八上培优半角模型

1、八上培优 5半角模型方法：截长补短图形中，往往岀现 90°套45°的情况，或者120 °套60 °的情况。还有 2-套的情况。求证的结论一般 是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第 34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。下面是新观察第 34页14题1如图，四边形 ABCD 中，/ A= / C=90 °，Z D=60 °，AB=B

2、C，E、F,分别在 AD、CD 上，且 / EBF=60 ° .求证：EF=AE+CF .2. 如图2,在上题中，若 E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证： AE=EF+CF .3. 如图，/ A= / B=90 ° , CA=CB=4, / ACB=120 ° ，/ ECF=60 ° ，AE=3, BF=2,求五边形 ABCDE 的面积.4. 如图1.在四边形 ABCD 中.AB=AD，/ B+ / D=180 °，E、F分别是边 BC、CD上的点，且/ BAD=2 / EAF .(1) 求证：EF=BE+DF ;(2) 在(

3、1)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图 2所示， 试探究EF、BE、DF之间的数量关系.匿11图23. 如图3，在四边形 ABDC中，/ B+ / C=180 ° ，DB=DC，/ BDC=120 °，以D为顶点作一个 60 °的角，角 的两边分别交 AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.勤学早第40页试题1. ( 1)如图，已知 AB=?AC, / BAC=90 ° , ?/?MAN=45° 垂直AB交AM于点M，当/ MAN在/ BAC内部时，求

4、证:过点C作NC?丄AC交AN于点N，过点B作BM? BM+CN?=MN;证明：延长 MB 到点 G,使 BG=CN,连接 AG，证 ABG ACN(SAS),二 AN=AG, / BAG= , / NAC. L v/ GAM= / GAB + / BAM= / CAN+ / BAM=45 ° = L / MAN,< AMN AMG(SAS), ' /-MN= MG= BM + BG= BM 十 NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)如图，在(1)的条件下，当 AM和AN在AB两侧时，的结论是否成立？请说明理由.解:不成立，结论是:MN=CN 一 BM,

5、证明略.基本模型二120 °套60°2. 如图， ABC 中,CA=CB, / ACB=120 ° ,E 为 AB 上一点，/ DCE=60 °，/DAE= 120 °， 求证:DE=BE证明:(补短法)延长EB至点F,使BF=AD,连接CF,则厶CBF CAD， CED CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3. 如图, ABC 中,CA=CB, / ACB=120 °，点 E 为 AB 上一点，/ DCE= / DAE= 60 °， 求证:AD+DE= BE.证明:(截长法)在BE上截取 BF=AD,连接CF，易

6、证 CBFCAD， CED 幻 ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版 27页例4如 图， ABC是边长为1的等边三角形， BDC是顶角，/ BDC= 120 °的等腰三角形，以 D为顶点 作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于M、N,连结MN,试求 AMN的周长.分析：由于/ MDN=60 °，/BDC=120 °，所以/ BDM十/ CDN=60 °，注意到 DB=DC，考虑运用“旋转法”将/ BDM 和/ CDN移到一起，寻找全等三角形。另一方面， AMN的周长 AM+AN + MN= AB+

7、AC+MN-BM-CN.猜想MN= BM+CN,证三角形全等解决.新观察培优68页 例5 如图， 点A、B(2,0)在x轴上原点两侧，C在y轴正半轴上，OC平分/ ACB.(1) 求A点坐标；如图1, AQ在/ CAB内部，P是AQ上一点，满足/ ACB= / AQB, AP=BQ .试判断厶CPQ的形状，并予以证明；如图2. BD丄BC交y轴负半轴于 D. / BDO=60 ° , F为线段 AC上一动点，E在CB延长线上，满足/ CFD+ / E=180 ° .当F在AC上移动时，结论：CE+CF值不变；CE- CF值不变，其中只有一个正确结论，请选 岀正确结论并求其值

8、.分析:(1)由/ A0C BOC 得 AO= BO=2, A(- 2,0).由 ACPBCQ 得 CP=CQ.由BD丄BC, / BDO=60 °，可证得等边 ABC.由角平分线和 DB_丄BC的条件，运用对称性知 DA丄AC,连结 DA,加上条件/ CFD+ / E=180 °，可证得厶 ADF 三 BDE,于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8.4. (1)如图 1,在四边形 ABCD 中， AB=AD, / B+ / D=180E,F分别是BC,CD上的点，且/ EAF=丄/ BAD,2求证：EF= BE+ DF;如图2,在的条件下若将 AEF绕点A逆时针旋转，当

9、点E,F分别运动到BC,CD延长线上时,则EF,BE,DF之间的数量关系是 EF=BE- DF解:(1)EF=BE+DF,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG,< ABE ADG (SAS), . / AE = AG,/ BAE= / DAG，/ EAF= 1 / BAD,2 / GAF= / DAG+ / DAF= / BAE+ / DAF= / BAD- / EAF=/ EAF,'EAF= / GAF,< AEF GAF(SAS),. EF= FG, / FG=DG+ DF=BE+ DF, EF=BE +DF;(2) EF=BE DF.外地试题:4 探究：如

