)(2)(2)式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义容易证明Cn可以合写成一个式子，即:T G二匚即仃t e

4、也n=0,_1,_2，.T _22 傅里叶积分任何一个非周期函数 f t ,都可看成是由某个周期函数fT t当TT +8时转化而来的即Tlim fr t = f t .由公式(2)、得:八 Tifr t.jr fTe" d. ein t,T n)2一可知:閃T1f(t )= lim 乞|J2r fT任 e"%i e呻,IF n 4 三V'n令 'n = n，= : n = n ' n ,则，=或 T于是d °0 I"If (t )= lim乞 | 再朴仕I蚀=TT -T n) 2f t叭、Tn S.1 匕：ii t注意到当也CnT

5、O,即Tt °O时,唏(叫)©(% )=J f (l个七习E疋® 2兀 q°从而按照积分的定义,或者（4）可以写为:1Hueii .皿戶石口 L/a e如*沪曲.公式（5）称为函数f t的傅氏积分公式定理1.2若ft在（-R , +R）上满足条件J? t dt收敛,（1） f t在任一有限区间上满足狄氏条件；（2） f t在无限区间（-R, + g）上绝对可积则（5 ）在ft的连续点成里；而在ft的间断点t0处应以f to° f to-0来代替.2上述定理称为傅氏积分定理可以证明，当f t满足傅氏积分定理条件时，公式（5）可以写为三角形式，即1

6、-° -f COS，t - d d 二0 -f t ,在ft连续点处，f(t+0)+f(t 0)其它2 ,其§ 1 2傅里叶积分变换上一节介绍了：当f t满足一定条件时，在f t的连续点处有:1 -be -be.f (t)=書 U LJ " ed 可e% .从上式出发，设(1)1 *f(t戶議LcF® e曲称(1)式，即F 二.；f t e-dt为f t的傅里叶变换简称傅氏变换，记为F =Ff t.1称式，即f (t )=J F ¥吋d为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换 ，记为2兀上0f t =Ff t .(1)式和式，定义了一个变换对FQ和f t也

7、称F2 为f t的像函数;f t为的原像函数，还可以将ft和F 用箭头连接：ft- F 0,t vO性例1求函数f(t)=s的傅氏变换及其积分表达式其中Pe_p, t 王0为指数衰减函数，在工程中常遇到解:根据定义，有0 这个函数称F 二 _. f te4 Ldt 'e-11 'dt =这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据积分表达式的定义，有1 -be .f t = F 鼻 ld 2兀q注意到e1 b = cos t sin 't，上式可得cos t isin t d =丄- :"cost sin ».一：22因此- cos t sin t0,血=*

8、n/2,_Pnet : 0,t =0,t 0.例2求f t i； = Ae的傅氏变换其中代.0 -钟形脉冲函数解：根据定义，有:-.t: 't2 tFQ ： I f te 丄 Nt 二 _Aeetdt,这里利用了以下结果:1 0 .2.傅里叶变换的物理意义如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式毗.*1-be.八二nPft 亍 fd、以及Cn和F的表达式1 T . .Cn =.2TfT tePt n=0,_1,_2,F f tedt,2由此引出以下术语：在频谱分析中，傅氏变换F 又称为f t的频谱函数，而它的模I F Q i|称为f t的振幅频谱（亦简称为谱）.由于 是连续变化

9、的，我们称之为连续频谱 因此对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱.显然，振幅函数| F |是角频率，的偶函数，即| F| =| F -|,| F|的辐角argF称为相角频谱，显然0j f (t bin 国tdt argF = arcta n =_f t cos tdt相角频谱argF Q i是 的奇函数.例3求单个矩形脉冲函数Et§f(t)»0，t a,的频谱图解:F 一 J tedt 二a"aEe2 Jdta旦"ia2sin频谱为 |F | =|竺sin 灼2更深入详细的理论会在有关专业课请画出其频谱图.以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分

