【北京市】2020年高考数学(理)模拟试题(含答案解析)

1、【北京卷】2020年普通高等学校招生模拟考试数学(理工类)第一部分(选择题共 40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出 的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .若集合 A x|x 2 , B x| 2,0,1,2 ，则 AI B(A) 0,1 (B) -1,0,1(C) -2,0,1 (D) -1,0,1,22 .在复平面内，复数 上的共钝复数对应的点位于1 i(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3 .执行如图所示的程序框图，输出的s值为().A.B.C.D.1 25678912开始上=ar4.十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载培最早用

2、数学方法计 算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献. 十二平均律将 一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起， 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于疑.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为（）.A.呢fB.缗fC. 12 25 fD. 1河 f5.某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形 的个数为（）.A. 1B. 2C. 3D. 46.设a,b均为单位向量，则“r ra 3br3aa b”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，记d为点p cos ,si

3、n到直线xmy 2 0的距离.当m变化时,d的最大值为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 48.设集合A x, y|x y 1,ax y 4,x ay 2 ,则A对任意实数a ,2,1 A B对任意实数a,2,1 AC当且仅当a 0时，2,1 一当且仅当a自，2,1二填空(9)设小是等差数列，且a1 3, a? a§ 36,则小的通项公式为。(10)在极坐标系中，直线cossin a(a 0)与圆 2cos 相切,(11)设函数f x cos x _0。若f x f -对任意的实数x64都成立，则 的最小值为。(12)若x, y满足x 1 y 2x,则2y x的最小值是。(13)能

4、说明 若f x f 0对任意的x 0,2都成立，则f x在0,2上是增函数”为假命题的一个函数是。2222(14)已知椭圆M W % 1 a b 0 ,双曲线N:二斗1。若双曲线N a bm n的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为。三.解答题(15)(本小题13分)在 VABC 中，a 7, b 8, cosB 1。7(I )求 A ；(n)求ac边上的高。(16)(本小题14分)如图，在三棱柱ABC AB©中，CG 平面ABC,D ,E ,F ,G分别为 AA , AC,AG ,BB 的中点， AB BC 7

5、5 , AC AA 2.(I)求证：AC 平面BEF;(II)求二面角B CD Ci的余弦值;(III)证明：直线FG与平面BCD相交.(16)(本小题12分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(3)

6、假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用; 1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ k 0”表示第k类 电影没有得到人们喜欢(k 1,2,3,4,5,6 ).写出方差D i，D 2，D 3, D华D §,D $ 的大小关系(18)(本小题13分)设函数 f x ax2 4a 1 x 4a 3 ex ,(1)若曲线y f x在点1,f 1处的切线方程与x轴平行，求a ；(2)若f x在x 2处取得极小值，求a的取值范围.(19)(本小题14分)已知抛物线C:y2 2Px经过点P 1,2 .过点Q 0,1的直线l与抛物线C有两个不同的交点A , B ,且直线PA交y轴于

7、M ,直线PB交y轴于N .(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设。为原点，Quuruur uurQO,求证：-口为定值.20.(本小题14分)设n为正整数，集合A|t1,t2,.,tn ,tk 0,1 ,k 1,2,., n .对于集合 A 中的任意兀素 为供,.4和y1，y2,.,yn , 记x1y1x2y2x2y2.% ynxnyn的值;I 当 n 3 时，若 1,1,0,0,1,1，求 M , 和 MII当n 4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M ,是奇数；当，不同时，M ,是偶数.求集合B中元素个数的最大值；III给定不小于2的n,设B是A的子集，且满足：

8、对于B中的任意两 个不同的元素，M ,。.写出一个集合B,使其元素个数最多， 并说明理由.答案：一.选择题1 .【答案】A2 .【答案】D1 1 i 1 i 11.z i ,1 i (1 i)(1 i) 22 2则z 1 1,故工的共钝复数在第四象限，2 2 '1 i故选D3 .【答案】B【解析】根据程序框图可知，开始k 1, s 1,执行s 111, 1, k 2,此时k 3不成立，循环,11 2s 11 2 5 , k 3 ,此时k 3成立，结束，212 6输出s 5.6故选B .【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以f为首项，历为公比的等比数列，故第八个单音的频率为f 12

9、 2 8 1 1227 f.故选D .5 .【答案】C【解析】由三视图可知，此四棱锥的直观图如图所示，在正方体中，4PAD , PCD , 4PAB均为直角三角形，PB 3,BC 而，PC 242 ,故PBC不是直角三角形.故选C .6 .【答案】Cr r r r【角牛析】充分性：|a 3b 113a b| ,r 2 rr r 2 r 2 rr r 2 |a| 6ab 9|b| 9|a| 6ab |b|,又i：i向i,可得a b o,故a b.必要性：a b,故a b o, r 2 r r r 2 r 2 r r r 2所以 |a|2 6ab 9|b|2 9|a|2 6ab |b|2,所以 |

10、g 3b | 13a b| .7 .【答案】c【解析】：QP cos ,sin ,所以P点的轨迹是圆。直线x my 2 0恒过0,2点。3.8.【答案】：D2 1 0【解析】：若2,1 A ,则2a 1 4 a - o22 a 2则当a 3时，2,1 A;当a 3时，2,1 A选D22二填空题9.答案：an6n 3 n Na(3解析：由题知，设等差数列公差为d,所以：a2 alaa1d ,即4da1 d+a1 4d=36,解得a1d=63,所以 an=a1n 1 d 6n 3 n转化为圆心到直线的距离加上半径取到最大值，所以答案为10.答案：12解析：Q cos sin a直线方程转化为xya