10、图，点EF=BE+DF .E、F分别在正方形ABCD 的边BC、 CD 上，/EAF=45 °，连结EF，求证:应用：如图，在四边形ABCD 中，点E、F分别在 BC、CD 上, AB=AD，/ B+ / D=90 °，DBAD ，若 EF=3， BE=25 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整.原题：如图1，点E、F分别在正方形 ABCD的边BC、CD上，/ EAF=45 °，连接 EF,求证：EF=BE+DF .(1) 思路梳理/ AB=AD，二把 ABE绕点 A逆时针旋转 90°至厶ADG，可使 A

11、B与AD重合./ ADG= / B=90 °，a/ FDG= / ADG+ / ADC=180 °，则点 F、D、G 共线.根据，易证 AFG幻，从而得 EF=BE+DF ;(2) 类比引申如图 2,四边形 ABCD 中，AB=AD，/ BAD=90 °点 E、F 分别在边 BC、CD 上，/ EAF=45 ° .若/ B、/ D 都不是直角，但当/ B与/ D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF，请给岀证明；(3) 联想拓展如图 3，在 ABC 中，/ BAC=90 °，AB=AC，点 D、E 均在边 BC 上，且/ DAE=45 

12、6;，猜想 BD、DE、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程.7. (1)如图1,在四边形 ABCD中，AB=AD，/ B= / D=90 °，E、F分别是边 BC、CD上的点，且 AE=AF，1/ EAF= / BAD 现有三种添加辅助线的方式：延长 EB至G,使BG=BE，连接AG ;延长FD至G,使2DG=BE，连接AG;过点 A作AG丄EF,垂足为 G;选择其中一种方法添加辅助线，求证： EF=BE+FD ;1(2) 如图2,在四边形 ABCD中，AB=AD，若/ B+ / D=180 °，/ EAF= / BAD，证明(1)中结论是否还2成立？(3) 如图3,在

13、四边形 ABCD中，AB=AD，/ B+ / ADC=180 ° , E、F分别是边 BC、CD延长线上的点，且1/ EAF= / BAD ,( 1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写岀它们之间的数量关系，2并证明.18. (1)如图1，在四边形 ABCD 中，AB=AD，/ B= / D=90 ° , E、F分别是边 BC、CD上的点，且/ EAF=-2/ BAD .求证：EF=BE+FD .1(2) 如图2,在四边形 ABCD中，AB=AD，/ B+ / D=180 °，E、F分别是边 BC、CD上的点，且/ EAF=-2/ BAD， ( 1

14、)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写岀线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明.(3) 如图3,在四边形 ABCD中，AB=AD，/ B+ / ADC=180 °，E、F分别是边 BC、CD延长线上的点，且1/ EAF= / BAD， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写岀线段EF、BE、FD它们2之间的数量关系，并证明.半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子?1如图1,在平面直角坐标系中， AOB为等腰直角三角形， A (4，4)医II(1) 求B点坐标；(2) 如图2,若C为x正半轴上一动点，以 AC为直角边作等腰直角 ACD，/

15、 ACD=90 °，连接 0D，求/AOD的度数；(3)如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点， G在EF的延长线上，以 EG为直角边 作等腰Rt EGH，过A作x轴垂线交EH于点M ,连FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，请说明；若 不成立，说明理由. 0E=4 , AOB为等腰直角三角形，且 AE丄OB, OE=EB=4 , OB=8 ,- B (8 , 0);(2 )如图所示，作 AE丄OB于E, DF丄OB于F, ACD为等腰直角三角形， AC=DC，/ ACD=90 °即/ ACF+ / DCF=90 ° ,(3) AM=FM

16、+OF 成立，理由：如图所示，在AM 上截取 AN=OF，连EN .J A (4 , 4), AE=OE=4 ,又/ EAN= / EOF=90 ° , AN=OF , EANEOF ( SAS), / OEF= / AEN , EF=EN ,又 EGH为等腰直角三角形， / GEH=45 °，即/ OEF+ / OEM=45 ° ,/ FDC+ / DCF=90 ° , / ACF= / FDC ,又/ DFC= / AEC=90 ° , DFC CEA ( AAS ), EC=DF=4 , FC=AE ,TA ( 4, 4), AE=OE=

17、4 , FC=OE，即 OF+EF=CE+EF , OF=CE, OF=DF, / DOF=45 ° , AOB为等腰直角三角形， / AOB=45 ° , / AOD= / AOB+ / DOF=90 ° / AEN+ / OEM=45 ° 又/ AEO=90 ° , / NEM=45 ° = / FEM , 又 J EM=EM , NEM FEM ( SAS), MN=MF , AM-MF=AM-MN=AN , AM-MF=OF , 即 AM=FM+OF ;【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图