10、析中的应用,中详细介绍！§ 1.3单位脉冲函数在物理和工程技术中，有许多物理、力学现象具有脉冲性质.它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等.研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。单位脉冲函数，又称狄拉克(Dirac)函数，简记为:.一函数，便是用来描述这种集中量分布的密度 函数.下面我们通过两个具体的例子，说明这种函数引入的必要性1在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为t = 0)进入一单位电量的脉冲，现在要确定 电路上的电流i(t),以q(t)表示上述电路中的电荷函数 ，贝Uq(t)=

11、弓,1,t=0,由于电流强度是电荷函数对时间的变化率，即i(t)dq(t) _ ljm q(t：t) q(t)dt：t所以，当t=0时，i(t) =0;当t=0时，由于q(t)不连续，从而在普通导数意义下，q(t)在这一点是不能求导数的如果我们形式地计算这个导数，得q(0：t) q(0)At这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度为此，引进一称为狄拉克(Dirac)的函数.有了这种函数，对于许多集中于一点或一瞬时的量，例如点电荷点源，集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等，就能够象处理连续分布的量那样，以统一的方式加以解决1单位脉冲函数的定义 定义1如果函数,.(

12、t)称满足i) 、(t)=0，(当 t=0 时)ii) J6(tdt=1，或者 代(tdt = 1，其中I是含有t=0的任何一个区间，则称§(t) 为：一函数.更一般的情况下，如果函数满足i) 、(t -a) =0, (当 t = a 时)ii) t -adt =1，或者 t - a dt =1，其中I是含有t = a的任何一个区间，则称为、(t -a)函数.在现实生活中，这种函数并不存在，它只是如下特殊规律的数学抽象；在某定点非常狭小 的区域内，所讨论的问题取非常的值； 在这个领域之外，函数值处处为0如函数-丄，a<t<a + h;0(t -a)=h0， t va，t

13、>a +h，则脉冲函数-：h(t - a)的极限为=、(ta),而把、；(t -a)的积分理解为:a:!h帆=h(t -a)dt= a 啊锂-a)dt =特殊情况下，a = 0时有a- I a1dt = 1.h1Ft" h，0 t : h;t : 0,t h,于是*、.；hh 1lhi叫.二 h(t)dt= 0 ：.h(t)dt= 0hdt一般工程上都称一函数为单位脉冲函数，将：一函数用一个长度等于1的有向线段来表示，这线段的长度表示:.一函数的积分值，称为：一函数的强度下面我们推出:.一函数的一个重要结果，称为一函数的筛选性质：若f t为连续函数，则有CO,(t)f t dt

14、 = f 0 .(1)更一般情况，有(ta)f t dt = f a其中ft在t =a处连续由(1)可以求出单位脉冲函数的傅氏变换、；(t - a)、；(t - a)F，二t 】 t etdt=et&=1可见，单位脉冲函数：(t)与常数1构成了一傅氏变换对；同理 ，：(t - a)和e七亦构成了一 个傅氏变换对.同时，若F =2(<、:时，则由傅氏逆变换得1 比1 O0.f (t )=2? L/ ® e d =書 J,頑 ® e d =e 1故1和2 A i<” 也构成了一个傅氏变换对。同理，2二：(；.-：；o)和ei ot亦构成了一个傅氏变换对.需要

15、指出的是，此处的广义积分是按(1)式计算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏变换为广义的傅氏变换 .根据傅氏积分公式，函数 f t能取傅里叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积即实际上这个条件非常强，它要求f t条件较高，因而一些常见的函数都不满足这一点如常数、符号函数、单位阶跃函数及正余弦函数等都不满足绝对可积的条件！如此一来，较强的条件使得傅里叶变换的应用受到限制为克服这一缺陷，我们把单位脉冲函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换中，得到它们的广义傅氏变换0, t<01例i证明单位跃阶函数 u（t）=丿的傅氏变换为 +仍g1, t> 0iw证明：首先注意，这里的变换显然

