线性系统理论能控性和能观性学习教案

1、会计学1第一页，共148页。 112240105206 xxuxxyx 112224526 xxuxxuyx 例4.1.1 给定系统的状态空间描述为将其表为标量方程组的形式，有第1页/共148页第二页，共148页。 而由始点达到原点，因而(yn r)系统为完全能控；但输出 都可通过(tnggu)选择输入1x2xuy2x1xy这表明：状态变量和只能反映状态变量状态变量和输出 既无直接(zhji)联系，也无间接联系，所以系统是不完全能观测的。 第2页/共148页第三页，共148页。第3页/共148页第四页，共148页。，则不论电容的初始端电压 。从电路不难看出：如果初始状态例4.1.2 考察图4.

2、1.1所示的电路，系统的状态变量为电容端电压x( )u ty0( )0 x t( )u t0 tt( )0 x tx( )u t输入为电压源输出为电压，那么不管输入是什么，对所有必恒有，即不受影响； ( )0 u t0( )x t0 tt( )0 y t( )x t( )y t另一方面，如果输入是多少，对所有恒有，即不能由 反映。这表明，此电路是状态不能控和状态不能观测的。第4页/共148页第五页，共148页。第5页/共148页第六页，共148页。 转移到任意目标值，但不能将例4.1.3 考虑图4.1.2所示的两个电路。在图4.1.2（a）的电路中，两个状态变量为两电容的端电压 能够做到使1x

3、2xu1x1x2x和，输入或者和 分别转移到不同的任意目标值。 2x1020( )( )0 x tx tu0 tt12( )( ) x tx t12( )( ) x tx t如若(rru)初始状态则不论(bln)将输入取为何种形式(xngsh)，对所有总只能是即不可能做到使。这表明此电路不完全能控。第6页/共148页第七页，共148页。在图4.1.2（b）的电路中， ( )0 u t1020( )( ) x tx t0 i0 tt( )0 y t如若取输入，那么当两个状态变量的初始状态且为任意值时，必定有也即对所有总是有 。这说明，此种情况下的电路状态运动是由输出不能反映的，所以此电路为不完全

4、能观测。第7页/共148页第八页，共148页。 是系统(xtng)在如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态 ，存在一时刻 ,和一个无约束的容许控制 使得系统在这个控制的作用下，系统由出发的运动轨迹经过时间 后由 转移到，则称此 时刻的一个能控状态。JtutBxtAx ,)()(Jt 00 xJt 101tt 10,),(ttttu 0 x01tt 0 x0)(1 tx0 x0t第8页/共148页第九页，共148页。定义 4.1.2 对于(duy)线性时变系统 上是完全能(qunnng)控的。 如果状态空间中的所有非零状态都是在 时刻的能控状态，则称该系统在时刻 是完全能控的。如果对于任何 ，系

5、统均是在 时刻为能控的，则称该系统在区间 JtutBxtAx ,)()()(00Jtt 0t0t,210TTt ,21TT第9页/共148页第十页，共148页。定义4.1.3 对于线性时变系统 取定初始时刻 如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 是不能控的， 则称该系统在时刻 是不完全能控的。 JtutBxtAx ,)()(Jt 00t0t第10页/共148页第十一页，共148页。说明 4.1.1 定义中要求在可找到的输入(shr) 的作用下，使 上的一段有限时间内转移到状态空间的坐标系原点。而对于状态转移的轨迹并不加以限制(xinzh)和规定。这就是说，能控性是表征系统状态运动的一个定

6、性特性。 说明4.1.2 定义中提到的所谓无约束的容许控制，无约束表示对输入的每个分量(fn ling)的幅值不加以限制，即可取为任意大到所要求的值，容许控制则表示输入的所有分量(fn ling)均是在 时刻的非零状态 在上平方可积的。 0t0 xJJu第11页/共148页第十二页，共148页。 来定义的，这对于时变(sh bin)系统是完全必要的。如果所考虑的为线性定常系统，则其能控与否和 说明4.1.3 上述各定义中都是相对于J中的一个取定时刻 时刻的选取无关。0t0t第12页/共148页第十三页，共148页。说明4.1.4 上述定义中都规定为由非零状态转移到零状态(zhungti)，如果

