线性系统数学模型学习教案

1、会计学1第一页，共125页。 线性系统的数学模型，拉普拉斯变换，传递函数的定义(dngy)，非线性特性的线性化处理，方框图的简化，梅逊公式的含义和应用。 第1页/共125页第二页，共125页。 描述控制系统(xtng)输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统(xtng)的数学模型。常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间表达式等。建立合理的数学模型，对于系统(xtng)的分析研究是至关重要的。系统(xtng)数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。 第2页/共125页第三页，共125页。v的表示v小结第3页/共125页第四页，共125页。（1）分析

2、系统工作原理，将系统划分为若干环节，确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节可考虑列写一个方程；（2）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化学定律)或通过实验等方法得出的基本规律，列写各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性化；（3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程； （4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式(xngsh)，成为标准化微分方程。 第4页/共125页第五页，共125页。例例2-1 试列写图中所示试列写图中所示RC无源网络的微分方程。输入无源网络的微

3、分方程。输入(shr)为为ui(t)，输出为，输出为u0(t) 。 解解 根据基尔霍夫定理根据基尔霍夫定理(dngl)，可列出以下，可列出以下式子：式子：dttitiCtiRtui)()(1)()(21111dttiCtiRdttitiC)(1)()()(12222211dttiCtu)(1)(220第5页/共125页第六页，共125页。整理(zhngl)得：)()()()()(002122112022121tutudttduCRCRCRdttudCCRRi令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 则得 )()()()()(0032120221tutudttduTTTdttudTTi该

4、网络(wnglu)的数学模型是一个二阶线性常微分方程。 第6页/共125页第七页，共125页。例例2-2 图为一弹簧阻尼系统，当外力图为一弹簧阻尼系统，当外力(wil)F(t)作用于系作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力统时，系统将产生运动。试列写外力(wil)F(t)与位移与位移y(t)之间的微分方程。之间的微分方程。 第7页/共125页第八页，共125页。解解 弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1(t)和粘性摩擦和粘性摩擦阻力阻力F2(t)，根据牛顿，根据牛顿(ni dn)第二定律有第二定律有 ：2221)()()()(dttydmtttFFF)()(1tkyt

5、Fdttdyft)()(2F其中F1(t)和F2(t)可由弹簧(tnhung)、阻尼器特性写出 式中 k 弹簧系数(xsh) f 阻尼系数(xsh)第8页/共125页第九页，共125页。整理(zhngl)且标准化 )(1)()()(22tktydttdykfdttydkmF令 称为(chn wi)时间常数； 称为(c h n wi)阻尼比； 称为(c h n wi)放大系数。 kmT/)2/(mkfkK/1)()()(2)(222tKtydttdyTdttydTF得第9页/共125页第十页，共125页。例例2-3 2-3 电枢控制的它激直流电动机如图所示，电电枢控制的它激直流电动机如图所示，电

6、枢输入电压枢输入电压u0(t)u0(t)，电动机输出转角为。，电动机输出转角为。RaRa、LaLa、ia(t)ia(t)分别为电枢电路分别为电枢电路(dinl)(dinl)的电阻、电感和电的电阻、电感和电流，流，ifif为恒定激磁电流，为恒定激磁电流，ebeb为反电势，为反电势，f f为电动机为电动机轴上的粘性摩擦系数，轴上的粘性摩擦系数，G G为电枢质量，为电枢质量，D D为电枢直径为电枢直径，MLML为负载力矩。为负载力矩。 第10页/共125页第十一页，共125页。解解 电枢回路电压(diny)平衡方程为 baaaaaedttdiLtiRtu)()()(dttdceeb)(ce为电动机的

7、反电势(dinsh)系数 力矩平衡(pnghng)方程为 LDMdttdfdttdJM)()(22)(ticMaMD式中 为电动机电枢的转动惯量 gGDJ42为电动机的力矩系数 Mc第11页/共125页第十二页，共125页。整理(zhngl)得 dtdMLMRucdttdccfRdttdJRfLdttdJLLaLaaMMeaaaa )()()()()(2233dttd)(无量(wling)纲放大系数aacRLT MeaMccJRTMeafccfLT eccK1MeafccfRK电机(dinj)转速电磁时间常数机电时间常数时间常数电机传递系数第12页/共125页第十三页，共125页。dtdMcc