16、指的是广义变换.我们用考察逆变换的方法证明事1实上，若F,则i©1 说*1°015）=亍/3个"血=口一+向3爬002兀q2兀上0 io1 : 1 1 +=f e1仙d豹+ f 感佃 e1仙doo2 二-：i 2r： -1 二si nt,1d 兀、0灼2为了说明ft二u t，就必须计算积分，由积分，有七灼右灼2:sin t-，t c0; d国=<0,t = 0;712,t°,将此结果代入f t的表达式，当t = 0时，可得f（t）=丄沁也+丄兀也21+12'二 2'二11t 0;i 2兀2t 0,1j这就表明的傅氏变换为i®

17、; 丿 1 f t = u t，因此，u t和构成了一个傅ico氏变换对。所以单位跃阶函数u t的积分表达式可以写成.1 处 si ntot1.ut亠叽2，5例2求正弦函数f t i=sin0t的傅氏变换.氐S七0t解:F =sin jte小dt='eee4tdt2i=1 二 e 0t -e，'”0也2i=一2 - - 0 ?-2 N 亠,:”o=j , N f 亠心0 ，一 ,01.即F sin 0t= i亠八0). 十八0 1.同理，可得F cos，0t = i，山 Q 亠心0、，- - '0 丨注：我们介绍、：一函数，主要是提供一个应用工具，而不去追求数学上的严谨

18、性§ 1 4傅里叶变换的性质为了能更好的用傅里叶变换这一工具解决各类实际问题，它的一些基本性质必须熟练掌握.为了叙述方便起见，假定在这些性质中，凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定 理中的条件，在证明这些性质时，不再重述这些条件.1 线性性质设R、F2 分别是fl t、f2 t的傅氏变换，即F . t 二Fj ,j "，2，其中q,a2是两个常数，则(3.19)F 忖人 t +a2 f2 t iJnaiFi" kazF?".逆变换也具有类似的性质，请写出相应的性质2 位移性质 设F* ti：； = F，则对于实常数t。、0有F« t _t-

19、e j t0F 显而易见，位移公式的作用是：知道了一个函数的变换，便可由此求出其位移函数的变换！同理可得F0 ?=e j t0 f t推论设Ff t i：； = F ,则对于实常数0，有F ：f t cos0t ； =1 F 亠心0 F，；d0 1,F ' f t sin - '0 =2 匸亠心0 - F軽書。1.提示：利用欧拉公式和位移性质容易证明.3微分性质 如果f t在(-R，+ a)上连续或只有有限个可去间断点，且当t > -:时，f t t0，则 F ：f t i F ：f t".证明：根据定义，得Ff t ?=二 f te'dt /-eJ &

20、#39;df (t)' tF!r *rJ'*If=f t 打二- f t -r eJ tdt = F(f t ?.一般地，如果f(n!t 在 (-m , + 8 )上连续或只有有限个可去间断点，且当 :时，有f k t ：r 0 k =012 ,n -1 .则 Ff n t,；=（i）nFlf t ?.类似地可推得象函数的导数公式:4.积分性质fnF inF”f *d t如果当 t；：时，g t 二._f t dt > 0,则5.对称性质F f tdl.1 F：f t /.-i 若 Flf ti； = F，则FF t ； = 2 二f - ，特别地，若f t偶函数，则FF

21、 f .思考题：若 Ff t，问 FT t6相似性质若F f t ： = F，则对于非零实常数a，有F” （at丄F巴,a la丿特别地，若 a - -1,则F* -t：； = F -，称为翻转性质.卷积是积分变换中的一个重要概念，这一运算在实际问题如线性系统分析中有着重要应用.下面着重介绍卷积概念与卷积定理.1.卷积定义设函数f! t , f2 t在整个数轴上有定义，则.Jf2 t - d.称为函数f1 t与f2 t的卷积，记为fi tf2 t .即fl tf2t 二；fi f2td .2 卷积的性质2.1 交换律fi tf2 t =f2 tfit .2.2 结合律fi t f2 tf3 t

