《轴对称》之“将军饮马”问题(二)

1、轴对称之“将军饮马”问题（二）【变式 3 】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边 喝水，最后将马送入河边上的马厩，问：马厩建在何处，可使将军 走的路程最短？【图示】分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题， 把军营看作一个 点，而把草地边和河边看作两条直线问题即转化为，如下图： 在 MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B，在 ON 上找一点 C， 使得 AB BC 最短首先明确各点，线的属性点 A 是定点， OM ， ON 是定线，点 B，点 C 是 OM ， ON 上 要找的点，是动点第一步，显然用“化折为直” ，作点 A 关于 OM 的对称点 A '

2、;， 连接 A ' C但是点 C 的位置并不确定，如何保证A'C 最短呢？此时问题转化为射线 ON 外一点 A '到 ON 上一点 C 之间距离的 最小值根据“ 垂线段最短 ”，则 A ' CON 时最短！【解答】【变式 4 】若将军从军营 A 出发去河边饮马，之后牵马在河岸散步 200 米，再骑回军营 B ，问从河边何处开始散步，可使整个行程最短？ 【图示】蓝色部分即为散步所走的 200 米【分析】我们继续把这个问题转化为熟悉的数学问题， 把军营 A 与军营B 看作 2 个定点，把河看作一条直线问题即转化为，如下图：在直线 l 上找两个点 C，D，使得 AC

3、BD 最短本题若作点 A 关于 l 的对称点 A'，连接 A'C 和 BD ，会出现 两线段不共线的问题，怎么办？我们能不能把 BD 进行相应的平 移，使得与 A 'C 共线？完全可以，把 BD 沿着 DC 方向向左平移 200 米，问题即迎刃 而解或者我们可以这么想象， 把河边散步的 200 米，挪至回到军营 B 前，沿着与河平行的方向向右散步 200 米 ，问题也可解决 【解答】如图，作点 A 关于 l 的对称点 A'，将点 B 向左平移 CD 的 长 度到点 B'（实际为 200 米），连接 A ' B'，交直线 l 于点 C，将

4、点 C 向右平移 CD 的 长度到点 D ，点 C，点 D 即为所求【变式 5 】 将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情， 已知河流的宽度为 30 米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日 的行程最短？【图示】灰紫色部分即为长 30 米的浮桥【分析】我们还是把这个问题转化为熟悉的数学问题， 把军营与瞭望台看作间隔 30 米的 2 条直线外侧的定点 问题即转化为，如下图： 在直线 l1 上找一个点 C，直线 l2 上找一个点 D，使得 ACBDCD 最短由于 CD 长度确定，则题目转化为求AC BD 最短，考虑在河的两侧， 要使线段之和最短， 则 2 条线段在同一直线上时即可 但

5、这里并不共线，因此继续考虑平移我们可以想成从军营出发先“渡河”，即沿 CD 方向行 30 米 至点 A ' ，再考虑“ 两点之间，线段最短 ”【解答】如图，将点 A 沿 CD 方向，平移 CD 长度 （实际 30 米）至点 A '， 连接 A'B，交 l2 于点 D，过点作 DCl2于点 C，连接 AC则桥 CD 即为所求此时 AC A'D，而 A'DDB A ' B ，最短【总结 & 反思】这次的 3 道题， 有涉及到沿河边散步的问题， 有造桥选址问题， 但无外乎涉及到一个“ 平移 ”的思想方法，结合“ 两点之间，线段 最短 ”解决，另外，有时还需考虑“ 垂线段最短 ”如用口诀来总结，那就是：造桥散步怎么办，想到平移就不难。若问万