8、LMccRtuKKfdtdTfTMdtdTeTMLMeaLMeaae)( ) 1()(22无量(wling)纲放大系数。 MeaMccJRTMeafccfLT eccK1 时间常数(sh jin chn sh) 电 机 传 递(chund)系数第13页/共125页第十四页，共125页。例例2-4 2-4 热水电加热系统，如图所示，为减小周热水电加热系统，如图所示，为减小周围空气的热损耗围空气的热损耗(snho)(snho)，槽壁是绝热的，控温，槽壁是绝热的，控温元件是电动控温开关。元件是电动控温开关。 第14页/共125页第十五页，共125页。根据(gnj)能量守恒定律 liChQQQQQ0其

9、中 Qh 加热器供给的热量； QC 贮槽内水吸收的热量； Q0 热水流出槽所带走的热量: Qi 冷水进入(jnr)槽带入的热量: Ql 隔热壁逸散的热量:dtdTCQCVHTQ 0iiVHTQ RTTQelC贮槽水的热容量；V流出槽水的流量；H 水的比热；R热阻；Ti进入槽水的温度；T槽内水的温度；Te槽周围(zhuwi)空气温度。 第15页/共125页第十六页，共125页。整理(zhngl)得 RTTTTVHdtdTCQeih)( 一般情况下，描述线性定常系统输入与输出(shch)关系的微分方程为 :)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrd

10、btcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn或 mjjmjmjniininidttrdbdttcda00)()(返回(fnhu)第16页/共125页第十七页，共125页。 实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的。目前，线性系统的理论已经相当(xingdng)成熟，但非线性系统的理论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法。 第17页/共125页第十八页，共125页。 当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当作线性系统处理。另外，

11、如果系统的变量只发生微小的偏移，则可通过(tnggu)切线法进行线性化，以求得其增量方程式。 第18页/共125页第十九页，共125页。 非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似(jn s)的线性化方程，来替代原来的非线性函数。 第19页/共125页第二十页，共125页。 假如元件的输出与输 入 之 间 关 系 ( g u n x)x2=f(x1)的曲线如图，元件的工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2= f(x1)在工作点(x10，x20)附近展开成泰勒级数 )(! 21)()()(2101102121011011012xxdx

12、fdxxdxdfxfxfxxx第20页/共125页第二十一页，共125页。当(x1x10)为微小(wixio)增量时，可略去二阶以上各项，写成 )()()(10120101101102xxKxxxdxdfxfxx 其中 为工作点(x10，x20)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得到(d do)变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。 101xdxdfK 第21页/共125页第二十二页，共125页。图2-8为一铁芯线圈(xinqun)，输入为ui(t)，输出为i(t)。线圈(xinqun)的微分方程为 )()(tuRidtdidiidi第22页/共125页第

13、二十三页，共125页。 当工作过程中线圈的电压和电流(dinli)只在工作点（u0,i0）附近变化时，即有 )()(0tuutuiiiii0 线圈中的磁通 对 也有增量变化，假如在i0附近(fjn)连续可微，将在i0 附近(fjn)展开成泰勒级数，即 02021200)()(! 21)(ididididii因是微小增量，将高阶无穷小量略去(l q)，得近似式 ididi00)(第23页/共125页第二十四页，共125页。)(tuiRdtidLi 这就是铁芯线圈的增量化方程，为简便起见，常略去(l q)增量符号而写成 )(tuRidtdiLi返回(fnhu)第24页/共125页第二十五页，共12

14、5页。 在零初始条件下，线性定常系统(xtng)输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统(xtng)的传递函数。 即，)()()(sRsCsG第25页/共125页第二十六页，共125页。若已知线性定常系统(xtng)的微分方程为 )()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。 设c(t)和r(t)及其各阶导数(do sh)初始值均为零，对式(2-47)取拉氏变换，得 )()()()(11101110sRbsbsbs

15、bsCasasasammmmnnnn第26页/共125页第二十七页，共125页。则系统(xtng)的传递函数为 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()()()()()()(sNsMsRsCsG或写为 传递函数与输入、输出之间的关系(gun x)，可用图表示。 G(s)R(s)C(s)第27页/共125页第二十八页，共125页。1.作为一种(y zhn)数学模型，传递函数只适用于线性定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变换是一种(y zhn)线性积分运算。 2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式，它表

16、达了系统内在的固有特性，只与系统的结构(jigu)、参数有关，而与输入量或输入函数的形式无关。 第28页/共125页第二十九页，共125页。3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，视系统的输入(shr)、输出量而定，它包含着联系输入(shr)量与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特性和物理结构。许多物理性质不同的系统，有着相同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样。 4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关系(gun x)，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数阵表示。 第29页/共125页第三十页，共125页。5.传递函数式(2-49)可

