达西方程与渗透率

1、Darcy方程与渗透率Darcy方程动量守包律即是控制体元中运动流体的动量变化率等丁所有有效的作用外 力总和，表小为：(1-2)du F ' 二 dt在流体力学中，不可压缩粘性流体动量守包律表现为著名的Navier-Stokes方程组。原则上讲，给出 Navier-Stokes方程、连续性方程以及两个状态方程， 就可以解决任意形状中不可压缩粘性流体运动的所有问题，而多孔介质中流体的流动也不例外。遗憾的是 Navier-Stokes方程是非线性的，除非多孔介质中流体 流动的孔道具有规则的几何形状和良好的对称性，否则不可能求解之。以多孔介质孔道的复杂性和不规则性，Navier-Stokes

2、方程不可能直接适用丁解决渗流力学 问题，因此如果要想在多孔介质中应用流体力学基本方程组，必须根据流体渗流的特点对之加以改造在渗流力学中，动量守包律表现为Darcy方程。这一方程原是 Darcy在18551856年就法国Dijon的给水过滤问题进行的直立均质砂柱中水的流动实验 所得到的。Darcy方程虽然是一个实验型定律，但是有具体的物理含义。根据流 体力学中的Hagen-Poisseuille公式（Navier-Stokes方程的一个特解）采用毛细管 模型、水力半径模型等可以导出 Darcy方程的等价形式。而在低 Renolds数的层 流条件下，忽略渗流流体的惯性力影响并且对单元体取体积平均，

3、由 Navier-Stokes出发亦可以得出Darcy方程。以下我们回顾Darcy方程。Darcy方程：(1-3)k：v = -*；：-其中，v是流体渗流速度，而流体势函数定义为:(1-4)这里，p是流体密度，流体势 中实质是每单位体积上的机械能。平面均质流体渗流的Darcy方程：(1-5)A K Pq=ADarcy方程是一种线性方程，它假定介质与流体之间没有耦合作用，而只表明流量与介质长度成正比；它只适用丁一定的Reynolds数范围。Forchheimer等人就多孔介质中大Renolds数的非Darcy流动问题有过很好的研究。而Irmay等 就Darcy方程的下限问题进行过讨论。有关论述可

4、参阅Bear （1972）的著作。与欧姆定律物理相似性（p =电导率）：(1-6) 式中，I =电流（A）, V=电压降（V）, R=电阻（Q）与Fourier定律物理相似性：q = AKh l（1-7）式中，4=热量单位，Kh=导热系数（热量单位/ （m*hour*K ）, T=温差（K）。平均渗透率计算、毛管方程层状介质并联线性流、径向流:nnK Kjhj - hjjj 1层状介质申联线性流:层状介质申联径向流:L o 说 / K = n' LogrjjKj j a牛顿流体Hagen-Poisseuille圆管层流方程:42二 rrBuckingham水平裂缝层流方程：K _h3

5、K12Fanning 圆管紊流方程：q 8L牛顿流体h3 Fq =12L牛顿流体2 4r.Pv =f如L非牛顿籍率流体圆管层流方程（C=稠度指数，n=g率指数）：（1 AP-e = CKe(1 3n)0C L ) J+3nJr *n (1)(5 i r n4+3n)'n(1 -n)n2 七1 +3nJ非牛顿Bingham流体圆管层流方程（C=稠度指数，n=®率指数）二r4：Pq=TT4'2"r1 一L 3AP/L)Klinkenbeig 效应Kg1Kl = Kg - m1 b PP41 ' 2e° / r3JAP/L)/2 r K =8(8

6、)(10)(11)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)渗透率和孔隙度、有效应力关系单一介质(1) Kozeny-Carman方程( 1927, 1937, 1997)K=%，K，*Ko2 Sgv (1 - )2式中，Ko=无量纲常数，R=水力半径，。=孔隙度，=孔喉半径，T =迂曲度，Sgv =比表面。(2) 渗透率和压差关系式:Henpumepob1961), Pedrosa (1986), Kikani (1991)1 ；K a =K ；:P式中，K0=初始渗透率，:-=常数(3) 渗透率和正应力关系式：Louis (1974钻孔压水试验)K =旧8,。= :h式中，K0

7、=初始渗透率，：=常数，=岩石容重，h=埋藏深度，c-=正应力(4) 常晓林(1987)假设渗透主轴与应力主轴保持重合，推广情形2 ( i, j,k = 1,2,3)P(i-H)',2卜 Ki = K°exp 叫 +队 5 -2中:El1J单一裂缝(1) 立方定律：平'均N-V方程单一水平缝解c (2a"fdP)Q =12卜 Idl)式中，&=缝半宽，与Darcy定律相对比可知K a3Kh(2) Snow (1968)Pf式中，=水平渗透率,K°=初始压力P。下的渗透率,2b =裂缝张开度，s=裂隙间距。=裂隙法向刚度(MLf)(3) Jones (碳酸岩类岩石裂隙1975)式中，？=有效压力，皓=有效压力(Kf =0)(4) Nelson (Navaj。砂岩裂隙 1975)式中，？=有效压力(5) Gangi (基质裂隙平均模型1975)4 2/3 4一K(P) = K0 41C。|P+Pe)P0式中，C0=充填影响常数，P0=基质(颗粒)有效模量。单一裂隙钉板模型:P、门K(P) =k° 1 式中，P1=裂隙面粗糙度有效模量(6) Kranz (Barre 花岗岩裂隙 1978)Kf =Q0(Pc "f) =式中，A =过水面积，FC =总压力，Pf =孔隙流