同角三角函数基本关系式分享资料

1、2021/3/2912021/3/2921.1.任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式复习与回顾复习与回顾:),(,那么交点的终边与单位圆的是一个任意角设yxP_;cot)4(_;tan)3(_;cos)2(_;sin) 1 (yxyyxx叫余切函数，注意：yxcot2021/3/293 sin cos tan cotRR,2|ZkkR 且且,|ZkkR 且且2.2.三角函数的定义域三角函数的定义域1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式2021/3/294xyo sin tan cosxyo

2、 xyo cot3.3.三角函数值的符号三角函数值的符号xyo全正全正sin cottancos 记忆记忆: :一全二正弦，一全二正弦， 三切四余弦三切四余弦1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式2021/3/29506 4 3 2 23 2的弧度数的弧度数角角 的度数的度数角角 030456090180270360 sin cos tan cot010存在存在不不21233332123333222211100存在存在不不1 00存在存在不不01存在存在不不01 0存在存在不不04.4.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系

3、式同角三角函数的基本关系式2021/3/296引例引例已知：已知：sin 0.8，填空：，填空：cos _哈哈哈哈我换了个马甲！我换了个马甲！小样！别以为你小样！别以为你换了个马甲我就换了个马甲我就认不出你了！认不出你了！0.60.62021/3/297复习：三角函数的符号复习：三角函数的符号已知：已知：sin 0.8，填空：，填空：cos _0.60.6xyOsin、csc上正下负 xyOcos、sec右正左负xyOtan、cot奇正偶负 2021/3/298已知：已知：sin 0.8，填空：，填空：cos _在初中，我们学过以下三个三角公式：在初中，我们学过以下三个三角公式：22sinco

4、s1sintancostancot1在初中，公式中的角为锐角！对任意角这些公式是否成立？0.60.6还需重新证明！还需重新证明！2021/3/299计算下列各式的值计算下列各式的值: :.65cot65tan. 4;45cot45tan. 3;30cos30sin. 2;90cos90sin. 12222 问题探究问题探究( (一一) )1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式?:有同样的结果吗有同样的结果吗会会改为一般角改为一般角如果把上面具体的数据如果把上面具体的数据问题问题 1cossin22 ?可可以以证证明明吗吗?如如何何证证明明吗吗?是是否否可可以以是是

5、任任意意角角吗吗角角 . 1cottan 称为平方关系称为平方关系称为倒数关系称为倒数关系注注: :上面两种关系直接可上面两种关系直接可以用三角函数定义得到以用三角函数定义得到. .2021/3/2910问题探究问题探究( (二二) )1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式?tan,cos,sin:系系三者之间是否有什么关三者之间是否有什么关函数的定义探索函数的定义探索请同学们继续根据三角请同学们继续根据三角 tancossin xy?,上上式式都都成成立立呢呢是是否否可可以以是是任任意意角角时时角角 .tancossin,)(2成立成立时时当当 Zkk tanc

6、ossin 称为商数关系称为商数关系2021/3/2911sintancosyyrxxr 平方关系和商数关系平方关系和商数关系sin2 cos2 (sin)2 (cos)2yrxry2 2 x2 2 r2 2，sin2 cos2 1R22rxyP(x，y)xyOrsincostanyrxryx；cotxy2021/3/29121.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式1cossin22 . 1cottan 称为平方关系称为平方关系称为倒数关系称为倒数关系 tancossin 称为商数关系称为商数关系关于三种关系式关于三种关系式1.“同角”的概念与角的表达形式无关.;

7、13cos3sin:22 如如; 12cot2tan .23tan23cos23sin 2.三种关系式(公式)都必须在定义域允许的范围内成立.,cottancossin. 3知一求三关系式可以利用上三种基本的对于同一个角 、2021/3/2913同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式平方关系：平方关系：22sincos1 ，sintancos，tancot1 ，商数关系：商数关系：倒数关系：倒数关系：学习数学公学习数学公式需要做好式需要做好哪几件事？哪几件事？第一件事：第一件事：记住它！记住它！2021/3/2914学习数学公式需要做好哪几件事？学习数学公式需要做好哪几件事？v记住它

