质点运动学课后习题解答

1、第一章质点运动学1-1.质点的曲线运动中，下列各式表示什么物理量?dr|dr| dsdrdrd2r；一；t ;dtdt dtdtdtdtdv dv一；一dt dt解:1-2.设质点的运动方程为x =x(t); y = y(t)。在计算质点的瞬时速度和瞬时加速度时，有人先求出r = ylx2 + y2，然后再根据v = 土和a =dtd 2rr 求解。也有人用分量式求解，即dt：(四)2+(宜)2 和 a",dt dtdtd2x 2,d2y 2（F "，问哪种方法正确?解：第二种方法正确231-3.已知质点沿x轴作直线您动，其您动万程为x=2+6t -2t ,式中x的单位为m

2、,t的单位为s .求：(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t = 4 s时质点的速度和加速度.A x2 A x、氏 51' x/m-300 210解：(1)质点在4.0 s内位移的大小Ax = x4 - x()- -32 m工dx c(2) 由=0dt得知质点的换向时刻为tp =2s （ t = 0不合题意）Ax = x2 - 冷=8.0 m此=x4 - X2 = -40 m所以，质点在4.0 s时间间隔内的路程为(3) t = 4.0 s 时a = ax2 ay22=72.1 m sdxv =dt t 40s1=-48 m s

3、a#dt2 tj.os=-36 m.s"21-4. 质点的运动方程为x = 10t 30t22y = 15t -20t2式中x, y的单位为m,t的单位为s .试求：（1）初速度的大小和方向;加速度的大小和方向.解（1）速度的分量式为Vx虫=-10 60t dtVydyy =15-40t dt当t = 0 时，vox = -10 m ,-1V oy = 15 m - s -1 ,则初速度大小为V02 一一iv0y = 18.0 m s设Vo与x轴的夹角为a，则tan a =V0ya =123° 41'（2）加速度的分量式为axdvx2x = 60 m s dtayd

4、Vy - U=-40 m sdt则加速度的大小为设a与x轴的夹角为3，则tan 8 =-ax33 = -33° 41'(或326° 19')2一 21-5 . 一质点的您动学万程为x=t , y=(t1) (S1)。试求：(1)质点的轨迹万程： 在t=2s时，质点的速度和加速度。解 (1)由质点的运动方程.2X =t(1)2_y = t1(2)消去参数t,可得质点的轨迹方程.y = x -1(2)由(1)、(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度dxdyvx = =2tvy =圣=2 t -1dtdt所以V =Vxi Vyj= 2ti

5、 2t -1 j(3)d2xd2ya 2 =2ay =2dtdt所以a =2i - 2j(4)把t=2s代入式(3)、(4),可得该时刻质点的速度和加速度。V - 4 i 2 ja - 2 i 2 j1-6.已知运动函数为r = RcostP+Rsint)t? (R,为常量)，求质点的速度、加速度、切向加速度和法向加速度。d解： 速度：v= r =-R/sin 切t? + Re cos切t?dt速度大小：v = R d22.C加速度：a - 一v - -R sin，ti?- R , cos t?dt2加速度大小：a = Rd切向加速度：a=v=0 ； 法向加速度：a” = ta? _a； =

6、Ro之dt1-7,质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为H=2+3t3 (SI).求：t = 2s时，质点的切向加速度和法向加速度 . 当加速度的方向和半径成 45°角时，角位移是多少?解：质点运动的角速度和角加速度分别为:du 2=9t2dtd -:=18tdt切向加速度:a =业=r： =1 18t =18t dt法向加速度:22 24an=r2=1 (9t2)2 =81t4当t =2s时a：=18t=18 2=36m/s22an=81t4 =81 24 = 1296m/s2 加速度的方向和半径成 45°时，即ar = anV.4-81t =18tt=3.9此时角位移S

7、 2 3t3 =2 3 t3 =2.67rad21-8.飞轮半径为0.4 m ,自静止启动，其角加速度为 3 =0.2 rad - s ，求t = 2s时边缘 上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.解：当 t=2s时，丑=Et =0.2><2 =0.4ad 疽则 v = R =0.4 0.4 = 0.16 m san = R，2 = 0.4 (0.4)2 = 0.064 ma = r'«： =0.4 0.2 =0.08 m s二1-9.飞机以100 ms-1的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100 m时，驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处，问：（1）

8、此时目标在飞机正下方位置的前面多远？（2）投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出2.0 s后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？解：（1）取如图所示的坐标，物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为2x = vt， y = 1/2 gt飞机水平飞行速度 v= 100 ms -1，飞机离地面的高度y= 100 m，由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离2yx = v 452 mg（2）视线和水平线的夹角为0 = arctan y =12.5°x（3）在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为a = arctan火 =arctangtVxv取自然坐标，物品在抛出2s时

