3知识讲解直线的参数

1、直线的参数方程1 能选择适当的参数写出直线的参数方程2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。【要点梳理】要点一、直线的参数方程的标准形式1. 直线参数方程的标准形式：经过定点M0(x0,y0) ，倾斜角为的直线 l 的参数方程为：x x0 tcosy y0 tsint 为参数) ；我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。2. 参数 t的几何意义：参数 t 表示直线l 上以定点M 0 为起点，任意一点M(x,y) 为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正uuuuuur负号，也即| M0M | |t |， | t |表示直线上任一点M到定点M0 的距离。当点M在M 0上方时，t0；当点M在M 0

2、下方时，t0；当点M与M 0重合时，t0；x x0 t要点注释：若直线 l 的倾角0 时，直线l 的参数方程为0yy0要点二、直线的参数方程的一般形式过定点P0(x 0,y 0) 斜率k=tg = b 的直线的参数方程是axx0at(t 为参数 )yy0bt在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义。若a2+b2=1, 则为标准式，此时，t 表示直线上动点P 到定点P0的距离；若a2+b2 1，则动点P 到定点P0的距离是a2 b2 t .要点三、化直线参数方程的一般式为标准式、过点M0( x0, y0)直线 l 参数方程的一般式为，.斜率为 k tg bat 的几何意义是有向线段M 0

3、 M 的数量 .xx0yy0at ( t 为参数) ， bt(1) 当 a2b21 时，则(2)a2b2 1 时，则 t 不具有上述的几何意义x0 at0 可化为y0btx x0 a ( a2b2 t)a2b2b22yy022 ( a b t)ab令 t = a2 b2t则可得到标准式x x0y y0t要点四、直线参数方程的应用22 abM 0 M 的数量 .1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法：设过点P0(x 0,y 0), 倾斜角为的直线 l 的参数方程是xx0t cosa( t 为参数)yy0tsina若P1 、 P2 是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则1

4、) P1、 P2 两点的坐标分别是：(x 0+t 1cos ,y 0+t 1sin )， (x 0+t 2cos ,y 0+t 2sin ) ；(2) P1P2 = t 1-t 2 ;t1 t2(3) 线段P1P2的中点P 所对应的参数为t，则 t= 122P 到定点P0 的距离PP0 = tt1 t22(4) 若P0为线段P1 P2的中点，则t 1+t 2=0.2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型：( 1 )有关弦长最值题型过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A、 B 两点。 则A、 B 两点分别用参变量t1 、 t2 表示。一般情况A、 B 都在定点两侧，t1 ， t2

5、 符号相反，故|AB|=| t1- t2| ，即可作分公式。且因正、余弦函数式最大(小)值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。(2) 有关相交弦中点、中点轨迹的题型直线标准参数方程和曲线两交点A(t1) 、 B(t2) 的中点坐标相应的参数t中 = t1 t2 ；若定点恰为AB为2中点，则t1+t2=0 . 这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。3)有关两线段长的乘积(或比值)的题型若 F 为定点，P、 Q为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1 、

6、 t2. 则 |FP| · |FQ|=| t1 · t2| ，解决为好 类型一、直线的参数方程-tcos20（ t 为参数）的倾斜角是（3 tsin20x例 1. （ 2016 春 福州校级期中）直线xyA20°B. 70°C. 110°D. 160°D第一种方法：化为普通方程，求倾斜角-x t cos20把参数方程改写成-x cosy-3 tsin20消去 t，有 y-3 -x tan 20 =xtan160 ，即 y x tan160 +3，所以直线的倾斜角为160°第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程x t co

7、s160y 3 tsin160所以直线的倾斜角为160°，选D根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，x 2 tcos2020°，根据方程就可以判断出倾斜角，例如 x cos （ t 为参数） ， 可以直接判断出直线的倾斜角是y 4 tsin20但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了。1 】 已知直线l 的参数方程为xy3t3t （ t 为参数） ，求直线l 的倾斜角t关键是将已知的参数方程化为x0y0tcos的形式。tsinx若化成另一种形式3(2t)21 (2t)2若 2t 为一个参数，则cossin32 ，在120, ）

8、内无解；置关系x而化成故直线 l 的倾斜角为2】求直线3】4】解法一：将直线k1解法二：由参数方程可知1)=0， l1即两条直线垂直23 ( 2t)( 2t)x 3 4ty 4 5tcos时，则（t为参数）的斜率。sinx3y44t5t（t为参数）x3y44t5t5t为锐角，直线x34tt cos(t sin(3232）的倾斜角（）1 t cos(2 t sin(x1tan() tan(（ , ） ，倾角为22k22l2C。l1的参数方程为2t， l2的参数方程为 4t2tl1 化为普通方程，得y=2x+1 ，将l 2 化为普通方程，得试判断l1 与l2的位t2111 ，所以两直线垂直2l1的