7、将其变更为由零状态达到非零状态(zhungti)，则称这种情况为状态(zhungti)能达的。对于连续的线性定常系统，能控性和能达性是等价的。对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价地的。可以出现这样的情况，系统是不完全能控的，但却是完全能达的。 第13页/共148页第十四页，共148页。说明4.1.5 系统为不完全能控的情况是一种“奇异”的情况，系统中组成元件的参数值的很小的变动（这在实际情况中是完全可能的）都可使其成为完全能控。所以对于一个实际的系统，系统为能控的概率几乎等于1。换句话说，如果随机地选取(xunq)系统地系数矩阵 和 的元，那么使系统为完全能控的概率几乎等于1。 AB第

8、14页/共148页第十五页，共148页。定义(dngy)4.1.4 对于线性时变系统 如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态上的系统输出 可以唯一地决定系统的初始状态 为能观测的。Jt 1Jt 0 ，存在一个有限时刻 ，使得由区间 ，则称此 在时刻 xtCyJttxtxxtAx)(,)(,)(0000 x01tt ,10tt)(ty0 x0 x0t第15页/共148页第十六页，共148页。定义(dngy) 4.1.5 对于线性时变系统 取定初始时刻 及一个非零初始状态，如果对于任何有限时刻 均有 , ，则称此 在时刻 为不能观测的。 xtCyJttxtxxtAx)(,)(,)(000Jt 00

9、 xJt 101tt 0)( ty,10ttt 0 x0t第16页/共148页第十七页，共148页。系统(xtng)均是在定义 4.1.6 对于线性时变系统 如果状态空间中所有状态都是时刻上是完全能观测的。的能观测状态,则称系统在时刻观测的。如果对于任何 是完全能时刻为能观测的，则称系统在 xtCyJttxtxxtAx)(,)(,)(000)(00Jtt 0t0t,210TTt ,21TT第17页/共148页第十八页，共148页。，如果(rgu)状态空间中存在一个或一些(yxi)非零状态在时刻是不能观测的。则称系统(xtng)在时刻定义 4.1.7 对于线性时变系统 取定初始时刻 是完全不能观

10、测的。 xtCyJttxtxxtAx)(,)(,)(000Jt 00t0t第18页/共148页第十九页，共148页。的状态转移(zhuny)矩阵。 定理4.2.1 系统 在时刻能控的充分必要条件是存在某个有限时刻 ，使得矩阵 是正定的，这里 是系统 JtutBxtAx ,)()(0t01tt dtBBtttWTTttc),()()(),(),(110110 ),( t JtutBxtAx ,)()(第19页/共148页第二十页，共148页。命题4.2.1 令是任意一个能把系统 的初始状态控制到的容许控制， 则 JtutBxtAx ,)()()(tu00)(xtx 0)(1 tx 0010111

11、0,xttttWtttBtucTT 001011010202),(),(),()()(1010 xttttWttxdttudttucTTtttt 第20页/共148页第二十一页，共148页。和都是t的连续函数矩阵，则系统 在 时刻能控的充分必要条件是存在某个有限时刻 ，使得矩阵在 上行线性独立，即对任意维非零向量都有 )(tA)(tBJtutBxtAx ,)()(0t01tt )(),(1 Bt 10,ttnz101, 0)(),(ttBtzT 第21页/共148页第二十二页，共148页。 令 时刻(shk)能控。 ntrankQc )(1中的和的每个元分别是 和一次连续可微函数，记如果存在某

12、个时刻，使得 ，那么该系统在JtutBxtAx ,)()()(tA)(tB2 n1 n)()(1tBtB nitBtBtAtBiii, 3 , 2),()()()(11 )()()()(21tBtBtBtQcn 01tt 0t第22页/共148页第二十三页，共148页。引理4.3.1 设定(sh dn)常线性系统在某 时刻完全能控，则它必在上完全能控。JtutBxtAx ,)()( ,00t ,0第23页/共148页第二十四页，共148页。能控的充分必要条件是: 000,)(,ttxtxBuAxx nBAABBrankn 1第24页/共148页第二十五页，共148页。推论4.3.1 已知定常线

