测量误差的基本知识ppt课件

1、5-1 丈量误差的概念丈量误差的概念5-2 评定精度的规范评定精度的规范 5-3 误差传播定律及其运用误差传播定律及其运用 5-4 等精度观测值的平差等精度观测值的平差 一、丈量误差产生的缘由一、丈量误差产生的缘由 实际证明，不论仪器多么精细，观测多么仔实际证明，不论仪器多么精细，观测多么仔细，对某一量进展多次观测会发现，各观测值之细，对某一量进展多次观测会发现，各观测值之间总存在差别。间总存在差别。 观测值或其函数与未知量的真值或其观测值或其函数与未知量的真值或其函数的实际值之间存在差值，这种各观测值相函数的实际值之间存在差值，这种各观测值相互之间，或观测值与其实际值之间存在的某些差互之间，

2、或观测值与其实际值之间存在的某些差别景象，在丈量任务中是普遍存在的。这种差值别景象，在丈量任务中是普遍存在的。这种差值称为丈量误差。称为丈量误差。 丈量误差观测值真值丈量误差观测值真值 观测误差来源于仪器误差、人的感官才干和外界环境观测误差来源于仪器误差、人的感官才干和外界环境如温度、湿度、风力、大折光等的影响，这三方面的如温度、湿度、风力、大折光等的影响，这三方面的客观条件统称观测条件。客观条件统称观测条件。1. 丈量仪器丈量仪器Instrumental Errors 每一种丈量仪器具有一定的准确度，使丈量结果遭到一每一种丈量仪器具有一定的准确度，使丈量结果遭到一定的影响。另外，仪器构造的不

3、完善，也会引起观测误差。定的影响。另外，仪器构造的不完善，也会引起观测误差。2. 观测者观测者Personal Errors 由于观测者的觉得器官的区分才干存在局限性，在仪器由于观测者的觉得器官的区分才干存在局限性，在仪器对中、整平、瞄准、读数等操作时都会产生误差。对中、整平、瞄准、读数等操作时都会产生误差。 3. 外界环境外界环境Natural Errors 丈量作业环境的温度、气压、湿度、风力、日光照射、丈量作业环境的温度、气压、湿度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时辰在变化，使丈量结果产生大气折光、烟雾等客观情况时辰在变化，使丈量结果产生误误 差。例如，温度变化使钢尺产生伸缩，

4、差。例如，温度变化使钢尺产生伸缩， 风吹和日光照风吹和日光照射使仪器的安顿不稳定，射使仪器的安顿不稳定， 大气折光使望远镜的瞄准产生大气折光使望远镜的瞄准产生偏向等。偏向等。 同精度观测：在一样的观测条件下进展的观测。同精度观测：在一样的观测条件下进展的观测。不同精度观测：各个观测运用不同精度的仪器，或观测方不同精度观测：各个观测运用不同精度的仪器，或观测方法、技术程度不同，或客观环境差别较大，那么是不同精法、技术程度不同，或客观环境差别较大，那么是不同精度的观测。度的观测。二、丈量误差的分类二、丈量误差的分类 任何丈量任务都离不开观测条件，所以观测误任何丈量任务都离不开观测条件，所以观测误差

5、的产生是不可防止的。根据观测误差对丈量结差的产生是不可防止的。根据观测误差对丈量结果影响的性质，可分为系统误差和偶尔误差。果影响的性质，可分为系统误差和偶尔误差。系统误差：在一样的观测条件下，对某量进展一系统误差：在一样的观测条件下，对某量进展一系列观测，假设误差的出如今数值大小和符号上系列观测，假设误差的出如今数值大小和符号上均一样，或按一定的规律变化，或者为某一个常均一样，或按一定的规律变化，或者为某一个常数，这种误差称为系统误差。系统误差具有积累数，这种误差称为系统误差。系统误差具有积累性，但又有一定的规律，因此可设法加以消除或性，但又有一定的规律，因此可设法加以消除或减弱。减弱。 计算

6、矫正数。计算矫正数。采用一定的观测方法。采用一定的观测方法。将系统误差限制在允许范围内。将系统误差限制在允许范围内。 2.偶尔误差：在一样的观测条件下，对某量作一系列观偶尔误差：在一样的观测条件下，对某量作一系列观测，假设误差出现的符号和数值大小均不一致，从外表测，假设误差出现的符号和数值大小均不一致，从外表上看无任何规律性，但就大量误差的整体而言具有统计上看无任何规律性，但就大量误差的整体而言具有统计规律，这种误差称为偶尔误差。例如用刻至规律，这种误差称为偶尔误差。例如用刻至1mm的钢的钢尺量距，最多能估读尺量距，最多能估读0.1毫米。且每次估读又不能绝对毫米。且每次估读又不能绝对正确，也不

