多元函数微分法及其应用21164PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用21164引 言 上册中讨论的函数是一元函数问题.但在许多实际问题中往往涉及到多方面的因素，反应在数学上就是多元函数以及多元函数的微分和积分问题. 多元函数微积分的基本概念、理论和方法是一元函数微积分中相应概念、理论和方法的推广与发展，它们既有许多相似之处，又有很多本质上的不同. 学习时注意比较和区分.第1页/共32页为主，讨论多元函数的微分法及其应用.本章将在一元微分学的基础上，以二元函数第2页/共32页一、准备知识二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性第一节 多元函数的基本概念第3页/共32页二元有序数组（x,y）或点的

2、全体，即 2RR R( , ),x y x yR表示坐标平面.坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作 ( , ) ( , )Ex yx yP 具具有有的的性性质质 222),(ryxyxC 例 圆 内所有点的集合：222xyr rOPPC 或或一、准备知识定义了线性运算和距离的集合 称为二维空间.2R第4页/共32页n 元有序数组12(,)nx xx12(,)nx xxn 维空间中的每一个元素kx数数称为该点的第k个的全体称为n维空间,记作R ,n即RR RRn 12(,)R,1,2,nkx xxxkn称为空间中的一个点, 坐标 .(0,0,0)0.称称为为零零元元，记记为为定

3、义了线性运算和距离的集合 称为二维空间.2R推广：第5页/共32页2. 邻域 0(,) ,U PP 在平面上, 22000(, )( , )()()U Px yxxyy(圆邻域)在空间中, ,2220000()( , , )()()()U Px y zxxyyzz (球邻域)0PP 000(,)P xy 中点 的 邻域为Rn 00(, )U xx xx0 x x0P第6页/共32页 o0() U PP 00PP1.若不需要强调邻域半径 ,也可写成0().U P2.点P0 的去心邻域记为说明：0P 在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域可以互相包含.平面上的方邻域为 0U(,)( ,

4、 ) Px y 0,xx0yy。0P第7页/共32页(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = ,E则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点；第8页/共32页 若对点P 的任一邻域 U(P) 既含E中的内点显然, E的内点必属于E , E 的外点必不属于E , E 的边界点可能属于E, 也可能不属于E . E也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .第9页/共32页若对任意给定的 ,点P 的去心邻域( ,)U P E内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点.聚点可以属于E

5、, 也可以不属于E (因为聚点可以为E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为E 的导集 .第10页/共32页 若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线D 若点集E的点都是内点，则称E为开集； 若点集E E, 则称E为闭集； 开区域连同它的边界一起称为闭区域.连通的开集称为开区域,简称区域; E的边界点的全体称为E的边界, 记作E ;相连 ,则称D是连通的 ;第11页/共32页开区域闭区域xyo21xyoxyoxyo21 ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy第12页/共32页 整个平面是最大的开域 , 点集 ( , )

6、1x yx 也是最大的闭域；是开集，但非区域 .11oxy 对区域D , 若存在正数K , 使一切点PD则称D为有界域 ,否则称为无界域 .与某定点A 的距离 AP K ,第13页/共32页引例: 圆柱体的体积 定量理想气体的压强2,Vr h (,RTpRV 为为常常数数） ( ,)0,0r hrh 0(,)0,V TVTThr第14页/共32页R ,nD ( ),uf P PD或或点集D 称为函数的定义域； 数集 (),u uf PPD称为函数的值域 .特别地，当n = 2时, 有二元函数2( , ),( , )Rzf x yx yD当n = 3时,有三元函数3( , , ), ( , ,

7、)Ruf x y zx y zD映射:RfD 称为定义在D上的n元函数，记作12(,)nuf x xx 定义点函数第15页/共32页xzy221zxy 定义域为圆域 22( , )1Dx yxy 图形为中心在原点的上半球面.1xyzo,sin(),zxy 又又如如2( , )Rx y xyOD第16页/共32页说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D的图形一般为空间曲面 .三元函数 222arcsin()uxyz定义域为单位闭球 222( , , )1x y zxyz图形为4R空间中的超曲面.第17页/共32页D设n元函数( ),R ,nf PPD 0(,),PDU P

8、( )-,f P A 则称A为函数P0 是D的聚点，若存在常数A ,对一切记作0( ),f PPP当当时时的的极极限限都有对任意正数，总存在正数 ,定义(也称为 n 重极限)0lim( )=PPf PAP0lim( )=xxf xA0P00( , )(,)lim( , )=x yxyf x yA),(),(000yxPyxP其中其中第18页/共32页当n =2时, 记22000()()PPxxyy 二元函数的极限可写作：0lim( , )f x yA 0lim( )=PPf PA00lim( , )xxyyf x yA(二重极限)第19页/共32页2222221( , )()sin(0)f x

9、 yxyxyxy 求证：00lim( , )0.xyf x y 证:22221()sin0 xyxy 故00lim( , )0 xyf x y 0, ( , )0f x y 220 xy 当当时时, ,22xy2 22xy , 总有 要证 第20页/共32页 若当点( ,P x y）以不同方式趋于000(,)P xy时时，函数趋于不同值或有的极限不存在，则可以断一元函数：AxfxfAxfxxxxxx )(lim)(lim)(lim0001.多元函数极限0lim()=PPf PA().f PA无无限限接接近近于于常常数数因此，有判定多元函数极限不存在的方法：定函数极限不存在 .注：0PP是是指指

10、 以以任任何何方方式式趋趋近近于于 ，第21页/共32页解 设P(x , y)沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,22( , )xyf x yxy 222200lim( , )limxxy kxkxf x yxk x 在点 (0, 0) 的极限.( , )f x y故故21kk k 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .讨论函数例2则有第22页/共32页00lim( , )xxyyf x y00lim lim( , )yy xxf x y及及不同. 例如,22( , ),xyf x yxy 显然00lim lim( , )xxyyf x y与累次极限：00limlim(

11、 , )0,xyf x y 00limlim( , )0yxf x y 但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在 .第23页/共32页定义 设n元函数( )f P定义在D上,00lim( )()PPf Pf P 0( )f PP在在点点如果函数在D上各点处都连续, 则称此函数0,PD 聚聚点点如果存在否则称为不连续,此时0P称为间断点 .则称n元函数在D上连续.连续, 第24页/共32页222222,0( , )0,0 x yxyxyf x yxy 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数221( , )1f x yxy 上间断.221xy 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论:

12、 一切多元初等函数在定义区域内连续.第25页/共32页222arcsin(3)( , )xyf x yxy 2231xy 2224xy例3 求函数的连续域.20 xy2xy 2oyx2解只须求出该初等函数的定义区域.第26页/共32页0,K,m M ( ),;f PK PD使使( )f P在D上可取得最大值M及最小值m ;对任意,QD( ).f Q 使使 有界闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:2.最值定理1.有界性定理3.介值定理第27页/共32页二、多元函数极限的概念三、多元函数连续的概念有界闭区域上连续函数的性质（三个）（注意趋近方式的任意性）一、多元函数的概念小结0lim( )=PPf PA( ),uf P PD00lim( )()PPf Pf P Rn 二元函数图形一般为空间曲面.一切多元初等函数在定义区域内连续.第28页/共32页思考题第29页/共32页思考题解答不能.例,)(),(