13、性系统000,)(,ttxtxBuAxx 如果系统矩阵的最小多项式是次的，那么该系统能控的充分必要条件是: Ak nBAABBrankk 1第25页/共148页第二十六页，共148页。那么(n me)它能控的充分必要条件是: 推论4.3.2 设定常线性系统是单输入的，即 000,)(,ttxtxBuAxx CbACBA, 0det1 bAAbbn第26页/共148页第二十七页，共148页。)(A 定理4.3.2 定常线性系统能控的充分必要条件是，对每个其中，表示的特征值集合。都有000,)(,ttxtxBuAxx nBIArankn )(A A第27页/共148页第二十八页，共148页。推论(

14、tuln) 4.3.3 定常线性系统能控的充分必要条件(b yo tio jin)是它没有输入解耦零点。 能控的充分必要条件是，对于(duy)系统矩阵的每个左特征向量推论4.3.4 定常线性系统,总有 000,)(,ttxtxBuAxx 000,)(,ttxtxBuAxx Az0 BzT第28页/共148页第二十九页，共148页。 的特征值（或者说系统(xtng)的极点）进行分类。 推论 4.3.5 系统能控的充分必要条件是 按照系统的能控性，可以对定常线性系统的系统矩阵000,)(,ttxtxBuAxx CnBIArankn ,A第29页/共148页第三十页，共148页。，并且(bngqi)

15、满足叫做该系统(xtng)的一个不能控振型。定义4.3.1 如果则 系统的不能控振型必是系统的极点,同时又是系统的零点。)(0A nBIArankn 0 0 第30页/共148页第三十一页，共148页。定理(dngl)4.4.1 已知线性系统它在 时刻完全能观测的充分必要条件是，存在某个有限时刻，使得矩阵 是正定的。 xtCyJttxtxxtAx)(,)(,)(0000t01tt dtCCtttWTttTO),()()(),(),(000110 第31页/共148页第三十二页，共148页。 时刻(shk)完全能控。 引理4.4.1 线性系统L时刻安全能控的充分必要条件是它的对偶系统在 的状态转

16、移矩阵是互为转置逆的关系。 时刻完全能控测的充分必要条件是它的对偶系统 LL的状态转移矩阵和它的对偶系统定理4.4.2 （对偶原理）系统在时刻完全能控测；系统在在 L0t L0t L0t0tL第32页/共148页第三十三页，共148页。能观的充分必要条件是，存在某个有限(yuxin)时刻上列线性独立(dl)，即对任意的非零向量有定理4.4.3 已知系统，假设和的诸元均为连续的，则其在时刻，使得矩阵在 L)(tA)(tC0t1t),()(1tC 10, ttz101,0),()(ttztC 第33页/共148页第三十四页，共148页。定理(dngl)4.4.4 已知系统，假设(jish) 和分别

17、(fnbi)是并令 如果存在某个时刻那么系统L)(tA)(tCnitCtAtCtCtCtCiii, 3 , 2),()()()(),()(111 ntrankQO )(1和一次连续可微的，记:，使得 在时刻是完全能观测的。2 n1 n )()()()(21tCtCtCtQnO01tt L0t第34页/共148页第三十五页，共148页。定理4.4.5 定常线性系统能观测的充分必要条件是: CxyBuAxx nCACACrankn 1第35页/共148页第三十六页，共148页。 CxyBuAxx 推论4.4.1 已知定常线性系统如果的最小多项式是次的，那么系统完全能观测的充分必要条件是: AknC

18、ACACrankk 1第36页/共148页第三十七页，共148页。推论4.4.2 已知定常线性系统是单输入的，即 那么它完全能观测的充分必要条件是: CxyBuAxx nRcC 10det1 ncAcAc第37页/共148页第三十八页，共148页。定理(dngl)4.4.6 定常线性系统 CxyBuAxx 完全能观测的充分必要条件是，对每个都有:)(A nCIArankn 第38页/共148页第三十九页，共148页。推论(tuln)4.4.3 定常线性系统完全能观测的充分必要条件是它没有输出解耦零点。 CxyBuAxx 第39页/共148页第四十页，共148页。4.5.1 线性系统的能控性指数