22、 = fi tf2 t bf3t.2.3 分配律 fit f2 t f3 tHfi tf2 tfitf3t .2.4卷积满足如下不等式fi (tf2(t W f2(t卜I fi(t p思考题：问f t ' t A?0, t v 0,Q t c 0,例 i 设 fi(t)=f2(t)=求 fi(" f2(t).i,t0;e，t0.解代入定义，计算积分:ttfi t仇 t = fi f2 t - d = 0 i f2 t d t_ 0 0i L - d.；e d =i d t 一0 .3 卷积定理卷积在积分变换中有着十分重要的的应用，主要体现在卷积定理上定理7.3设fi t ,f

23、2 t满足傅氏积分定理中的条件，记Ff, t 1二F ,F f = F-，则F：fi tt ；二 Fi F2 .证明：根据定义，有Ffi tf2:y fi tf2 t e4 ldtUf2td e4 tdt=e" f2 t _ e4 d dt；fiett- eidtld=F1 I.' ! I F2 I.' ： .1.类似地，可以证明1Ff t f2t RF22兀可以将不太容易计算的卷积运算化为普通乘法，这就使得卷积在线性系统分析中成为特别有用的方法解：法一，用卷积定理：1F 仃 tF 'cos 0tF J t /例 2 若 ft = cos - 0t u t ,

24、 求 Ff t2 :1 1u0 i亠心 f 亠c0 2 二i 1 1 1，_. '000“ 二.，.- p 挣心 2ii 而由卷积定理，又有二FFi 。同理可得门u -心0新亠.由此，最终可得法二，用位移公式：F f (t=Fu(t ye' ot - e°t厂1 1 1 02i°例 3 若 f t i；二e" cos 0t u t C 0),求 F'f t 解：因为所以由位移公式傅里叶积分变换内容小结、概念、术语傅里叶积分变换（正变换，逆变换）；原象函数，象函数； S函数（单位脉冲函数）； 卷积；频谱函数；能量谱密度 *，相关函数* 二、公

25、式、定理傅里叶积分公式；S函数性质；傅里叶积分变换性质（线性，微分公式，积分公式，位移公式）卷积定理；三、基本运算用定义直接求简单函数的傅里叶变换用积分变换的性质、卷积定理并结合变换表间接求稍复杂些函数的变换 积分变换求解微分方程§ 1.6傅里叶变换的应用首先可以用傅里叶变换求解微分积分方程，运用傅氏变换的线性性质，微分性质以及积分性质，可以把线性常系数微（积）分方程转化为代数方程，通过解代数方程与求傅氏逆变换，就可以得到原方程的解.另外，傅氏变换还可以用来求解一些数学物理方程.例1求解微分积分方程tax t bx t c x d = f t其中-：:t ”：；Z'，a，b，

26、c均为常数.解：设 X 二Ft=Ff t ，则caiX bXX ：於 i= F ，i«例2求解常微分方程y x?-a2yx = f x , ；im y x = 0, lim y x =0,:：X ：:.解：记F Cy t '. *, F H ,那么方程两端同取傅里叶变换，并注意到条件及线性关系、微分公式，得到：i 2丫心 j- a2Y= F ,即- 2Y i- a2YF P' ,从而将未知函数的常为微分方程化为其象函数的代数方程。求解，得丫一 Ja最后，取逆变换，并应用卷积定理和查表，得y(x)=FYP=-F®)3 ax1汽e=f<2a .丿2a Jf