8、！（通过分析式子的结构来记忆）记住它！（通过分析式子的结构来记忆）v明确公式成立的条件明确公式成立的条件（何时（何时“不必疑不必疑”？）？）2021/3/2915公式成立的条件公式成立的条件平方关系：平方关系：22sincos1 ，sintancos，tancot1 ，商数关系：商数关系：倒数关系：倒数关系：R(Z)2kk(Z)2kk两边都有意义约定：约定：（详见课本（详见课本第第24页倒数页倒数第第5行）行）2021/3/2916学习数学公式需要做好哪几件事？学习数学公式需要做好哪几件事？v记住它！（通过分析式子的结构来记忆）记住它！（通过分析式子的结构来记忆）v明确公式成立的条件（何时明确

9、公式成立的条件（何时“不必疑不必疑”？）？）v熟悉公式的变形熟悉公式的变形（换马甲）（换马甲）2021/3/2917游戏：判断对错游戏：判断对错v1v2v3v4v5v62cos1sinsincostancoscotsin221tan+1cossin2 cos2 122sin 27 +cos 631 cos(30 )sin(30 ) cot(30 )xxx 27272021/3/2918学习数学公式需要做好哪几件事？学习数学公式需要做好哪几件事？v记住它！（通过分析式子的结构来记忆）记住它！（通过分析式子的结构来记忆）v明确公式成立的条件（何时明确公式成立的条件（何时“不必疑不必疑”？）？）v熟

10、悉公式的变形（换马甲）熟悉公式的变形（换马甲）v熟悉公式的一些典型应用熟悉公式的一些典型应用v熟悉应用公式时的易错点熟悉应用公式时的易错点2021/3/2919公式运用三类题型公式运用三类题型v已知一个角的一个三角函数值，求这个角的已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其它几个三角函数值。其它几个三角函数值。第一类题型第一类题型2021/3/2920公式运用之一公式运用之一已知一个角的一个三角函数值，求已知一个角的一个三角函数值，求这个这个角的其它几个三角函数值。角的其它几个三角函数值。sincostan2021/3/2921例题（一）例题（一）例例1已知：已知：sin 0.8，且，且 为第三

11、象限角，为第三象限角，求：求：cos，tan ，cot 的值的值. .解：解： 为第三象限角，为第三象限角， cos 0 ，于是，于是例题（二）例题（二）例例2已知：已知：cos m，且且m (0，1，求，求tan 22sin1cos1m从而从而2sin1tancosmm当当 为第四象限角时为第四象限角时， 同理可得：同理可得： 21tanmm 不打草稿，你能否不打草稿，你能否找出其中的错误？找出其中的错误？2021/3/2927sintancos公式运用之一公式运用之一已知一个角的一个三角函数值，求已知一个角的一个三角函数值，求这个这个角的其它几个三角函数值。角的其它几个三角函数值。sinc

12、ostan22sincos1?2021/3/2928例题（二）例题（二）例例3已知：已知：tan 0，用，用 tan 表示表示 sin. .解：解：sinsin1错在哪里？错在哪里？22sinsincos2tantan122222sintansincoscostan1sinsincos1coscos正难则反！正难则反！2021/3/2929练习练习已知：已知：tan 2，填空：，填空：（1）（2）（3）sincos_sin3 cos227sin_23cos分子分母同除以cos 2 2sin2 2cos2 333sin_sin3cos4sin sin (sin2 cos2 )22021/3/29