19、(zhsh) CxyAxx 完全能控的线性定常系统定义 阶常阵:其中 为正整数,因为系统能控,当 时, 为能控制性矩阵 ， 且 。则存在一个使 成立的最小正整数 ，称为系统的能控性指数，定义式为： BAABBQkk1 krn knk nQcQnrankQn nrankQ nrankQkk :min 第40页/共148页第四十一页，共148页。 ，并设引理4.5.1 已知系统记其能控性指数为则必成立: CxyBuAxx rrankB 1 rnrn 第41页/共148页第四十二页，共148页。推论4.5.1 对于单输入(shr)系统，也即时，系统(xtng)的能控型指数为。推论(tuln)4.5.

20、2 线性定常系统完全能控的充分必要条件时1 rn DuCxytxtxBuAxx0,)(,00 nBAABBrankrankQrnrn 1第42页/共148页第四十三页，共148页。 的最小多项式的次数(csh)，则能控性指数引理4.5.2 令可进而(jn r)表为为矩阵的估计不等式nA 1 rnrn )1,min( rnnrn 第43页/共148页第四十四页，共148页。121212222111121211111222, , , , , uurrrrQQbbbAbAbAbA bA bA bAbAbAbnbAbAbbAbAb将表 为将 得 到 的个 线 性 无 关 的 列 重 新 排 列 如 下

21、，1121212 , m ax (,)rrrrrrrbAbAbnA B 且 对 能 控 系 统 显 然 有而 能 控 性 指 数满 足关 系 式 通 常 ， 称 数 集为 系=，统的 能 控，性， ， 指 数 集 。第44页/共148页第四十五页，共148页。命题 4.5.1 对系统的状态方程作线性非奇异变换，其能控指数和能控型指数集 保持不变。 DuCxytxtxBuAxx0,)(,00 r ,21第45页/共148页第四十六页，共148页。1,min:,:kknonkxAxyCxCCAkm nQCAkQQrankQnrankQnk rankQn完全能观测的线性定常系统定义阶常阵其中 为正整

22、数存在一个最小的 使成立称为系统的能观测性指数,定义式为:且=第46页/共148页第四十七页，共148页。121211121:mmmcccc Ac AQQc Ac Ac Ac A若 把表 示 为若把 表示为vQ第47页/共148页第四十八页，共148页。1112111121 mvmmvvAcAcccAcAcAcc从 开始搜索 个线性无关的行,考虑到 的秩为 ,将这 个线性无关的行重新排列:vQnCmn第48页/共148页第四十九页，共148页。 通常称 为系统 的能观测性指数集,显然有: 和 mvvv,21 CA,nm 21 mvvv,max21 第49页/共148页第五十页，共148页。 的

23、最小多项式的次数，那么(n me)上式还可表示为 的能观测(gunc)性指数和能观测(gunc)性指数集，我们有1若2如果(rgu)令 3当对该系统作线性非奇异变换时，都保持不变。 m ,21引理4.5.3 关于系统为矩阵，则必成立和mrankC 1 mnmn nA)1,min( mnnmn CxyAxx 第50页/共148页第五十一页，共148页。推论(tuln)4.5.3 若 ， 则系统为能观测的充分必要条件为 nCACACrankmn CxyBuAxx mrankC 第51页/共148页第五十二页，共148页。定理4.6.1 对完全能控的单输入单输出线性定常系统 引入线性非奇异变换即可导

24、出其 第一能控规范型为 cxybuAxx 1, cQPPxx xcyubxAxccc第52页/共148页第五十三页，共148页。其中(qzhng)其中(qzhng) 110110001,110 ncccnccQcbA 1, 2 , 1 , 0, nibcAii 第53页/共148页第五十四页，共148页。定理4.6.2 对完全能控的单输入单输出线性定常系统:定义: 则在线性非奇异变换 cxybuAxx 111111nnnbAbbAP xPx1 第54页/共148页第五十五页，共148页。下系统代数等价于下述第二能控规范型 其中: xcyubxAxccc0110110100,011ccncnAb