27、(teaZdt.i22af二- f x -=ff (国仆其次，我们要介绍傅氏变换与逆变换在电路与通讯等方面的应用如对于图1中所示的RLC串联电路，由电流与电阻上的电压、电感上的电压及电容上的电压满足如下的关系式du . diu Ri*, i* C ,u = L ,(1)dt dt用U、I分别表示电压u、电流i的傅氏变换，则由傅氏变换性质，有U 二 Rl,l 二 iC，U,U 二 iL l,i =,(2)而得复阻抗ZR =R,对电阻R,U IZ = =<Zc =1/iCB,对电容 C(3)Zl =ig,对电感L,对于串联电路，因为U U1UZ1IZ2I =乙 z2 I =ZI ,(4)则Z

28、-乙Z2是此电路的等效复阻抗.对于并联电路,因-|1 2Ui U2N NZU /Z1Z2Z而Z勺艺 是此电路的等效复阻抗 以上复阻抗与使用复数欧姆定律求得的是相同的乙+Z2对于图1所示的RLC串联电路，其总复阻抗为Z = ZR ZL Zc1 1二 R iLR i (L),iCC以U入、U出分别表示输入电压u入、输出电压u出(t)的傅氏变换，则入二ZI= |R + iLl，lI,U 出=ZcICcoiC因而得RLC串联电路的频率特性U 出 Z-I Z-1U 入ZIZ 1 - LC 2 iRC 1 * e (1-LC 2)2 (RC )2其中=arctgRC 0,当 1 - LC 2 _0,1 L

29、C 2 二，当 1 LC 2 ： 0,如果将(7)式中的代以p,便得传递函数U 出(P)1U 入(p)1 LCp2 RCp现在介绍用复数欧姆定律来求电路的频率特性若电路中某元件(如电阻R、电感L、或电容C )的实电压、实电路分别为 u = u0 cos( t亠心J、i* = i0 cos( t亠c：2),这里、2表示了 U与i*得位相情况，而U =U0ei(t1),i0eicr；2)(9)叫做复电压与复电流,其中u =ReU上二Re I .对于电阻 R,当u=u0 COS(1),“R 唁cos(1)，对于电容C ,当U二Uo COS(，t亠1),则i* 二 C- -C u0 sin( t 】)

30、二 C，u0 cos(，t ?dtJI)，对于电感L ,当i* = i0 cos( t 笃),则u=Ldu0cos(QL .i0sin( t)dt小兀-C u0cos( t< )，将上述用余弦函数表示的实电压、实电流均表示成指数形式的复电压、复电流R、L、C上的复阻抗,则分别得到(10)U =u°e，I 乂十宀肯I iC 二 Zc, (11)I 皿,UU = iL/： -ZL ,(12)以上三式中复电压 U、复电流I、与复阻抗Z的关系式就称为复数欧姆定律 ，其中所求的 的复阻抗与用傅式变换求得的复阻抗表示式(4.3)完全一样.由此同样可得 RLC串联电路的频率特性，如(4.7)

31、式所示.如果输入实电压口入=u0cost,则复电压U入二U0ert,从(4.7)即得输出复电压UoU°ei( t )出 J(1 LC 2)2 +(RC 巧2(13)U 出（t）二Uo(1-LC，)2 (RC )2这里所说电压的稳态量是指当时间足够长后电压的近似值此外，从上述RLC串联电路的频率特性还可列出描述电路的微分方程，由（7）,可得（1 _LC 2 iRC ）U 出=U 入，即2L LC U 出 RCi U 出 U 出二 U 入，所以输出复电压U出满足复形式的微分方程LCU 出 RCU 出 U 出二 U 入，（15）(16)将上式两边取实部，便得输出电压U出所满足的微分方程LC