13、30公式运用三类题型l三角函数式的化简三角函数式的化简第二类题型第二类题型2021/3/2931一、化简 所谓化简，就是使表达式经过某种变形(如切化弦)，使结果尽可能的简单，能求值的一定要求值。2021/3/2932例4：化简1tancossin解：原式=coscoscossincossin1cossincossin2021/3/2933练习：练习：)sin1)(sin1 (化简， 22cos)tan1 ( 2021/3/2934例5：440sin12化简解：原式=()80cos80cos80cos80sin180360sin12222021/3/2935练习：化简化简 500cos122si

14、n12021/3/2936公式运用三类题型公式运用三类题型v三角恒等式的证明三角恒等式的证明第二类题型第二类题型2021/3/2937三角恒等式的证明三角恒等式的证明:l从一边证到另一边:有繁到简l作差:l从两边证都等于同一值2021/3/2938)(cossin1sin1cos:7三三角角恒恒等等式式的的证证明明求求证证例例 2sin1)sin1(cos)sin1)(sin1()sin1(cos:0sin11sin0cos1 左左边边于于是是，所所以以，知知：由由证证明明右右边边 cossin1cos)sin1(cos222 (1sin)(1sin)1sin方方 法法 ：2coscoscos

15、1sin0,cos0,cos1sin.1sincos且且所所 以以 : :1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式2021/3/2939能力训练能力训练224.:sintancoscot2sincostancot推推倒倒出出成成立立 cossin1cossin)cos(sincossincossin2cossincossin2sincoscoscossinsin:222224422 左边左边证明证明 cossin1cossincossinsincoscossin22 右右边边所以，原式成立所以，原式成立. .1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的

16、基本关系式2021/3/2940例例6：证明：证明1sin2cossin) 1 (2442222sintansintan) 2 (cossin1sin1cos)3(2021/3/2941证法一：因为cossin1sin1cos0cos)sin1 (coscoscos)sin1 ()sin1 (coscossin1sin1cos222所以2021/3/2942证法二：因为22cossin1)sin1)(sin1 (cossin1sin1cos, 0cos, 0sin-1所以由原题可知2021/3/2943证法三：证法三：右边原式左边cossin1cos)sin1 (cossin1)sin1 (c

17、oscos)sin1 (cossin1cos0sin1 , 0cos2222021/3/2944小小 结结 证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法一般有以下三种：方法一般有以下三种：.,)1(简简的的原原则则证证明明时时一一般般遵遵循循由由繁繁到到它它等等于于另另一一边边证证明明从从等等式式的的一一边边开开始始依依据据相相等等关关系系的的传传递递性性.,)2(于于同同一一个个式式子子右右两两边边等等证证明明左左等等于于同同量量的的两两个个量量相相等等依依据据、.

18、,:.,:.)3(成成立立知知可可成成立立因因为为只只要要证证要要证证分分析析法法成成立立知知由由此此可可等等价价与与再再证证成成立立先先证证综综合合法法的的方方法法这这种种方方法法对对应应着着两两具具体体从从而而推推出出原原式式成成立立式式子子成成立立证证明明与与原原式式等等价价的的另另一一依依据据价价转转化化思思想想badcdcbababadcdc 2021/3/2945423sin,cos,55tan.mmmm( (1 1) )已已知知是是第第四四象象限限角角求求的的值值)(53cos,54sin,0是是第第四四象象限限角角不不合合与与时时当当 m.512tan,135cos,1312s

19、in,8 时时当当m思考题思考题. 80, 0)8(:,1)53()524(1cossin2222 mmmmmmmm或或则则整整理理得得化化简简 解：解：注意挖掘隐含的条件注意挖掘隐含的条件: :22sincos11.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式2021/3/2946.tan1coscot1sin).(cossin0)13(2:2的的值值求求的的两两个个根根分分别别是是已已知知方方程程例例 Rm、mxx能力检测能力检测提示提示: :先化简后求值先化简后求值. .213: 答案答案1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式2021/3/2947小小 结结 证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法一般有以下三种：方法一般有以下三种：.,)1(简简的的原原则则证证明明时时一一般般遵遵循循由由繁繁到到它它等等于于另另一一边边证证明明从从等