25、ccP 第55页/共148页第五十六页，共148页。这里(zhl): cbbcAbcAcbcAbcbnnnnnn12110121 第56页/共148页第五十七页，共148页。完全(wnqun)能控，则其传递函数为推论4.6.1 设系统命题4.6.1 代数等价的单变量完全能控系统具有相同的第一或第二能控规范型。 cxybuAxx 01102211)( nnnnnnnsssssW第57页/共148页第五十八页，共148页。 10212112,31021011 xxu nyx 3( )det()54 ssIAss 例4.6.1 给定能控的单输入单输出线性 定常系统为定出其特征多项式23cb 124c

26、Abcb20210 cA bcAbcb 和常数则利用式（4.6.4）（4.6.11），即可导第58页/共148页第五十九页，共148页。011221201000010 45010430100,011100431100520111ccnxxuyxAbPA bAbb 出 系 统 的 第 二 能 观 规 范 型 为再 利 用 式可 求 出 变 换 阵第59页/共148页第六十页，共148页。111147281207715077 P而其逆为于是，又可定出能控规范型中的状态向量为1231122332311111147284728121207777151507777 xxxxxPxxxxxxx第60页/共

27、148页第六十一页，共148页。其特征多项式如式（4.6.3）所示，则在线性非奇异(qy)变换定理4.6.3 对完全能控的单输入单输出(shch)线性定常系统下，可导出其第一能观规范型为: cxybuAxx xQxo 第61页/共148页第六十二页，共148页。 xyuxxnn0011010110110 第62页/共148页第六十三页，共148页。定理4.6.4 对完全能观测(gunc)的单输入单输出线性定常系统 cxybuAxx 111121111nnnnecAeQcAec 其特征多项式:定义: 0111det ssssAsInnn第63页/共148页第六十四页，共148页。 则，在线性非奇

28、异(qy)变换下，可导出其第二(d r)能观规范型为:Qxx 0011110011001nnxxuyx第64页/共148页第六十五页，共148页。 102121121021011 xxuyx 3( )det()54ssIAss 例4.6.2 给定能观测的单输入-单输出线性定常系统先定出其特征多项式和常数2122021340 cbcAbcbcA bcAbcb 第65页/共148页第六十六页，共148页。111121001111111004 .6 .1101801nnnnnnecAeQcAecxxuyx则 利 用 式 （）和 式 （ 4 . 6 . 1 9 ）第66页/共148页第六十七页，共14

29、8页。111121221200401054.01030011111401001. 1nnnnxxuyxec AeQc Aecc AQc Ac 导出系统的能观测规范型为再利用式（4 68 ）可求出变换阵44311011第67页/共148页第六十八页，共148页。 于是，又可定出能观测规范型中的状态向量为123121233234444443113011 xxxxxQxxxxxxxx第68页/共148页第六十九页，共148页。命题4.6.2 代数等价的单变量(binling)完全能观测系统具有相同的第一或第二能观规范型。命题(mng t)4.6.3 第一（二）能控规范型和第一（二）能观规范型是互为对

30、偶的。第69页/共148页第七十页，共148页。第70页/共148页第七十一页，共148页。rn Ann BCnm CxyBuAxx 第71页/共148页第七十二页，共148页。cQOQ BAABBQnc1 1nOCACACQ OcQQn第72页/共148页第七十三页，共148页。iiibAAbbi1, nl 21第73页/共148页第七十四页，共148页。第74页/共148页第七十五页，共148页。 rrankB Br1brn r , 2 , 1 r ,21第75页/共148页第七十六页，共148页。lvllvvbAAbbbAAbbbAAbbl121221111,;,;,21 按前搜索(su

