141-142任意角的正弦函数、余弦函数的定义及单位圆与周期性

1、1.4.11.4.1 1.4.1.4.2 2 任意角的正弦任意角的正弦函数、余弦函数的函数、余弦函数的定义定义及及单位圆与周单位圆与周期性期性正弦、余弦正弦、余弦正弦、余弦正弦、余弦正弦、余弦正弦、余弦v重点重点：任意角的正弦、余弦函数的：任意角的正弦、余弦函数的定义定义及求值；及求值；通过坐标求任通过坐标求任意角的正弦、余弦函意角的正弦、余弦函数值。数值。教学目标：教学目标：教学重点、难点：教学重点、难点： 你能回忆一下锐角的正弦、余弦的定义吗你能回忆一下锐角的正弦、余弦的定义吗?sin_;cos_;邻边斜边对边斜边创设情境，复习引入创设情境，复习引入对边对边邻边邻边斜边斜边你能把锐角的正弦

2、、余弦坐标化吗？你能把锐角的正弦、余弦坐标化吗？_;cos_;sin(u,0)OP(u,v)yMx22vuu22vuv 以原点为以原点为O圆心，以单位长圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆度为半径的圆叫做单位圆A(1,0)OP(u,v)yMx 下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角进一步研究锐角 的正弦函数、余弦函数。的正弦函数、余弦函数。sin,cos,MPvOPOMuOP 当点当点P(u,v) 就是就是 的终边与的终边与单位圆单位圆(查自学效果查自学效果）的交点时的交点时,锐角三角函数会有什么结果？锐角三角函数会有什么结果？探究新知探究新知一

3、、任意角的正弦函数、余弦函数定义一、任意角的正弦函数、余弦函数定义：xyOP(u,v)A(1,0) 如图，设如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆是一个任意角，它的终边与单位圆交于点交于点P(u,v)，那么：，那么：（1）v叫做叫做的正弦，记的正弦，记作作sin， 即即sin=v； （2）u叫做叫做的余弦，记作的余弦，记作 cos，即，即cos=u探究新知探究新知(查自学效果）查自学效果） 注注：三角函数三角函数 sin=v，cos=u都是以角为自变量都是以角为自变量,以单以单位圆上的点的坐标位圆上的点的坐标(比值比值)为函数值的函数。通常，我们用为函数值的函数。通常，我们用x表表示自变量，即

4、表示角的大小示自变量，即表示角的大小(弧度制弧度制），用），用y表示函数值，这表示函数值，这样就定义了任意角的三角函数样就定义了任意角的三角函数y=sinx，y=cosx。RRsincos探究、发现新知探究、发现新知 函数 定义域 值域-1,1-1,1 观看：观看：多媒体演示1 多媒体演示2你能完成右边你能完成右边这两张表吗？这两张表吗？sincos 象限象限三角函三角函数数第一第一象限象限第二第二象限象限第三第三象限象限 第四第四象限象限+-+例例1、求求 的正弦值和余弦值。的正弦值和余弦值。 xyOPA(1,0)13( ,)22M解解：如左图所示，角在第四象限；如左图所示，角在第四象限；3

5、sin2 1cos2典例剖析典例剖析3535 13( ,)22P 易知易知 的终边与单位圆的终边与单位圆的交点为的交点为回顾归纳回顾归纳:求已经角的三角函数确定角的终边角的终边是础， 求出角终边与单位圆的交点坐标交点坐标是关键。随堂演练随堂演练练练1、求求 的正弦值和余弦值。的正弦值和余弦值。 3例例2、已知角已知角的终边经过点的终边经过点P0(-3,-4),求角求角 的正弦、余弦。的正弦、余弦。xA(1,0)yOP(x,y)P0(-3,-4)M0M00|3cos|5OMOMxOMOPOP siny|MP |MPOP000|M POP45解：解：设角设角 的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的

6、交点为P(x,y),过过P作作PMx轴于轴于M,过过P0作作P0 M0 x轴轴. 显然显然RtOMP RtOM0P0 且且 220|( 3)( 4)5OP 典例剖析典例剖析练练2: 已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(-3,2)，求角，求角的正弦、余弦。的正弦、余弦。回顾归纳回顾归纳:已经角终边的一个点已经角终边的一个点P ，利用三角函数，利用三角函数的定义求其三角函数，需要确定三个量：角的终边的定义求其三角函数，需要确定三个量：角的终边该点该点P的横坐标的横坐标x、纵坐标、纵坐标y、点点P到原点的距离到原点的距离r。随堂演练随堂演练例例3 确定下列各三角函数值的符号：确定下列各三角函数值

7、的符号： cos250; sin(-/4)。回顾归纳：回顾归纳：准确确定三角函数值中角所在象限角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键。可以利用口诀“一全正、二正弦、四余弦一全正、二正弦、四余弦”来记忆解：解： （1）易知）易知250为第三象限角，所以为第三象限角，所以cos250的符号为负；的符号为负； （2）易知）易知-/4为第四象限角，所以为第四象限角，所以sin(-/4)的符号为负；的符号为负；典例剖析典例剖析二、三角函数的周期性二、三角函数的周期性发现新知发现新知 由任意角的正弦、余弦函数定义不难发现：终边相同由任意角的正弦、余弦函数定义不难发现：终边相同

8、的角的三角函数值相等，即：的角的三角函数值相等，即： 一般地，对于函数一般地，对于函数 ，如果存在非零实数，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个对定义域内的任意一个 值，都有值，都有我们就把函数称为我们就把函数称为周期函数周期函数，T称为这个函数的周称为这个函数的周期。期。)(xfx)()(xfTxf最小正周期的概念：最小正周期的概念： 对于一个周期函数对于一个周期函数f(x)，如果它所有，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫最小正数叫f(x)的最小正周期的最小正周期.例例4：求三角函数值求三角函数值 sin(-1050)。典例剖析典例剖析 解：解： 因为因为 -1050= 30+（-3） 360 =/6+（-3） 2所以所以sin(-1050)= sin /6=1/2)431cos( 练练3：求三角函数值求三角函数值 。224cos)424cos()431cos(解：解：3.完成教材完成教材P15 动手实践：填表格动手实践：填表格1-5。1.任意角的正弦、余弦函数的定义：任意角的正弦、余弦函数的定义： 设设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v),则则sin,co