复变函数第3讲PPT学习教案

1、会计学1复变函数第复变函数第3讲讲2 第二章 解析函数第1页/共26页3 1、导数定义定义 设函数w=f (z) zD, 且z0、 z0 +zD，如果极限 存在，则称函数f (z)在点z0处可导. 称此极限值为f (z)在z0的导数，记作zzfzzfz)()(lim000 .)()(lim)( 00000zzfzzfdzdwzfzzz 如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f (z)在区域D内可导.第2页/共26页4 也就是说, 对于任给的e0, 存在d(e)0, 使当0|z|0, 相应地有一个d0, 使当0|z|d 时, 有.0)(lim),()()()(,)()()(0000000 zz

2、fzzfzzfzzfzzfzzfze则则令令第5页/共26页7.)(),()(lim0000连连续续在在即即所所以以zzfzfzzfz 连续不一定可导，请举出反例说明.Re)(:可可导导在在平平面面上上的的任任何何点点都都不不证证明明zzf 例1zzzzzf )Re()Re(:证证明明.yixxyixxxx .lim0不不存存在在zfz 第6页/共26页8思考的连续性如何？zzfRe)(例2 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？ yixyixiyyxxzzfzzfzz)2()(2lim)()(lim00解.2)(处处处处不不可可导导故故函函数数yixzf 注：一个复变函数的可导性要求条件比

3、较高！第7页/共26页9处处连续但处处不可导，这样的函数在复变函数中极易获得，然而在数学分析中要想得到一个处处连续但处处不可导的函数却很不容易。在历史上首先找到这种例子的是weierstrass（菲赫金哥尔茨微积分教程第二卷第二分册P.431 人民教育出版社 1954年版）第8页/共26页10由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：).0)()()(; )()(; )()(2 zgggfgfgfiiigfgfgfiigfgfi;)()2(, 0)1(1 nnnzzcc为常数；为常数；其中其中都都可可导导，则则、若若)()()3(zgzf第9页/共

4、26页11（5）反函数的导数 ，其中 w=f (z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.)( 1)( wzf 这样，我们知道多项式处处可导.例如，).( )( )()()()4(zhzhfdztdtdddzdzhfzhttf 可可导导，且且可可导导，则则、若若. 1412)623(324 zzzzz另外，有理分式在分母不为零的点处可导.第10页/共26页12.)(12)( 1, 0,1)(222zzzzfzzzzf 时时，则则当当?)(,;),()(,22的的可可导导性性复复函函数数中中内内可可导导在在实实函函数数中中zzfxxf 思考题提示：.0)(2处处处处连连续续处处可可导导，仅仅

5、在在函函数数 zzzf例如第11页/共26页13,2zzz 注注意意到到事实上.0)(2处处可可导导仅仅在在 zzzfzzzzzzzzzfzzfzf000000)( )()()( .)(000000zzzzzzzzzzzz ;0)0( ,0lim000 fzfzz即即时时，当当.lim000不不存存在在时时，当当zfzz 第12页/共26页144、 微分 设函数w=f(z)在z0可导, 则有 w=f(z0+z)f(z0)=f (z0)z+(z)z,.0)(lim0 zz其其中中 因此, |(z)z|是|z|的高阶无穷小量. 而f (z0)z是 w=f(z) 的改变量w的线性部分, 称为函数 w

6、=f(z) 在点 z0 的微分, 记作dw=f (z0)z.如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f(z) 在z0可微.)(可可导导与与可可微微是是等等价价的的在在点点由由此此可可见见，zzf第13页/共26页15不解析的点称为奇点.注：（1）可导与解析是两个完全不同的概念，解析一定可导，但可导未必解析.不解析的点可能可导，即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论： 定理 若函数在区域D内可导，则在D内一定解析.即在区域上，可导与解析是等价的.（为什么？）.)()(000点点解解析析在在邻邻域域内内处处处处可可导导，则则称称的的某某个个小小点点可可导导，而而且且在在不不仅仅在在定定义义：若若