31、 su)方案找出能控性矩阵的 个线性无关的向量为：其中： rbbbB21 cQnnvvvl 21第76页/共148页第七十七页，共148页。定理4.7.1 对完全能控的多输入多输出(shch)线性定常系统基于算法4.7.1求取的系统在线性非奇异(qy)变换下的代数等价(dngji)系统 第三步:取变换阵为 lvllvvbAAbbbAAbbbAAbbTl12122111121 第四步:计算CTCBTBATTAccc ,11 cxybuAxx xTx1 cccCBA,第77页/共148页第七十八页，共148页。具有Wonham第一(dy)能控规范型的形式其中(qzhng)： xCyuBxAxccc

32、)(2211211nnlllcAAAAAA 第78页/共148页第七十九页，共148页。ijAliAjiiiijii ,000000, 2 , 1,110)()( )(001001rncB 第79页/共148页第八十页，共148页。 TlvTlTvTleeeeT111111第四步:计算矩阵(j zhn) ,并将其表为如下形式1 T第80页/共148页第八十一页，共148页。第五步:取矩阵 的每个块中的末行 按下述方式构造变换矩阵: 111111111llllvTlvTlvTlvvTvTvTvAeAeeAeAeeS1 TTlvTvTvleee,2121第81页/共148页第八十二页，共148页。

33、第六步:计算(j sun)11, CSCSBBSASAccc第82页/共148页第八十三页，共148页。定理4.7.2 对完全(wnqun)能控的多输入多输出线性定常系统基于算法4.7.1求取(qi q)的系统在线性非奇异变换具有(jyu)Wonham第二能控规范型的形式:下的代数等价系统 CxyBuAxx Sxx cccCBA, xCyuBxAxccc第83页/共148页第八十四页，共148页。其中(qzhng):)(21221211nnllllcAAAAAAA lijAliAjiiiijii, 1,000000, 2 , 1,10010)()( 第84页/共148页第八十五页，共148页。

34、)(100100rncB 第85页/共148页第八十六页，共148页。为系统(xtng)的能控性指数集。的 个线性无关列,且将搜索结果表为:rrrbAAbbbAAbbbAAbbl121221111,;,;,21 nr 21其中: r ,21cQn第86页/共148页第八十七页，共148页。 rrrbAAbbbAAbbbAAbbPr12122111121 第三步：依据搜索结果取变换阵为：第四步：计算CPCBPBAPPAccc ,11第87页/共148页第八十八页，共148页。定理4.7.3 对于完全能控的多输入多输出(shch)线性定常系统 对其应用算法4.7.3求取的系统在线性非奇异变换:设其

35、满足下的代数等价系统具有Luenberger第一能控规范型的形式 其中 CxyBuAxx rrankB xPx1 xCyuBxAxccc)(1111nnrrrrcAAAAA 第88页/共148页第八十九页，共148页。ijAriAjiiiijii ,000000, 2 , 1,110)()( 第89页/共148页第九十页，共148页。，)(21rnrcBBBB riiB 000000000000100第90页/共148页第九十一页，共148页。第四步:计算矩阵 ,并将其表示为下述形式: TrrreeeeP 111111 1 P第五步:取矩阵 的每个块中的末行 按下述方式构造变换矩阵:1 PTr

36、TTreee ,2121第91页/共148页第九十二页，共148页。 111111111rrrrAeAeeAeAeeSTrTrTrTTT 第六步:计算11, CSCSBBSASAccc第92页/共148页第九十三页，共148页。定理(dngl)4.7.4 对于完全能控的多输入多输出 线性定常系统 对其应用算法4.7.4求取的系统在线性非奇异变换 设其满足下的代数等价系统具有Luenberger第二能控规范型的形式 其中 CxyBuAxx rrankB Sxx xCyuBxAxccc)(1111nnrrrrcAAAAA 第93页/共148页第九十四页，共148页。ijAriAjiiiijii ,

37、0000, 2 , 1,1010)()( 第94页/共148页第九十五页，共148页。， riiB 1000000000000)(21rnrcBBBB 第95页/共148页第九十六页，共148页。( ,)A B C0001100222114023606 A00000113 B00010010 C例4.7.1 已知定常线性系统为，求该系统的Luenberger第二能控标准型。 解:该系统的能控性矩阵为0013618257500261339561680104016119713618 257590270 cQ第96页/共148页第九十七页，共148页。从中按方案选取线性独立列向量(xingling)

