傅里叶变换公式48515

1、第 2章信号分析本章提要信号分类周期信号分析 - 傅里叶级数 非周期信号分析 - 傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析 ：从信号中提取有用信息的方法 和手段§2 1 信号的分类两大类： 确定性信号，非确定性信号 确定性信号 ： 给定条件下取值是确定 的。进一步分为：周期信号， 非周期信号。质量弹簧系统的力学模型 x(t)= Acos Jt + ® om非确定性信号(随机信号)：给定条件下 取值是不确定的按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散, 并用二进制表示。信号描述方法时域描述如简谐信号简谐信号及其

2、三个要素频域描述以信号的频率结构来描述信号的方 法：将信号看成许多谐波（简谐信号）之 和，每一个谐波称作该信号的一个频率 成分，考察信号含有那些频率的谐波， 以及各谐波的幅值和相角。vpage break§ 2-2周期信号与离散频谱一、周期信号傅里叶级数的三角函数形式周期信号时域表达式x(t) = x(t T) = x(t 2T) = x(t nT)(n 八 1, 土 2，)T:周期。注意n的取值：周期信号 无始无 终”#傅里叶级数的三角函数展开式X：x(t)二 a。 ' (an cosn 0t bn sin n 0t)n=1(n=1,2, 3,)傅立叶系数：a。1: x(t

3、)dtT Tan2 2! T x(t)cos n 0tdt2Tbn2 2 J T x(t)sinn 0tdtT 2式中T-周期；o-基频，o=2 /T三角函数展开式的另一种形式:N次谐波的幅值N次谐波的频率Q0X（t）= ao + £/心111 An COS（n级 gP 9 n） 一丁 1、| N次谐波信号的均值，直流分量N次谐波的相角bnarctg一 bnan1, 2, 3,周期信号可以看作均值与一系列谐波之和 -谐波分析法频谱图AZ11* J n1 * * *11国02° 0“国0"0o 2叽1周期信号的频谱三个特点： 离散性、谐 波性、收敛性例1 :求周期性

4、非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图解：非对称周期方波細周期方波解：信号的基频傅里叶系数奇函数：a。bn T1 24 T= To! 4A n为奇数an =t的偶函数 t x(t)sin n 0tdt2A2 Asin n 0tdt1 cosn00 nn0n为偶数n次谐波的幅值和相角bF= b4An(n = 1,3,5/ )最后得傅立叶级数4AAn t| 4A 4A© n '3 51I33 03 3 05 3 01k32n频谱图幅频谱图相频谱图二、 周期信号傅里叶级数的复指数形 式欧拉 4A z、cos(n 0t -)n2(n = 1,3,5,)上=cos t± js

5、in。tcos t 二sin t=1 -itj te e2j eji- ej t2傅立叶级数的复指数形式二 1QOVjn%tX(t)二送Cnen=00(n= 0, ± 1, 士 2, 士 3,)复数傅里叶系数 的表达式1 2co 二 a° 二一2rx(t)dtT -anjbn2T1 2TX(t)ejnotdt其中an, bn的计算公式与三角函数形式相 同，只是n包括全部整数。般Cn是个复数。因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数, 因此#an a-nb-n bn即：实部相等，虚部相反，Cn与C-n共轭Cn的复指数形式Cne共轭性还可以表示为Cn 卜 |Cn|* n 忙n即：

6、Cn与C-n模相等，相角相反。傅立叶级数复指数也描述信号频率结 构。它与三角函数形式的关系对于n>0An（等于三角n 二 arctg（与三角函数形式中的函数模的一半）c心忙n _ - arctg n _ arctg nanan- bnan相角相等）用Cn画频谱：双边频谱第一种：幅频谱图：|Cn|-，相频谱图：旷#§ 2-3非周期信号与连续频谱分两类：a. 准周期信号定义：由没有公共周期（频率）的周期 信号组成频谱特性：离散性，非谐波性判断方法：周期分量的频率比（或周期 比）不是有理数b. 瞬变非周期信号x（切x（t）!x（t）fJ _ttt几种瞬变非周期信号数学描述：傅里叶变换

7、一、 傅里叶变换演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（ 2.22）借助（2.16）演变成：x(t)的傅里叶变换X( 3 )X( 3 )的傅里叶反变换x(t):x(t)二Xf )ej tdoO傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信 号可以分解为角频率，连续变化的无数谐波的叠加 数。Xf )ejid称X()其为函数x(t)的频谱密度函对应关系：1、/ I1jt1jn国 °tIX ()恥 e 二 Lcne-2 一X()描述了 x(t)的频率结构X()的指数形式为X( ) = |x(® )|ej3以频率f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p ), 得X(f )=匚 x(t)ej

8、2"dtx(t)= X(f)ej2 ftdfoOX( f )的指数形式X(f)= |x(f )|ej"频谱图幅值频谱图和相位频谱图：幅值频谱图相位频谱图如果X()是实函数，可用一张X()图表示 负值理解为幅值为X()的绝对值，相角为 7或。二、傅里叶变换的主要性质(一) 叠加性a1x1(tp a2x2(t)-a1X1(f p a2X 2( f)(二) 对称性X(t)-戸-x(-f)(注意翻转)（三）时移性质x（t土 t0）-戸T x（f）e±0ft0（幅值不变，相位随f改变土 2 fto）（四）频移性质x（t）e±j2rft0 -戸t x（f 千 f0）

9、（注意两边正负号相反）（五）时间尺度改变特性1 f x（at）= X（） a a（六）微分性质dnx(t)(j2 f)nX(f) ?dtn（七）卷积性质（1）卷积定义Q0x（t? y（t）亠 x£ ）y（t 八）(2)卷积定理x(t) y(t) fX(f)Y(f)x(t)y(t)X(f) Y(f)脉冲函数及其频谱(一)脉冲函数：x(ty x(t)L-1/s6 (t),1k A$ (t_ to)，/2U2ttot定义函数(要通过函数值和面积两方面定义) 函数值:(t)= 0脉冲强度： (t)dt = 1（二）脉冲函数的样质1.脉冲函数的采性（相乘）样质：函数值:x(t) (t3 0强度

10、：Cx(tr (t - t°)dt= x(t。) (t - t°)dt= x(to)结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x（t）在脉冲发生时刻的函数值2.脉冲函数与任意函数乘积的积分 等于该函数在脉冲发生时刻的的值。2.脉冲函数的卷积性质：(a) 禾I0x(t5 (i)= j x(尸(t 八)dToQCO二 x(t)(右(t 一 £ )dToO=x(t)(b) 利用结论2x(t) (tto)=_;xC ) (t - to- )d=x(t- to)(t- to- )doO=x(t- to)结论：平移（三）脉冲函数的频谱(t) ft(f)=： (t)ej2 *dt= 1均匀幅值谱由此导出的其他3个结果(t t°)ej2ft0（利用时移性质）1 FT> -（利用对称性质）e