7、zzfzzzf第14页/共26页1600(2)( )由由以以上上结结论论，若若在在点点解解析析，则则定定在在的的某某个个小小邻邻域域内内处处处处解解析析。f zzz即不可能存在离散的、孤立的解析点.另外，由求导法则，不难看出： 解析函数的和、差、积、商仍为解析函数，解析函数的复合函数仍为解析函数.于是zzf1)( 外外解解析析。外外可可导导，因因而而除除除除00zz.1)( 2zzf 并且并且.)(处处处处解解析析多多项项式式0111azazazazfnnnn第15页/共26页17 本节内容：介绍判别函数可导性、解析性的有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部之间的关系.；的的连连续续性性关关

8、系系非非常常密密切切和和与与的的连连续续性性知知道道通通过过前前面面的的学学习习，我我们们vuviuzf )(处处不解析！处处不解析！但但可微，可微，尽管尽管设设)(2,2)(zfyvxuyixzf 怎怎样样的的关关系系？的的偏偏导导数数之之间间具具有有、的的可可导导性性与与的的问问题题：于于是是，就就自自然然提提出出这这样样vuviuzf )(第16页/共26页18 本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法.关于这个问题，我们有下面非常重要的结论：.,yuxvyvxu

9、定理1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在点 可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在 可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程000yixz ),(00yx第17页/共26页19 定理的详细证明请参见课本；下面我们讨论几个注意的问题.11有有效效的的方方法法一一种种非非常常提提供供了了判判别别函函数数可可导导的的）定定理理注注（使用时: i) 往往判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性； ii) 验证C-R条件.注（2）利用该定理可以判断那些函数是不可导的.处处处处不不可可导导！例例如如，我我们们容容易易知知道道zzf )(第18页/共

10、26页20,)( )( ,)( )( ),(),()()(.yyxxviuiiyxfzfviuiyxfzfyxviyxuyixfzfRiemannCauchy可可导导，有有若若方方程程的的记记忆忆问问题题）关关于于注注（3.,yuxvyvxuyuiyvxvixuxyyyyxxxivviuviuuivuzfviuzf)( )(可可导导的的情情况况下下，有有）在在注注（4 可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.第19页/共26页21条条件件：域域内内可可导导因因而而解解析析的的点点换换为为区区域域，则则得得到到区区将将0z定理2 函数f (z)=u(

11、x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程.,yuxvyvxu 注：如何验证一个实函数的可微性？ 由高数中定理，只要它具有连续的一阶偏导数即可. 另外注意，初等函数的性质.第20页/共26页22下面,我们讨论几个题目. ；)sin(cos)()1(yiyezfx 例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：，解解：yevyeuxxsin,cos)1( 在在全全平平面面可可导导，解解析析。故故)sin(cos)(cos,sinsin,cosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxx

12、xxx ).(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 第21页/共26页23 . iyxyxzf22332)()2( 可可微微，和和，解解：vuyxvyxu22332,)2( .),(),()(,处处处处不不解解析析处处可可导导，和和仅仅在在条条件件知知道道故故由由434300R-C44332222zfyxyvxyxvyyuxxu.0)arctan()ln()(222的的值值解解析析，求求时时在在设设例例axyxiyxazf 第22页/共26页24.)( ,),(),()(42的的值值求求解解析析，且且设设例例zfvuyxivyxuzf .0)( zf根根据据解解析析的的条条件件，得得到到提提示示：例3.()(, 0, 01)( 2121常常数数）CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 证明.,)(,0)( DzCzfDzzf 则则若若第23页/共26页251、导数的概念，复变函数求导法则.2、解析的概念，解析与可导的关系.3、判别复变函数解析性的有效方法： 柯西黎曼定理.f(z)在区域D内可导f(z)在区域D内解析 f(z)在z0点解析 f(z)在z0点可导 f(z)在z0点连续 第24页/共26页261. 判别真、假：?)(,)()