38、得矩阵016 00213 0000 11625 3 P容易(rngy)计算1112113212811311360021000010 TTTTeePee第97页/共148页第九十八页，共148页。做矩阵(j zhn)1313213212100100000010010 eeASeAe不难计算(j sun)10100120000010010 S第98页/共148页第九十九页，共148页。1010000106116011004 cASAS00001301 cB00100001 cC于是经简单计算可以得出，由矩阵(,)cccA B C 决定得系统就是(jish)所要求得Luenberger第二能控标准型

39、。第99页/共148页第一百页，共148页。定理4.7.5 考虑完全能控的多输入(shr)多输出线性定常系统则其Wonham第一(dy)能观测规范型在形式上对偶于Wonham第二能控规范型，即 CxyBuAxx ooooooxCyuBxAx第100页/共148页第一百零一页，共148页。其中(qzhng) lllloAAAAAAA21222111第101页/共148页第一百零二页，共148页。 ijAliAijii ,000000, 2 , 1,110第102页/共148页第一百零三页，共148页。 00100oC第103页/共148页第一百零四页，共148页。定理(dngl)4.7.6 考虑

40、完全能控的多输入多输出线性定常系统则其Wonham第二能观测规范(gufn)型在形式上对偶于Wonham第一能控规范(gufn)型，即 CxyBuAxx ooooooxCyuBxAx第104页/共148页第一百零五页，共148页。其中(qzhng) lllloAAAAAAA22211211第105页/共148页第一百零六页，共148页。1, 2 , 1,000000, 2 , 1,1100 ijAliAijii第106页/共148页第一百零七页，共148页。 001001oC第107页/共148页第一百零八页，共148页。 ，则其Luenberger第一能观测(gunc)规范型在形式上对偶于L

41、uenberger第二能控规范型，即 定理4.7.7 对于完全能观测(gunc)的多输入多输出线性定常系统 设其满足 CxyBuAxx mrankC ooooooxCyuBxAx第108页/共148页第一百零九页，共148页。其中(qzhng) mmmmoAAAAA1111第109页/共148页第一百一十页，共148页。ijAmiAijii ,000000, 2 , 1,110第110页/共148页第一百一十一页，共148页。 000000001000000,21imoCCCCC第111页/共148页第一百一十二页，共148页。 ，则其Luenberger第二能观测规范(gufn)型在形式上对

42、偶于Luenberger第一能控规范(gufn)型，即 定理(dngl)4.7.8 对于完全能观测的多输入多输出线性定常系统 设其满足mrankC CxyBuAxx ooooooxCyuBxAx第112页/共148页第一百一十三页，共148页。其中(qzhng) mmmmoAAAAA1111第113页/共148页第一百一十四页，共148页。ijAmiAijii ,0000, 2 , 1,1100第114页/共148页第一百一十五页，共148页。 0000100000000,21imoCCCCC第115页/共148页第一百一十六页，共148页。为两者的能观测(gunc)性矩阵。 命题4.8.1

43、设对进行线性非奇异变换所导出的结果，即两者之间有下述关系 其中，为非奇异常阵，从而必成立 和 其中，为两者的能控性矩阵， CBA, CBA,11, CPCPBBPAPAPccrankQQrank oorankQQrank ccQQ 和和ooQQ 和和第116页/共148页第一百一十七页，共148页。命题(mng t)4.8.2 设的元是对 的绝对连续(linx)函数，且对一切(yqi)均不降秩， 记系统和 tR tRt 10,ttt JtttJt 1010, xtCyutBxtAx)()()( )()()()()()()()()()()()(111tRtCtCtBtRtBtRtRtRtAtRt