11、即xya0Q 2cos2-2 cos圆的方程转化为x2 y2 2x即（x 1）2 y2 1、Q直线与圆相切 ¥ 1 2解得 a 1 . 2 Q a 0 a 1 .211答案：23解析：由题知：f *鹏f -max41 ,即cos 1 ,所以462k k Z46解得：=8k 2 k Z , 312.答案：30,所以k 0时,min解析：将不等式转换成线性规划，即x 1 y y 2x x 1目标函数z 2y x如右图z在A(1,2)处取最小值zmin 313 .答案：f xx2 3x,答案不唯一解析：函数需要满足在0,2上的最小值为f 0，并且在0,2上不单调, 选取开口向下，对称轴在0

12、,2上的二次函数均可，其余正确答案也正 确。14 .【答案】：点1, 2【解析】：设正六边形边长为t；根据椭圆的定义2a存1t, 2c 2t,收,所以e»戋c =2。 ae椭圆3 1 a双曲线的渐近线方程为y 3x三.解答题15 .【解析】(I ) VABC中，cosB 1 ,所以 B 为钝角，sin B 1 cos2 B 加3 ； 77由正弦定理： 上 上，所以sinA"姐 理， sin A sin Bb 2所以 A - 2k ,k Z ；或者 A 2k ,k Z ； 33又VABC中，B为钝角，所以A为锐角，所以A 。 3(H ) VABC中 sinC sin(A B)

13、=sin (B +) = -sinB+cosB,32214三角形ABC的面积SVABC labsinC 6底，设AC边上的高为h ,2SVABC 1bh 1 8 h 6第，所以h 晅,即AC边上的高为次3。 222216 .【解析】(I)证明：: AB BC ,且E是AC的中点，/. AC BE,;在三棱柱ABC ABC中,E,F分别是AC, AG的中点,EF/ CC1 CCi 平面 ABC ,二 EF 平面 ABC, AC 平面 ABC ,/. EF AC , EF , BE 平面 BEF,EFI BE E AC 平面 BEF.(II)由(I)知，EF AC, AC BE, EF EB, 以

14、E为原点，EA,EB,EF分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，1,0,0 ,D 1,0,1 ,C 1,0,2贝U有，B 0,2,0 ,CuuruurBC 1, 2,0 , CD 2,0,1设平面BCD的法向量n x, y,z , uur r.BC n 0x 2y 0 uur r ，即 c ，CD n 02x z 0ur易知平面CDC1法向重m 0,1,0. ur r二 cos m,nur r m n 1.21由图可知，二面角B CD G的平面角为钝角,二面角B CD a的余弦值号.(III)方法uurF 0,0,2 ,G 0,2,1，.二 FG 0,2, 1平面BCD的法向量n

15、2, 1, 4 ,设直线FG与平面BCD的夹角为m nZ2T J121sinuuir r cos FG, nuur rFG nuurFG n2 45、, 21直线FG与平面BCD相交.方法二: 假设直线FG与平面BCD平行, ;设CD与EF的交点为M，连结BM FG 平面BBFE ,且平面BBiFE I平面BCD BM ,/. FG/ BM ,: BG/ FM ,四边形BMFG为平行四边形,/. FM BG,易知 FM BG直线FG与平面BCD相交.17 .【解析】（1）由表格可知电影的总部数140 50 300 200 800 510 2000获得好评的第四类电影200 0.25 50设从收

16、集的电影中选1部，是获得好评的第四类电影为事件A,则501P(A) 2000 40（2）由表格可得获得好评的第五类电影800 0.2 160第五类电影总数为800未获得好评的第五类电影800 160 640第四类电影总数为200未获得好评的第四类定影200 50 150设从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评为事件B则 P(B)17100C50c640C150c160C200c800(3)D1 D 4 D 2 D 5 D 3 D 618 .【解析】(1)函数定义域为x R , f (x) 2ax 4a 1 ex ax2 4a 1 x 4a 3 exex ax2 2a 1

17、 x 2xe ax 1 x 2 )若函数在1,f 1处切线与x轴平行，则f 1 e a 10 ,即 a 1 .(2)由(1)可知 f xax22a 1 x 2 exx 2 ax 1 ex,当2 0时，令£*0, x2,x,222,f x0f xZ极大值不满足题意；当 a0时，令 fx 0 , x 2mK x 1a当a 0时，即2, ax1 , a1 a1一,2 a22,f x0f x极小值Z极大值不满足题意;当a 0时,1)当1 2，即a 2时，f x>°，函数fx无极值点;2）当1 2 ,即a1时, a2x1, a1a1,2 a22,f x0f xZ极大值极小值Z满

18、足题意;3）当1 2 ,即0 a 1时, a2x,222 a1 a1一, af x0f xZ极大值极小值Z不满足题意.综上所述，若f x在x 2处取得极小值,19 .【解析】(1)由已知可得4 2p,所以抛物线C的方程为y2 4x.令 A(x1,yJ , B(&,y2),直线l显然不能与x轴垂直，令其方程为y kx 1,2带入y2 4x整理得y k上1 , 4即 ky2 4y 4 0 .所以由已知可得k 06 16k 0所以直线l的斜率k的取值范围为,0 U 0,1 .(2)由(1)知yi44y2k'vyvy Q而点 A(xi,yi),Bd,y2)均在抛物线上，所以Xi2 yi4X22y24因为直线PA与直线PB与y轴相交,则直线PA与直线PB的斜率均存在，即ViV2因为kPAyi 2 yi 24(yi 2)2Xiii彳yi4所以直线PA的方程为令X 0 ,可得yM4yi22yi(x i),yi2yi2yiyi2).同理可得N(0,工yyi2).uuur 而由QMUJIT -QO可得,2yiyi 2同理由QNrJJLT 一QO可得,所以1工2yi2 yi2 y22