大学文科数学张国楚集合实数极限PPT学习教案

1、会计学1大学文科数学张国楚集合实数极限大学文科数学张国楚集合实数极限教学目标：本章的目标是介绍集合、实数和极限。要求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。了解我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。教学重点：集合、实数与极限在微积分中的作用、邻域的概念。教学难点：极限概念及其在微积分中的作用、邻域的概念。教学时数：6学时。第1页/共45页祖冲之第2页/共45页 微积分 极限理论 实数理论 自然数 集合论 从左到右，左边的理论为右边理论的基础。从左到右，左边的理论为右边理论的基础。第3页/共45页第4页/共45页 自然数集 实数集 有理数集 整数集（1）（2）（3）（1）是为了使在自然

2、数范围内减法运算也封闭。（2）是为了使在整数范围内除法运算也封闭。（3）数轴上除了有理点之外的成为无理数，合称为实数。 有理数集稠密，但不连续；实数集则连续。第5页/共45页0 x00 x,0 xU0 x0 xxx0 x,0 xU0 x0 x第6页/共45页0212xx421421421421,421212，示为：的邻域。用区间符号表为半径为中心、以所以它表示以。即得由xxx第7页/共45页第8页/共45页)(nfy 321, 3 , 2 , 1，）（所得到的一列函数值iifai)(nfan na第9页/共45页 nana.limnaaaannn或nn na第10页/共45页时的无穷小量。就是

3、nn21第11页/共45页aan na).(,limnaaaannn或第12页/共45页例 证明：. 021limnn证明：设为任意小的正数 ，由 （不妨设 ）求N：nn210211.2lglg,12nn即取 由前面的推导过程可知，则当nN时，就有 ,2lglgN得证。恒成立,021n第13页/共45页第14页/共45页，该定义又称为“” 定义。x0 x)(xfy 0 x0 x00 xxx Axf)()(xf0 xx )()()(lim00 xxAxfAxfxx或第15页/共45页例：证明： 。 00limxxxx证明：对任意给定的 ，要使 成立，只需取 ，显然当 时， 恒成立，所以原式成立。

4、0 0 xxAxf00 xx 0 xxAxf2.左极限和右极限（不作为讲解内容）第16页/共45页.2arctanlim,2arctanlim).(lim)(lim)(00. 01lim0,1)(,)(xxxfxfxfxxxAxxxxxfxxfyxxxxx例如：或的极限分别记作时，函数或当为极限，记作：以常数时，该函数或即当见的绝对值无限变小，可函数无限增大时，当而言对于函数第17页/共45页4.函数极限的性质 ).0(0),0(0lim000000 xfxUxxUxAxfxfxxfxxxx恒有，对一切的某邻域在点则存是正（负）数。即若也数值的某一去心邻域内，函数，则在点的极限值是正（负）函数

5、定理：如果第18页/共45页 正是所要证明的。分成立，不等式的左半部即恒成立，时，使得当，则存在相应的正数定义可知，若限定任意”所以由“证明：由于AAxfAAAAxfxxAxxAxf0)(0,),( , 000 . 0,lim, 00AAxfxfxx那么且非负。即如果定理：非负函数的极限第19页/共45页 成立。假设不不成立，原命题的假设矛盾，故这与的某邻域内在由以前所学定理可知，不成立，即设证明：（反证法）0. 0. 000 xfxfxAA .limlim,000BAxgxfBxgAxfxxxgxfxxxx，即则时，且当推论：若第20页/共45页第21页/共45页无穷大量的倒数是无穷小量。第

6、22页/共45页第23页/共45页两个变量之商的极限定语极限之商。第24页/共45页例例1 求求).53(lim22 xxx解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx 2223 5 3 注：注：设设,)(110nnnaxaxaxf 则有则有)(lim0 xfxxnnxxnxxaxaxa 110)lim()lim(00nnnaxaxa 10100).(0 xf 完完第25页/共45页例例 2求求.27592lim223 xxxx解解27592lim223 xxxx)275(lim)92(lim2323 xxxxx2373

7、593222 .229 注注：设设,)()()(xQxPxf 且且, 0)(0 xQ则有则有)(lim0 xfxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf 当当0)(0 xQ时，时，则商的法则不能应用则商的法则不能应用.完完第26页/共45页例例3 求求.321lim221 xxxx解解1x时时, , 分子和分母的极限都是零分子和分母的极限都是零. .此时应先此时应先约去不为零的无穷小因子约去不为零的无穷小因子1 x后再求极限后再求极限. .)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx.2131lim1 xxx消去零因子法消去

8、零因子法完完第27页/共45页例例4 计算计算.354lim4 xxx解解 当当4x时时, 0)35( x不能直接使用商的极限运算法则不能直接使用商的极限运算法则.但可采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子但可采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.)35)(35()35)(4(lim354lim44 xxxxxxxx4)35)(4(lim4 xxxx)35(lim4 xx. 635lim4 xx完完第28页/共45页1214lim5221xxx求：例.1312.633limnnnn求：例212lim21xx解：原式3213112332limlimnnnnn解：原式第29页/共45页定理定理2

9、(复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则)设函数设函数)(xgfy 是由函数是由函数)(ufy 与函数与函数)(xgu 复合而成复合而成, ,若若,)(lim00uxgxx ,)(lim0Aufuu 则则)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu .A ,)(0uxg 且在且在 的某去心邻域内有的某去心邻域内有0 x注注:若函数若函数)(uf)(xg和和满足该定理的条件满足该定理的条件,则作代换则作代换),(xgu 可把求可把求)(lim0 xgfxx化为求化为求),(lim0ufuu其中其中).(lim00 xguxx 定理定理2表明表明:完完第30页/共45页例例7 计算计算.2s

10、inlim0 xx解解 令令,2xu 则函数则函数xy2sin xu2 构成的复合函数构成的复合函数.因为因为, 0 x且且0u时时, 0sinu所以所以. 0sinlim2sinlim00 uxux完完可视为由可视为由,sinuy , 02 xu第31页/共45页例例8 计算计算.2lim1xx 解解 令令,1xu 则则, 01lim xx且且, 12lim0 uu所以所以. 12lim2lim01 uuxx完完第32页/共45页例例9解解求求.tanlim0 xxxxxxxxxxcos1sinlimtanlim00 xxxxxcos1limsinlim00 . 1 完完第33页/共45页例

11、例10求求.3sinlim0 xxx解解xxxxxx33sin3lim3sinlim00 . 3 tx 3令令tttsinlim30完完第34页/共45页例例11解解求求.cos1lim20 xxx 原式原式2202sin2limxxx 22022sinlim21 xxx2022sinlim21 xxx2121 .21 完完第35页/共45页例例12求求.2sin2sinlim0 xxxxx 解解xxxxxxxxxx2sin12sin1lim2sin2sinlim00 xxxxx22sin2122sin21lim0 .312121 完完第36页/共45页例例13解解求求 .11lim3 xxx 311lim xxx 31111limxxxx 31111limxxxx 1 e. e 完完第37页/共45页例例14解解求求.11limxxx xxx 11limxxx 11lim111lim xxxxxx 111lim.1e 完完第38页/共45页.3115limxxx：求例题，有解：作变量代换，令uxxu3,31于是得：时，显然，当.uxuuxxux31131limlim3311limeuuu第39页/共45页例例16求求.)1(lim10yyy 解解 令令,1xy , x则则0y时时,于是于是 .11lim)1(