《线性代数》模拟试卷B及答案解析

1、线性代数模拟试卷 B及答案-、选择题(每小题3分，共30分)(1)若A为4阶矩阵，则13A =()(A) 4 |A|(B) 34 A(C) 43| A(D) 3 A(2)设A, B为n阶方阵，A 0且AB 0,则()(A) B 0(B) BA 0(C)(A B)22(10)二次型 f(X1,X2,X3) X1 4x2 4x3 2 X1X2 2X1X3 4X2X3为正止二 次型，则的取值范围是() A2 B2(D) A 0或 B 0(3) A, B, C均为n阶方阵，则下列命题正确的是()(A) AB BA(B) A 0,B 0则 AB 0(C) |AB |A|B(D)若AB AC,则B C(4

2、) (A B)2 A2 2AB B2成立的充要条件是()(A) AB BA (B) A E(C) B E(D) A B(k 1)x 2y a(5)线性方程组i ) y有唯一解，则卜为()2x (k 1)y b(A)任意实数(B)不等于 拆 (C)等于 V5(D)不等于0(6)若A为可逆阵，则(A ) 1=()(A) AA(B) A A(C) A 1 A(D) A 1 A(7)含有4个未知数的齐次方程组AX 0,如果R(A) 1,则它的每个基础解系中解向量的个数为(A) 0(B) 1(C) 2(D) 31、计算行列式D4a a a x a a a x a a a x(5分)(8)设A为m n矩阵

3、，齐次方程组AX 0仅有零解的充要条件是 A的 ()(A)列向量线性无关(B)列向量线性相关(C)行向量线性无关(D)行向量线性相关(9)已知矩阵A= 2 (A) 21(B)12(C) 32(D)2二、计算题(第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30 分) 1 ,下列向量是A的特征向量的是()1 1(A) ;(B) :(C) :。)102213 22、设 A= 3 13 215 ,求A的逆A-1。（5分）30 1 0113、求矩阵方程AX B X ,其中A 1 11 ,B 2 0 。（10分）1 0 15 34、求向量组 1=-1 1 4 3T,2=2 -1 3 5T,3= 1 0

4、 7 8 T,4= 5 -3 2 7 T的秩，并求出它的一个最大无关组。（10分）三、证明题（第1小题9分，第2小题6分，共15分）12,3123，1、已知向量组1, 2, 3线性无关，11, 2试证向量组1, 2, 3线性无关。（9分）2、设A、B分别为m, n阶可逆矩阵,证明:（6分）四、综合题（第1小题15分，第2小题10分，共25分）取何值时，非齐次线性方程组X1X2X1 X2X1X2X3X3X31,（1）有唯一解;2（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。（15分）2、已知A为n阶方阵，且满足A2 2A 3E 01-(1)证明：A 2E可逆，并求A 2E 。(5分

5、)(2)若A 1,求4A 6E的值。(5分)线性代数模拟试卷四参考答案与评分标准、选择题（30分）每题3分，共10题，共30分 B(2) D(6) C D二、计算题(30分)第1、2小题每题5分,1 x a a a a x a aD4 a a x a a a a xx 3a a a0 x a 000 x a000(3) C(4) A(8) A(9) D第3、4小题每题10分,x a a aa00x a(5) B(10) A共30分。a aax x a 00x 0 x a 0x 00 x a3=(x a) (x 3a)或以其它方式计算视情况酌情给分，结果正确得5分。2、对（A,E）作初等行变换，

6、当 A变为E时，E则变为A(A,E)3 2 1103 15 0 13 2 30 0 107236 3万则 A 1112110122.5 .分也可用求伴随矩阵的方法求该矩阵的逆，视情况都可酌情给分。3、由 AX B X ,得(A E)XB,求X ,我们同样可以用上面题目的方法,对 A E, B 进行初等变换，当 A E变为E时， B则变为X (A E)1B,1 10A E, B 1 011 020111115分3331 0 0 31-，一-1 01020= E,(A E) B0 0 111则，X4、作矩阵A31(A E) 1B= 20 11111234,43最简形矩阵2,得 R(A) 0:10分

7、2151 03经过初等行变换可化为行3725872 ,即向量组1, 2, 3, 4的秩为2 , .6分可取1,2为向量组的一个最大无关组,10分由题意可知向量组中的任何两个（因对应分量不成比例）都可以做为它的一个最大无关组。三、证明题（15分）第1小题9分，第2小题6分,共15分。1、证明：设有1， 2,30,即1(3)0,4分亦即（13）3)230,.6分因 1 , 2,3线性无关,故有故方程组只有零解10,所以向量组3线性无关。.9分.102、证明：HH 1 BEm0EnEm n:4分故H可逆且H：6分四、综合题（25分）第1小题15分，第2小题1、计算线性方程组的系数行列式25分。2_(

8、1) (2)0 ,方程组有唯一解，即(1)当1且2时，方程组有唯一解；.8分(2)当 2时，方程组的增广矩阵为2 1111010B 1212- 0110,11240001则R(A) 2,R(B) 3,方程组无解；10分(3)当 1时，方程组的增广矩阵为11111111.12分B 1 1 1 1 - 0 0 0 0, R(A) R(B) 1,1 1 1 10 0 0 0方程组有无穷多个解，可得通解为x111即：x2C1 1c2 0X3012、(1)证明：由 A2 2A 3E 0,得由A为n阶方阵，A A 2EX11 x2 x3(x2,x3可任意取值)10 ,(C1,C2 R).15 分0A(A 2E) 3E,则.1 分3E 3n 0, ：.3分 A .A 2E 0, A 2E可逆，由上可得： 一(A 2E) E,31 A A 2E :：.5