7、会绝对相等，其差别纯属偶尔性。正确，也不会绝对相等，其差别纯属偶尔性。 偶尔误差是不可防止的，不能够经过丈量的访求加以偶尔误差是不可防止的，不能够经过丈量的访求加以消除，但具有统计规律性，可运用数理统计的方法加以消除，但具有统计规律性，可运用数理统计的方法加以处置。处置。 3. 粗差：观测数据中存在的错误，称为粗差。是由于作粗差：观测数据中存在的错误，称为粗差。是由于作业人员的大意大意或各种要素的干扰呵斥的，如瞄错目业人员的大意大意或各种要素的干扰呵斥的，如瞄错目的、读错大数，光电测距、的、读错大数，光电测距、GPS丈量中对载波信号的干丈量中对载波信号的干扰等。扰等。 粗差必需剔除，而且也是可

8、以剔除的。粗差必需剔除，而且也是可以剔除的。 4.多余观测多余观测 偶尔误差产生的缘由非常复杂，又找不到完全消除偶尔误差产生的缘由非常复杂，又找不到完全消除其影响的方法，观测结果中就不可防止存在着偶尔误其影响的方法，观测结果中就不可防止存在着偶尔误差的影响。差的影响。 因此，在实践丈量任务中，为了检核观测值中有无因此，在实践丈量任务中，为了检核观测值中有无错误，提高成果的质量，必需进展多余观测，即观测错误，提高成果的质量，必需进展多余观测，即观测值的个数多于未知量的个数。值的个数多于未知量的个数。 对带有偶尔误差的观测结果进展处置的任务，称为对带有偶尔误差的观测结果进展处置的任务，称为丈量平差

9、。丈量平差。 三、偶尔误差的特性三、偶尔误差的特性 从单个偶尔误差来看，其符号的正、负和数值从单个偶尔误差来看，其符号的正、负和数值的大小没有任何规律性。但是，假设观测的次数的大小没有任何规律性。但是，假设观测的次数很多，察看其大量的偶尔误差，就能发现隐藏在很多，察看其大量的偶尔误差，就能发现隐藏在偶尔性下面的必然规律。进展统计的数量越大，偶尔性下面的必然规律。进展统计的数量越大，规律性也越明显。下面结合某观测实例，用统计规律性也越明显。下面结合某观测实例，用统计方法进展阐明和分析。方法进展阐明和分析。 在某一测区，在一样的观测条件下共观测了在某一测区，在一样的观测条件下共观测了358个三角个

10、三角形的全部内角，由于每个三角形内角之和的真值形的全部内角，由于每个三角形内角之和的真值180为知，因此，可以上式计算每个三角形内角之和的真误差为知，因此，可以上式计算每个三角形内角之和的真误差i，将它们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到大，将它们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到大陈列次序。以误差区间陈列次序。以误差区间d=3进展误差个数进展误差个数k的统计，并的统计，并计算其相对个数计算其相对个数knn358， kn称为误差出现的称为误差出现的频率。频率。 误差区间误差区间 d d 负误差负误差正误差正误差误差绝对值误差绝对值K KK/nK/nK KK/nK/nK KK/nK/n0

11、 03 345450.1260.12646460.1280.12891910.2540.2543 36 640400.1120.11241410.1150.11581810.2260.2266 69 933330.0920.09233330.0920.09266660.1840.1849 9121223230.0640.06421210.0590.05944440.1230.1231212151517170.0470.04716160.0450.04533330.0920.0921515181813130.0360.03613130.0360.03626260.0730.07318182121

12、6 60.0170.0175 50.0140.01411110.0310.031212124244 40.0110.0112 20.0060.0066 60.0170.0172424以上以上0 00 00 00 00 00 01811810 05055051771770 04954953583581.0001.000 由此，可以归纳出偶尔误差的特性如下：由此，可以归纳出偶尔误差的特性如下：界限性：在一定的观测条件下，偶尔误差的绝对值不会超界限性：在一定的观测条件下，偶尔误差的绝对值不会超越一定的限值越一定的限值 。聚中性：绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的聚中性：绝对值较小的误差出现的