9、方向向量是a1=（ 2， 4） ， l2的方向向量是a2=(2，1） ，又2 × 2+4 × （直线的参数方程406451 例题 1】x 5 3t例 2 设直线的参数方程为y 10 4t1 ）求直线的直角坐标方程；2）化参数方程为标准形式在直线的参数方程的标准形式中参数t 的系数具有明确的意义，分别是直线的倾斜角的正、余弦值， 且 y 值中 t 的系数一定为正x5【解析】 （ 1 ）把 t 代入 y 的表达式，3得 y 10 4（x 5），3化简得4x+3y 50=0所以直线的直角坐标方程为4x+3y 50=0532 422t35(5t)51032 42t4210(5t)x

10、令u= 5t，则方程变为记 cos103u54u5345， sin 5u cosx0y010usinat(tbt为参数） ，由直线的参数方程的标准形式x x0 t cos0可知y y0 tsin者 的 平 方 和 为 1， 故 可 将 原 式 转 化 为参 数 t前 的 系 数 分 别 是 其 倾 斜 角 的 余 弦 值 和 正 弦 值 ，axx0a2 bb2 a2yy0a2 b2a2b2t再令 cosb2ta， sina2b2b a2，由直线倾斜角的范围，使 b2在 0 ，） 范围内 取值，并且把a2b2t 看 成标 准方程中t ，即得 标准式 的参数 方程 为a2 b2t具有标准形式参数方

11、程中参x x0 tcos0（ t 为参数） 由上述过程可知，y y0 t sin数 t 的几何意义。1】写出经过点M 0（2， 3） ，倾斜角为3 的直线4l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M0相距为 2 的点的坐标.l 的标准参数方程为x3 tcos43 tsin422 t（ t 为参数） （ 1）2t2设直线 l 上与已知点M 0相距为M 点，且 M 点对应的参数为t,(1) 式则 | M0M| |t| =2, t=± 2 将 tt=2 时， M 点在 M 0点的上方，其坐标为（22 ， 32 ） ；t=-2 时， M 点在M 0点的下方，其坐标为（22 ， 32 ）x2

12、】直线的参数方程x是可以的，只需作参数x1ty 33 t得到直线l 参数方程的标准形式t 能否化为标准形式？3 t112 ( 3)23.（构造勾股数，实现标准化）( 12 ( 3)2t)令 t = 12 ( 3)2t( 12 ( 3)2t)1t2 t 的几何意义是有向线段M 0 M 的数量 .3t23】化直线l1 的普通方程x几何意义.3y1 0 为参数方程，并说明参数的几何意义,说明t的设倾斜角为l 1的参数方程为y=0,得 x 1，直线l1 过定点 (1,0). k13tg3 33t21t25 , cos63=3=21, sin =2t 为参数）t 是直线 l1 上定点M 0（1，0）到对

13、应的点M（ x, y ）的有向线段M 0 M 的数量.由x3t2(1)(2)22 yt类型二、直线的标准参数方程的初步应用t(x 1)2 y2t是定点M0（ 1， 0）到t 对应的点M（ x , y ）的有向线段M 0M 的长 .5例3设直线 l1 过点A（ 2，4） ，倾斜角为61 ）求 l1 的参数方程；2）设直线l2 : x y 1 0， l2与 l1 的交点为B，求点B与点 A的距离M点的坐标较麻烦，而使用直线的【思路点拨】（ 2）中，若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求参数方程，充分利用参数t 的几何意义求较容易.标准形式而对于某些比较简单的直线问题，比如求直线和坐标轴或者与某

14、条直线的交点时宜用直线的普通方程x（ 1 ）直线的参数方程为52 tcos64 tsin5623t2 （ t 为参数） 1t22）如图所示，B点在 l1 上，只要求出B点对应的参数值t，则 |t| 就是 B 到 A把 l1的参数方程代入l 2的方程中，31得 2 t 4 t 1 0，227，t 147( 3 1)31t 为正值，知| AB | 7( 3 1) （ 2）本类题常见错误是转化参数方程时不注意题目内容，随便取一个定点举一反三：x 1 3t1】已知直线l1 :（t为参数）与直线 l2 : 2x 4y 5相交于点B，又点 A（1,2） ，则 AB 。x 1 3t155将代入 2x 4y

15、5 得 t ，则 B( ,0) ，而 A(1,2) ，得 ABy 2 4t22242】已知直线l1 过点P（ 2， 0） ，斜率为4 3（ 1） 求直线 l 1 的参数方程；（ 2） 若直线l2的方程为x y 5 0，且满足l1l2 Q，求| PQ| 的值（ 1） 设直线的倾斜角为，由题意知tan所以 sin 45cos 3 ，故 l1 的参数方程为54，3x 2 3t5（ t 为参数 ） 4yt53x 2t52tt 50，解得t5，即Q（ 1，4），所以 | PQ| 5（2） 将代入l2 的方程得：4yt53】求点A（ - 1， -2）关于直线l：2x -3 y +1 =0的对称点A'