18、形性质的综合应 用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型. 22 如图，直线 L交x轴、y轴分别于 A、B两点，A (a, 0) B (0 ,",且(a-b) +|b-4|=0(1 )求A、B两点坐标；(2) C为线段AB上一点，C点的横坐标是 3, P是y轴正半轴上一点，且满足/OCP=45 ° ,坐标；CEA=(3 )在(2)的条件下，过 B作BD丄OC,交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且/ / BDO，试判断线段 OD与AE的数量关系，并说明理由.(1 )解：T( a-b) 2+|b-4|=0 , a-b=0 , b-

19、4=0 , A (4 , 0), B ( 0 , 4);(2)3如图，已知 A ( a, b), AB丄y轴于B,且满足|a-2|+ ( b-2) 2=0,(1 )求A点坐标；(2) 如图1,分别以AB , AO为边作等边三角形 ABC和厶AOD，试判定线段 AC和DC的数量关 系和位置关系，并说明理由；(3) 如图2，过A作AE丄x轴于E,点F、G分别为线段 OE、AE上两个动点，满足/ FBG=45 ° , 试探究OF AG的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，请说明理由.FG2017-2018江汉期中 如图点PABC的外角/ BCD的平分线上一点，PA=PB(1 )求证

20、：/ PAC=Z PBC(2)作 PE丄 BC于 E, 若 AC=5, BC=11,求 SA PCE SAPBE(3)若M N分别是边AC、BC上的点，且/ MPN/ APB,则线段AM MN BN之间有何数量关系,2解：(1)如图1,过点P作PE丄BC于E, PF丄AC于F,/ PC 平分/ DCB , PE=PF,在 Rt PAF 和 Rt PEB 中, PF = PEPA = PB, Rt PAF 幻 Rt PEB ,(2)如图2 ,过点P作PF丄AC于F,/ PAC= / PBC,/ PE丄BC，CP是/ BCD的平分线, PE=PF，/ PCF= / PCE，/ PC=PC， PCF

21、 PCE， CF=CE，由(1)知，Rt PAF 幻 Rt PEB， AF=BE，/ AF=AC+CF，BE=BC-CE， AC+CF=BC-CE ， 5+CF=11-CE， CE=CF=3， PFCPEC， S PFC=S PEC，/ Rt PAF 旦 Rt PEB， S paf=Speb，(3)如图3,在BC上截取 BQ=AM，在厶PMA和厶PQB中， PMA PQB， PM=PQ，/ MPA=QPB，/ APM+ / QPA= / APQ+ / QPB， 即：/ APB= / MPQ，1/ APB，21 / MPQ，2/ QPN，MPN=MPN=MPN=在厶MPN和厶QPC中, MPNQ

22、PC， MN=QN， BN=AM+MN .-S PCE :PBE=S“ PFC : S PFA11=CF X PF:AC X PF22=CF : AC=3 :( 3+5) =3 : 8;【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等 三角形的判定和性质，角平分线定理和角平分 线的定义，解(1 )的关键是判断岀 PE=PF，解(2)的关键是求岀 CE=CF=3，解(3)的关键是 构造全等三角形判断岀/ APB= / MPQ，是一道 中等难度的中考常考题.2015-2016江岸八上期末 已知在 ABC中，AB=AC，射线BM、BN在/ ABC内部，分别交线段 AC 于点G、H .(1) 如图 1,若/

23、 ABC=60 °、/ MBN=30 °，作 AE 丄 BN 于点 D，分别交 BC、BM 于点 E、F. 求证：CE=AG ; 若BF=2AF，连接CF，求/ CFE的度数；(2) 如图2，点E为BC上一点，AE交BM 于点F，连接CF，若/ BFE= / BAC=2 / CFE，直接写岀Svacf【分析】(1)由AB=AC，/ ABC=60 °得到 ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到/BAC= / ACB=60 ° , AB=CA，求得/ BFD= / AFG=60 °，推岀 / EAC= / GBA 证得 GBAEAC,根据全等

24、三角形的性质即可得到结论；如图1,取BF的中点K连接AK,由BF=2AF，推岀1 FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到/FAK= / FKA，求得Z AKF = Z BFD =230°，根据全等三角形的性质得到AG=CE，BG=AE，Z AGB= Z AEC，推岀 GAK EFC，根据全等三角形的性质得到ZCFE= Z AKF即可得到结论；(2)如图2,在BF上取BK=AF，连接AK,推岀Z EAC= Z FBA，根据全等三角形的性质得到S“bk=S acf , Z AKB= Z AFC，证得 FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到AF=FK，即可得到结论.【解答】解：（1）J AB=AC , Z ABC=60 ABC为等边三角形，则 Z BAC= Z ACB=60 ° , AB=CA ,/ AD 丄 BN , Z MBN=30