13、频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。误差出现的频率小。对称性：绝对值相等的正、负误差具有大致相等的出现频对称性：绝对值相等的正、负误差具有大致相等的出现频率率 。抵偿性：当观测次数无限增大时，偶尔误差的实际平均值抵偿性：当观测次数无限增大时，偶尔误差的实际平均值趋近于零，即：趋近于零，即： 0lim21lim nnnnn一、精度一、精度Precision丈量值与其真值的接近程度丈量值与其真值的接近程度准确度准确度Accuracy：表示丈量结果与其真值接：表示丈量结果与其真值接近程度的量。反映系统误差的大小。近程度的量。反映系统误差的大小。精细度精细度 Precision ：表示丈量结果的离散

14、程度。：表示丈量结果的离散程度。反映偶尔误差的大小量。反映偶尔误差的大小量。二、衡量精度的目的二、衡量精度的目的中误差中误差 在一定的观测条件下，观测值在一定的观测条件下，观测值l与其真值与其真值X之差之差称为真误差称为真误差D，即，即 D = li X (i=1，2, ,n) 这些独立误差平方和的平均值的极限称为中这些独立误差平方和的平均值的极限称为中误差的平方，即误差的平方，即 上式是实际上的数值，实践丈量中观测次数不上式是实际上的数值，实践丈量中观测次数不能够无限多，因此在实践运用中取以下公式：能够无限多，因此在实践运用中取以下公式： m2 =limn n m = D2np 两组观测值的

15、误差绝对值相等两组观测值的误差绝对值相等p m1 m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成果的精度成果的精度次序次序第一组观测第一组观测第二组观测第二组观测 观测值观测值真误差真误差观测值观测值真误差真误差18018000030003+3+39 9180180000000000 00 018018000020002+2+24 417917959595959-1-11 117917959585958-2-24 418018000070007+7+7494917917959565956-4-4161618018000020002+2+24 41801800

16、0010001+1+11 118018000010001+1+11 1180180000000000 00 017917959595959-1-11 118018000040004+4+4161617917959525952-8-8646417917959575957-3-39 9180180000000000 00 017917959585958-2-24 417917959575957-3-39 918018000030003+3+39 918018000010001+1+11 1| |242472722424130130中误差中误差 212.710m 223.610m 2.允许误差允许误

17、差 允许误差又称极限误差。根据误差实际及实际证明，允许误差又称极限误差。根据误差实际及实际证明，在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差的偶尔误差，其出现的能够性约为的偶尔误差，其出现的能够性约为5%；大于三倍中误差；大于三倍中误差的偶尔误差，其出现的能够性仅有的偶尔误差，其出现的能够性仅有3，且以为是不大能，且以为是不大能够出现的。因此普通取三倍中误差作为偶尔误差的极限误够出现的。因此普通取三倍中误差作为偶尔误差的极限误差。差。 D容容 = 3m 有时对精度要求较严，也可采用有时对精度要求较严，也可采用D容容 = 2m作为允许作为允

18、许误差。误差。 在丈量任务中，如某个误差超越了允许误差，那么相在丈量任务中，如某个误差超越了允许误差，那么相应观测值应舍去重测。应观测值应舍去重测。相对误差相对误差 绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某些丈量任务中，有时用中误差还不能完全反在某些丈量任务中，有时用中误差还不能完全反映丈量精度，例如丈量某两段间隔，一段长映丈量精度，例如丈量某两段间隔，一段长200m，另一段长，另一段长100m，它们的丈量中误差均为，它们的丈量中误差均为0.2m，为此用观测值的中误差与观测值之比，为此用观测值的中误差与观测值之比，并将其分子化为并将其分子化为1，即用，即

19、用1/K表示，称为相对误差。表示，称为相对误差。 本例本例 前者为前者为 0.2/200 = 1/1 000， 后者为后者为 0.2/100 = 1/5 00， 明显前者的精度高于后者。明显前者的精度高于后者。 一、误差传播定律一、误差传播定律 丈量任务中某些未知量需求由假设干独立观测丈量任务中某些未知量需求由假设干独立观测值按一定的函数关系间接计算出来的。值按一定的函数关系间接计算出来的。 论述观测值的中误差与观测值函数的中误差之论述观测值的中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律称为误差传播定律。间关系的定律称为误差传播定律。 丈量中，有些未知量不能直接观测测定， 需由直接观丈量计算求出。

20、 水准仪一站观测的高差h=a-b 三角高程丈量初算高差h=Ssin 直接观丈量的误差导致它们的函数也存在误差， 函数的误差由直接观丈量的误差传播过来。 二二.普通函数的中误差普通函数的中误差令 的系数为 ， (c)式为：ixiixFf由于 和 是一个很小的量，可替代上式中的 和 ： ixidxdznnxxFxxFxxF2211(c)代入(b)得对(a)全微分：nndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)设有函数：),(21nxxxFZ为独立观测值ix设 有真误差 ，函数 也产生真误差ixixZ(a)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11)