16、; 的坐标。2AA' 的参数方程为x = -1 -13t ，3 （t 是参数），y = -2+ 13t代入直线的参数方程得A 到直线 l 的距离 d = 513，10t = AA' =，134】已知直线l 过点33A' （-，13， 13）。P（ 3， 2） ，且与x 轴和 y 轴的正半轴分别交于A、 B 两点，求|PA| · |PB| 的值为最小时的直线l 的方程x则它的参数方程为ytcostsint 为参数） A、 B 分别是 x 轴、 y 轴上的点知yA=0， xB=0，0=2+t sin ，即 | PA| |t |0=3+t cos ，即 | PB |

17、t|2 sin3cos故 |PA| |PB| 2 sincos12sin290°<< 180°，2 =270°，即=135°时，|PA| · |PB| 有最小值x 32t22( t 为参数) ，y 22t2化为普通方程为x+y 5=0类型三、直线参数方程在圆锥曲线中的应用3例 4. 经过点 A 3, ，倾斜角为的直线 l 与圆x2+y2=25 相交于B、 C两点2（1 ）求弦BC的长；（ 2）当 A恰为 BC的中点时，求直线BC的方程；（3）当|BC|=8时，求直线BC的方程；（ 4）当 变化时，求动弦BC的中点M 的轨迹方程【思路

18、点拨】本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算AP=t为参数(P为 l 上的动点)，x 3 t cos则 l 的参数方程为3，y t sin2代入x2+y2=25，整理得55t 3(2cos sin )t 0554 =9(2cos +sin )2+55> 0 恒成立t1、 t2，且t1+t2=3(2cos+sin ) ， t1 t21) | BC| |t1 t2 |(t1 t2)2 4t1t29(2cos sin )2 55( 2)A为 BC中点，

19、t1+t2=0，即 2cos +sin =0，tan = 2 故直线BC的方程为y 32(x 3)，2即 4x+2y+15=0( 3)| BC | 9(2cos sin )2 55 8，23 (2cos +sin )2=1，cos =0 或 tan 4直线BC的方程是x= 3 或3x+4y+15=0t1 t23( 4)BC的中点M 对应的参数是t 12 (2cos sin ) ，22M 的轨迹方程为3sin (2cos23sin (2cos2sin )(0 sin )），331xcos2sin 2222331ysin 2cos242245163335即点 M 的轨迹是以, 为圆心，以为半径的圆

20、244利用直线的参数方程可以研究直线与圆的位置关系，求直线方程、求弦长、求动点轨迹等举一反三：【变式 1 】直线（） AD（1 1 t）2 （2x1 中点为yx2t【变式2】求直线（ t为参数）被双曲线x2y2 1 截得的弦长。y 3t12t33(3, 3)3323t)233（t为参数） 和圆 x3t222 y16 交于 A, B 两点，则AB 的中点坐标为B16(3,3) C t 2 8t 80 ， t13) D (3,3)t28,t12t242 12t23tt 为参数）1232代入x2y21，得：2 1 t 3t 122整理，得：t 2 4t 6 0设其二根为t1 ， t2 ，则t1 t

21、24， t 1 t2642 4 640 2 10从而弦长为AB t1 t2 t1 t2 2 4t1 t21t t,1 （t为参数） 相交于A、B 两点，求tt【变式3】过点P（3， 0）且倾斜角为30 °的直线和曲线线段 AB 的长33ss2 (s为参数)曲线1s21tt （t为参数）可以化为x2tt4将直线的参数方程代入上式，得s2 6 3s 10 0 设A、 B 对应的参数分别为s1， s2 ，s2 6 3， s1 s2 10AB s1 s2(s1 s2)2 4s1s2 2 17例 5（ 2016 鞍山一模）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲

22、线=4cos，直线l 的方程为t 为参数） ，直线 l 与曲线 C 的公共点为T1）求点T 的极坐标；2）过点T 作直线 l1，若 l1 被曲线 C 截得的线段长为2，求直线l1的极坐标方程【解析】 （ 1）曲线C 的直角坐标方程为x2 4x+y2=0将代入上式并整理得解得点 T 的坐标为其极坐标为 （ 5 分）（2）设直线l'的方程为由（）得曲线C 是以（2，0）为圆心的圆，且圆心到直线l'的距离为则，解得 k=0，或直线l'的方程为，或其极坐标方程为( R)直线的参数方程406451 例题2】1】已知直线l 经过点 P（1,1）, 倾斜角，61）写出直线l 的参数方程。222）设l 与圆 x2 y24相交与两点A, B ，求点P 到 A, B 两点的距离之积。（ 1 ）直线的参数方程为x2 ）把直线t cos6tsin63t21