32、u 出 RCu 出 u 出=u 入=u0 cos t而（4.14）式所示电压的稳态量实际上是非齐次微分方程（16）的一个特解，略去了齐次方程的那一部分解（当时间足够长，这种解将衰减接近于0）.其次，考虑一种最简单的低通滤波器，如图2所示，当输入电压口入=u0 COS t时,1 1电感L上的阻抗为 L ,电容C上的阻抗为.当频率，较低时，小,而 大，因3 Co1此低频率部分的信号较易通过L ,不易通过C ,当频率较高时，大， 小，因此8高频率部分的信号不易通过L,这样通过负载电阻 R的主要是低频信号.这种特性也可从电路的频率特性看出，以U入、U出分别表示输入复电压与输出复电压，而图5.4.1并臂

33、上的复阻抗与串臂上的复阻抗分别为Zrc 二,Zr = r iL iRC R又电路的总复阻抗为2Z 乂 ZrcR r - RLC， i(rRC L)，1 +iRC ®根据复数欧姆定律,U入二ZI、u出二ZrcI ,因此图541中电路的频率特性为U出uTZrcIZrcZI1- - LC 2 H rCR1 R”2二 arctgi 0,1 十丄一LCco2 KO,J R1 R_lc2r2二，1 LC : 0.R由于U入二u0eLt,从上式可得输出复电压U出二u°ei(tj(18)而输出实电压的稳态量为1 R-lc22 rCu出(t)二 ReU 出(19)Uocos(V),R”2从上

34、式看出：当很大时，的振幅比输入电压的振幅u0小得多，而当，很小时，u»的出出振幅接近于U0：,这也说明了突2中所示的电路是一种低通滤波器.另外，从(17)式，有1 丄 - LC 2rC 丄 _ R.1R U出二U入,由此即可得到输出电压u出所满足的微分方程LCu-1 rC - uI R丿二 u 入=u0 cos t .(20)下面介绍傅氏变换在无线电通讯中的某些应用在近代通讯中，一种传递信号的重要方式是借助于高频电磁波在空间中进行传播，如短波无线电话就是这样，其中还要用到连续信号或脉冲的调制和调解，而在数学理论上则要使用复式分析的方法在§ 2例4中所述的调幅信号f(t)CO

35、Sot就是对连续信号 f(t)用较高频率-'0的余弦波COS ot进行调制，而 脉冲调制是用需要传输的消息信号去调制一串矩形脉冲的某些参量(如幅值、相位等)随消息信号的强弱而变化，以下，我们只讨论脉冲调幅为此，我们来叙述和证明时间抽样定理：设f(t)是一个连续信号，其频率不超过 B赫兹，即其频谱F(co)在Al >B时为0,1则f (t)可以由在时间上离散的、相互间隔为,:t秒的瞬时值2Bf (n =0, _1,_2,|)完全确定，并且有2Bf(t)八fn :n sin(2 二 Bt-n二)2B 2二 Bt -(21)为了导出(21)式，先对f(t)作傅式变换，有F()二f qQ

36、If fedte<oO0,岡 a2兀 B,<2： B,(22)1 严斶f(t)F( )e d 2 :(23)对F(co)在>B上进行以T =4二B为周期的开拓这样就可将F ()在v 2兀B上展成复数形式的复式级数0(24)F()二、其中12 “B_L-F(co)e 2Bd, n = 0,±1,±2,川,(26)将(4.25)与(4.23)进行比较,可知2B . 2B，n 巾-1，-2，川.因此有了样点值 f|2B，n=0,二h 二2, | I (，便得 cn(n =0,二1,二 2,|(),再代入(24),就可求得F( ),即e2B2B；L 2B(27)将(27)代入(23),有f(t)二 14 二 Bn-：(28)2sin，B(t 喘)t 2B_ 品 f( n sin(2 兀 Bt n兀)n* 2B 2 二 Bt- n 二这就是(21)式.从(21)式看出：由信号f(t)的一串样点值,(n =0,±1,±2,川)可以完全确定2Bf(t)，但在实际通信系统中的信号都是限制在间隔T的某段有限时间内，T称为信号的持续时间，而在其他时间内的信号可忽略不计，因此，信号f(t)可由间隔为T