9、，重力加速度的切向分量与法向分量分别为虱=gsin a= gsin arctanan =gcos。=gcos arctan您：=9.62 m s'1-10 一质点沿半径为 0.10m的圆周运动，其角位置(以弧度表示)可用公式表示: 0 = 2 + 4t3.求：(1) t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；(2) 当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，。为何值？(3) 在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解：(1)角速度为 3 = d 9/dt = 12t2 = 48(rad s*法向加速度为 an = r w = 230.4(m s-2);角加速度为3 =d co/d

10、t = 24t = 48(rad s-2),切向加速度为 at = r伊4.8(m s-2).(2)总加速度为 a = (at2 + an2)”2,当 at = a/2 时，有 4at2 = at2 + an2,即 an = at必.由此得 r®2=rEj3,即(12t2)2 =24tJ3,解得t3=/6.所以 8 = 2 +4t3 = 2(1 + 后/3)=3.154(rad).(3)当 at = an 时，可得 r 6= r J, 即：24t = (12t2)2, 解得：t = (1/6)1/3 = 0.55(s).1-11. 一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a=2+6x

11、。物体在x=0处的速度为10ms ,求物体的速度与位置的关系。解:dv dv dxdva -一 =v 一dt dx dtdxvdv =adx对上式两边积分得vdv = adx = 2 6x dx化简得 v = , 6x2 4x c由题意知 v x =*6乂02 +40 +c'=10c'=100故物体的速度与位置的关系为v = 6x2 4x 1001-12. 一质点在平面内运动， 其加速度a= axi十ay j ,且ax , a y为常量。(1)求v t和r t的表达式；(2)证明质点的轨迹为一抛物线t=0时，r = ro, v =vo。解：由a=丝得 dtv t v=adt两边

12、积分得v= .adt因ax , ay为常量，所以a是常矢量，上式变为v-vo= at即v = vo+ at,dr由 v= 得 d r =vdt = (v0 + at dt dtrt两边积分，并考虑到 v0和a是常矢量，jdr = L(v0+at Jdt12即 r =r o votat2(2)为了证明过程简单起见，按下列方式选取坐标系，使一个坐标轴(如x轴)与a平行,并使质点在t=0时刻位于坐标原点。1 O q羊x =Gtaxt(1)2y pt(2)由前面推导过程知g =v°x% =v°y(3)联立(1)(3)式，消去参数t得2V0x x2ax2打V0xV0 y2V0yy =

13、axax此即为轨道方程，它为一条抛物线。1-13.在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为a=g-Bv, g为重力加速度，B为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。设t=0时物体的初速度为零。(1)试求物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大？解：(1)由 a =dv/dt 得一业一=dtg -Bv两边积分，得-d = dtg - Bv即ln(g -Bv) = -Bt In c由t=0时v=0得c=g所以，物体的速率随时间变化的关系为g 旦、v =M( -e )B当a=0时有a=g-Bv=0由此得收尾速率v=g/B1-14 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方

14、向做谐振动，其加速度a =-ky , k为常数，y是离开平衡位置的坐标值。设y°处物体的速度为 Vo,求速度v与y的函数关系。解：建立如图坐标，由dv dv dydva = = = v ,dtdy dtdy又 a = -ky所以-ky = v, dyJ (yOrVO)分离变量vdv = -kydy,积分vyv°vdv= y。(-ky)dy所以v2= v。2 -k(y2 -y。2)。21-15火车在曲率半径 R = 400m的圆弧轨道上行驶。已知火车的切向加速度 a =0.2m/s2 ,求火车的瞬时速率为10m/s时的法向加速度和加速度。 v2102O解：法向加速度 an =

15、 = 0.25m/ s400加速度大小 a = . an2 at2 = 0.252 0.22 = 0.32m/s2an0.25口 - arctan = arctan =51.36at0.21-16 一物体做如附图所示的抛体运动，测得轨道上A点处，速度的大小为 V,其方向与水平线的夹角为30七求点A的切向加速度和该处的曲率半径。一.3_ v2=g cos30 = g , P = 2an2、3v2g解：a =gsin30 =0.5gan1-17 一火炮在原点处以仰角饥=30”、初速Vi0=100m/s发射一枚炮弹。另有一门位于 小=60m处的火炮同时以初速 V20 =80m/s发射另一枚炮弹，其仰角 为何值时，能与第 一枚炮弹在空中相碰？相碰时间和位置如何(忽略空气阻力的影响)？解：建立如图坐标，设经过时间t在x处