21、 1 (knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：i，j=1n且ijjijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)对K个(e)式取总和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122由偶尔误差的抵偿性知：0limnxxjin(g)式最后一项极小于前面

22、各项，可忽略不计，那么：前面各项KxfKxfKxfKnn22222221212即即22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)思索思索 ，代入上式，得中误差关系式：，代入上式，得中误差关系式：iixFf2222222121nnZmxFmxFmxFm(5-10)上式为普通函数的中误差公式，也称为误差传播定律。上式为普通函数的中误差公式，也称为误差传播定律。 经过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤： 1.列出函数式； 2.对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。 1.倍数函数的中误差 设有函

23、数式 (x为观测值，K为x的系数) 全微分 得中误差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：量得例：量得 地形图上两点间长度地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地间隔计算该两点实地间隔S及其中误差及其中误差ms：l1000:1m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS解：列函数式解：列函数式 求全微分求全微分 中误差式中误差式三三 .几种常用函数的中误差几种常用函数的中误差 2.线性函数的中误差线性函数的中误差 设有函数式 全微分 中误差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz221

24、12222222121nnZmkmkmkm例：设有某线性函数例：设有某线性函数 其中其中 、 、 分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中误差分 别为别为 求求Z的中误差的中误差 。 314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：对上式全微分：解：对上式全微分：由中误差式得： 函数式 全微分 中误差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm3.算术平

25、均值的中误差式算术平均值的中误差式 由于等精度观测时， ，代入上式： 得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差减少了 倍。 对某观丈量进展多次观测(多余观测)取平均， 是提高观测成果精度最有效的方法。4.和或差函数的中误差和或差函数的中误差 函数式： 全微分： 中误差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm当等精度观测时： 上式可写成：mmmmmn321nmmZ例：测定例：测定A、B间的高差间的高差 ，共延续测了，共延续测了9站。设丈量站。设丈量 每站高差的中误差每站高差的中误差 ，求总高差，求总高差 的中的中 误差误差 。 解

26、：解： ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh观测值函数中误差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差普通函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX运用举例运用举例例例1 1：用尺长为：用尺长为l l的钢尺丈量间隔的钢尺丈量间隔S S，共丈量，共丈量4 4个尺个尺段，设丈量一个尺段的中误差为段，设丈量一个尺段的中误差为m m，试求，试求

27、S S的中误的中误差。差。解：解：运用误差传播定律得：运用误差传播定律得：Sllll 22222Smmmmmm 例例2 2 自水准点向水准点进展水准丈量自水准点向水准点进展水准丈量( (图图7-3)7-3)，设各段所测高差，设各段所测高差分别为分别为求、两点间的高差及其中误差。求、两点间的高差及其中误差。 解：、之间的高差解：、之间的高差h=h1+h2+h3=7.811m;h=h1+h2+h3=7.811m;高差中误差高差中误差mmhmmhmmh4346. 23305. 65852. 3321mmmmmmh1 . 7435222232221例例3 3x=Dcosx=Dcos，测得，测得D=63

28、.21D=63.210.04m,=200.04m,=203000300012,12,试求试求的中误差。的中误差。解：解：x=Dcosx=Dcos2222mxmDxmDx)(0375. 020626512000320sin21.6304. 0000320cossincos22222222mmDmD 在计算中，在计算中，=206265 。1弧度弧度=180*3600/=206264.806 试用中误差传播定律分析视距丈量的精度。 解:(1)丈量程度间隔的精度 根本公式： 2cosKlD 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2程度间隔中误差： 22222)2sin()co

29、s( mKlmKmlD)206265( 其中： 同精度观测：在一样的观测条件下进展的观测。同精度观测：在一样的观测条件下进展的观测。 观测值的算术平均值观测值的算术平均值( (最或是值最或是值) ) 用观测值的矫正数用观测值的矫正数v v计算观测值的计算观测值的 中误差中误差 ( (即即: :白塞尔公式白塞尔公式) )5.4 5.4 同等精度直接观测平差同等精度直接观测平差 一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值) 证明算术平均值为该量的最或是值： 设该量的真值为X，那么各观测值的真误差为 1= 1- X 2= 2- X n= n- X对某未知量进展了n 次观测，得n个观测值1,2,n,那么该量的算术平均值为：x= =1+2+nnn上式等号两边分别相加得和： lnX L= nlnlllLn21 nXl 当观测无限多次时：nlXnnnlimlim得得Xnlnlim两边除以n：由 lnX nlXn当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L X nXl XLXnln 0)(limlimXLnnn观测值矫正数特点二二. .观