44、A第117页/共148页第一百一十八页，共148页。 Gram能控矩阵(j zhn)分别为则有 和Gram能观矩阵分别为和和 ),(10ttWc),(10ttWc),(10ttWo),(10ttWo),(),(0101ttrankWttWrankcc ),(),(0101ttrankWttWrankoo 第118页/共148页第一百一十九页，共148页。第一步:列写线性定常系统(xtng)的能控性矩阵并求出 BAABBQnc1 nkrankQc 第119页/共148页第一百二十页，共148页。第二步:在能控性判别矩阵(j zhn)中任意选取 个线性无关的列,记为 。此外，在 维实数空间中任意选

45、取 个列向量，记为 ，使得 为线性无关。第三步：按下述方式组成变换矩阵(j zhn) 第四步：计算 kkqqq,21nnkqq,1 nqqq,21 nkkqqqqQP111 11, CPCPBBPAPAkn 第120页/共148页第一百二十一页，共148页。定理(dngl)4.8.1 对不完全能控系统利用算法4.8.1求得系统(xtng)在线性非奇异变换下代数等价(dngji)系统具有下述结构按能控性分解的规范表达式 CxyBuAxx Pxx CBA,1200cccccccccccxAAxBuxxAxyCCx 第121页/共148页第一百二十二页，共148页。维能控分状态(zhungti)向量

46、，即维不能控分状态(zhungti)向量，其中，为能控；为。 cxk ccBA ,cxkn crankQk 第122页/共148页第一百二十三页，共148页。 111010101011101101 xxuyx 3,2 nrankB BAB例4.8.1 给定线性定常系统已知,故只需判断是否为行满秩。现知 01121010230112rank BABrankn第123页/共148页第一百二十四页，共148页。cQ 10 1 0 q 21 0 1 q 31 0 0 q表明系统不完全能控。进而，在中取线性无关的列和再任取，使构成矩阵1011100010 PQ010001101 P为非奇异。而通过求逆，

47、可定出第124页/共148页第一百二十五页，共148页。1010111011001010100101111010 APAP100121000 010011000110011010100 BPB于是(ysh)可算得 1011101100021010 CCP第125页/共148页第一百二十六页，共148页。 100101210100000021 ccccccxxuxxxyx 这样就导出了系统(xtng)按能控性分解的表达式为第126页/共148页第一百二十七页，共148页。1212121200cccccccccccccccccccccccxAAxBuxxAxyCCxkxA xAxB uxA xyC

48、 xyC xyyy 说 明 4.8.1 式 （ 4.8.18）表 明 ， 系 统 被 明 显 分 解 为 能 控 和 不 能 控 两而 部 分 ， 其 中 能 控 部 分 为 如 下 的维 子 系 统 ：和第127页/共148页第一百二十八页，共148页。12det()det()detdet()de),t,(ccccccsIAsIAsIAAsIAsIAsIAAA说明4.8.2 考虑到上式表明不完全能控的特征值由两部分组成:一部分为 的特征值 称为系统能控振型;另一部分为 的特征值 称为系统的不能控振型.外部输入 只能改变能控振型的位置,而不能改变不能控振型u的位置.第128页/共148页第一百

49、二十九页，共148页。1200cccccccccccxAAxBuxxAxyCCx说明4.8.3根据式可以画出系统在结构分解后的方块图,如图4.8.1从图可以看出:不能控部分不受输入影响.不能控部分是系统内部的一个不能由外部作用所 影 响的部分第129页/共148页第一百三十页，共148页。第130页/共148页第一百三十一页，共148页。12112,00,ckkncccccccccccQq qqqqxAAxBuxxAxyCCx -1说明4.8.4 变换阵中 从能控性判别阵中选取的还是此外选取的都不是唯一的 随选取法的不同 式的规范表达式形式不变 但各分块元的值不同,对系统按能控结构分解可导出多P 个分解结果.第131页/共148页第一百三十二页，共148页。12005cccccccccccxAAxBuxxAxyCCx说明4.8.规范表达式为能控性的判别提供了一个准则:线性定常系统是完全能控的,当且仅当它不能通过非线性变换化为上 式的形式.第132页/共148页第一百三十三页，共148页。第一步：列写系统的能观测性判别(pnbi)矩阵 1noCACACQ并计算第二步：在 中任意选取 个线性无关的行向量 ，此