组合图形的惯性矩学习教案

1、会计学1组合组合(zh)图形的惯性矩图形的惯性矩第一页，共28页。本本 章章 内内 容容o静矩静矩o惯性惯性(gunxng)矩和矩和惯性惯性(gunxng)半径半径o组合图形的惯性组合图形的惯性(gunxng)矩矩第1页/共28页第二页，共28页。 静矩静矩图第2页/共28页第三页，共28页。o取微面积dA， dA的坐标分别为y和z，则ydA、zdA分别称为微面积dA对于z轴和y轴的静矩。它们对整个(zhngg)平面图形面积的定积分 o分别称为整个(zhngg)平面图形对于z轴和y轴的静矩。 AyAZzdASydAS(a)第3页/共28页第四页，共28页。o在静力学的第章中，已经(y jing

2、)导出平面图形的形心坐标公式 简单简单(jindn)图形静矩的计算图形静矩的计算AzdAzAydAyACAC(8.1)第4页/共28页第五页，共28页。o将公式(8.1)代入式(a)，平面(pngmin)图形的形心坐标公式可写为 o由此可得平面(pngmin)图形的静矩为o Sy=zCAo Sz=yCAo即平面(pngmin)图形对某轴的静矩等于其面积与形心坐标（形心至该轴的距离）的乘积。ASyZCASzyC第5页/共28页第六页，共28页。【例8.1】试计算图所示矩形截面(jimin)对z轴和y轴的静矩。【解】矩形截面(jimin)的面积A=bh，其形心坐标yC=h/2,图 zC=b/2。由

3、式（）有Sz=yCA=h/2bh=bh2/2Sy=zCA=b/2bh=b2h/2 第6页/共28页第七页，共28页。o工程(gngchng)实际中，有些构件的截面是由矩形、圆形等简单图形组合成，称为组合图形。o根据图形静矩的定义，组合图形对某轴的静矩等于各个简单图形对同一轴静矩的代数和，即 组合图形组合图形(txng)静矩的计算静矩的计算niiCinCnCCyAzAzAzAzS12211.niiCinCnCCZAyAyAyAyS12211.第7页/共28页第八页，共28页。【例8.2】试计算图所示截面对z轴和y轴的静矩。已知a=30mm。【解】图示截面可看成是由矩形减去半圆。设矩形的面积为A1

4、，半圆的面积为A2。由于A2是要被减去的，该面积取负值(f zh)。由于y轴是对称轴，通过截面形心，所以该截面对y轴的静矩为零，即Sy=0下面计算该截面对z轴的静矩。 A1=4a2a=8a2 yC1=a第8页/共28页第九页，共28页。A2=-1/2a2yC2=4a/3 由式（）有nSz=yCiAi=yC1A1+yC2A2=8a2a+(-1/2a2) 4a/3=1.98105mm3第9页/共28页第十页，共28页。图8.3 第10页/共28页第十一页，共28页。惯性惯性(gunxng)矩矩和惯性和惯性(gunxng)半径半径 惯性矩定义惯性矩定义(dngy)AyAZzdASydAS第11页/共

5、28页第十二页，共28页。o微面积dA与它到坐标原点的距离的平方的乘积2dA，在整个图形范围内的定积分 o称为(chn wi)平面图形对坐标原点的极惯性矩。由图可知o 2=z2+y2o于是有 dAIAp2dAydAzdAyzdAIAAAAp22222第12页/共28页第十三页，共28页。o 即Ip=Iy+Izo上式表示(biosh)：平面图形对于位于图形平面内某点的任一对相互垂直坐标轴的惯性矩之和是一常量，恒等于它对该点的极惯性矩。 第13页/共28页第十四页，共28页。图8.4 第14页/共28页第十五页，共28页。o工程实际中，常将图形对某轴的惯性矩，表示为图形面积与某一长度平方的乘积，即

6、o式中iz、iy分别称为(chn wi)平面图形对z轴和y轴的惯性半径，常用单位为米（m）或毫米（mm)。o由式（）有，惯性半径 惯性惯性(gunxng)半径半径AiIAiIyyzZ22AIiAIiyyZz,第15页/共28页第十六页，共28页。【例8.3】图所示圆形截面的直径(zhjng)为D，试计算它对形心轴（即直径(zhjng)轴）的惯性矩。【解】取平行z轴的微面积由于对称，圆形截面对任一形心轴的惯性矩都等于D4/64。 222dARy dy42222264RzARDIy dAyRy dy 简单简单(jindn)图形的惯性矩图形的惯性矩第16页/共28页第十七页，共28页。【例8.4】图

7、所示的矩形截面，试计算对其形心轴的惯性矩Iz、Iy。【解】（1） 计算惯性矩Iz取平行于z轴的微面积dA=bdy (2) 计算惯性矩Iy取平行于y轴的微面积dA=hdz 表列出了一些常用(chn yn)简单截面图形的几何性质。 3/222/212hzAhbhIy dAy bdy3/222/212hyAhhbIz dAz hdy第17页/共28页第十八页，共28页。图8.5 第18页/共28页第十九页，共28页。图8.6 第19页/共28页第二十页，共28页。表表8.1 简单截面图形简单截面图形(txng)的几何性质的几何性质 第20页/共28页第二十一页，共28页。第21页/共28页第二十二页

8、，共28页。8.3.1 惯性矩的平行惯性矩的平行(pngxng)移轴公移轴公式式2122()2zAAAAAIy dAya dAy dAaydA adA第22页/共28页第二十三页，共28页。oIzC、SzC分别为图形对形心轴zC的惯性矩和静矩。由于图形对形心轴的静矩恒等于(dngy)零，所以SzC=0。于是有oIz=IzC+a2Ao同理Iy=IyC+b2Ao式(8.9)即为惯性矩的平行移轴公式。它表明：平面图形对任意轴的惯性矩，等于(dngy)图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形的面积与两轴距离平方的乘积。 第23页/共28页第二十四页，共28页。图8.7 第24页/共28页第二十五页，共28页。o由惯性矩的定义可知，组合图形对某轴的惯性矩就等于组成它的各简单图形对同一(tngy)轴惯性矩之和。o简单图形对本身形心轴的惯性矩可通过积分或查表求得，再利用平行移轴公式，便可求得各简单图形对组合图形的形心轴的惯性矩。 组合组合(zh)图形的惯图形的惯性矩性矩第25页/共28页第二十六页，共28页。【例8.5】空心水泥板的截面图形如图所示，试求它对z轴和y轴的惯性矩。【解】此组合图形对于(duy)z轴或y轴的惯性矩等于矩形对z轴或y轴的惯性矩减去圆形和对z轴或y轴的惯性矩。 计算惯性矩Iz Iz=I1z-I2z-I3z=I1z