17、表示(biosh)成 )()()()()(2121nmpspspszszszsKgsG式中p1，p2pn为分母多项式的根，称为(chn wi)传递函数的极点；z1、z2、 zn为分子多项式的根，称为(chn wi)传递函数的零点； 第30页/共125页第三十一页，共125页。6.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为而D(s)=0称为特征方程。传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即nm。这是由于实际系统(xtng)的惯性所造成的。 nnnnasasasasD1110)(第31页/共125页第三十二页，共125页。 控制系统由许多元件组合而成，这些元件的物理结构和作用原理是多

18、种多样(du zhn du yn)的，但抛开具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型来看，可以划分成几种典型环节，常用的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节等。 第32页/共125页第三十三页，共125页。1. 比例(bl)环节 环节输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节称为比例(bl)环节，也称无惯性环节。输入量与输出量之间的表达式为c(t)=Kr(t) 比例(bl)环节的传递函数为 KsRsCsG)()()(式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。 第33页/共125页第三十四页，共125页。2. 惯性(gunxng)环节(非周期环节) 惯性环节

19、的动态方程(fngchng)是一个一阶微分方程(fngchng) )()()(tKrtcdttdcT其传递函数为 1)()()(TsKsRsCsG式中 T 惯性环节(hunji)的时间常数 K 惯性环节(hunji)的增益或放大系数 第34页/共125页第三十五页，共125页。当输入(shr)为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为 )1 (11)()(111TeKsTsKLsCLtc单位(dnwi)阶跃响应曲线 第35页/共125页第三十六页，共125页。11/11)()()(TsKRsLRRLssUsIsG 惯性环节实例很多，如图所示的R-L网络，输入 为 电 压 u ， 输 出(shch)为电

20、感电流i，其传递函数式中 RLT RK1第36页/共125页第三十七页，共125页。2. 积分(jfn)环节 输出量正比于输入量的积分的环节称为积分环节，其动态特性(txng)方程 dttrTtcti0)(1)(其传递函数 sTsRsCsGi1)()()(式中Ti为积分(jfn)时间常数。 第37页/共125页第三十八页，共125页。积分环节(hunji)的单位阶跃响应为 tTtCi1)(它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止，输出维持不变，故积分环节(hunji)具有记忆功能，如图所示。 第38页/共125页第三十九页，共125页。上图为运算放大器构成的积分环节，输入(shr)ui(t)

21、，输出u0(t)，其传递函数为 sTRCssUsUsGii11)()()(0式中Ti = RC 第39页/共125页第四十页，共125页。4. 微分(wi fn)环节 理想微分环节的特征(tzhng)输出量正比于输入量的微分，其动态方程 dttdrTtcd)()(其传递函数 sTsRsCsGd)()()(式中Td称微分(wi fn)时间常数 它的单位阶跃响应曲线 )()(tTtcd第40页/共125页第四十一页，共125页。如图所示，理想微分环节(hunji)实际上难以实现，因此我们常采用带有惯性的微分环节(hunji)，其传递函数 1)(sTsKTsGdd其单位(dnwi)阶跃响应为 dTK

22、etc1)(第41页/共125页第四十二页，共125页。 曲线如下图所示，实际微分环节的阶跃响应是按指数规律下降，若K值很大而Td值很小时，实际微分环节就愈接近(jijn)于理想微分环节。 第42页/共125页第四十三页，共125页。5. 二阶振荡(zhndng)环节(二阶惯性环节) 二阶振荡(zhndng)环节的动态方程为 )()()(2)(222tKrtcdttdcTdttcdT其传递函数 12)()()(22TssTKsRsCsG2222)(nnnssKsG式中 为无阻尼自然(zrn)振荡角频率，为阻尼比，在后面时域分析中将详细讨论。 Tn1第43页/共125页第四十四页，共125页。

23、图中所示为RLC网络，输入为ui(t)、输出u0(t)，其动态特性(txng)方程 )()()()(00202tutudttduRCdttudLCi其传递函数 222022 11)()()(nninssRCsLCstUtUsG式中 LCn1LCR2第44页/共125页第四十五页，共125页。6. 延迟(ynch)环节(时滞环节) 延迟环节是输入信号加入后，输出(shch)信号要延迟一段时间后才重现输入信号，其动态方程为 )()(trtc其 传 递 函 数 是 一 个 超 越(choyu)函数 sesRsCsG)()()(式中称延迟时间 第45页/共125页第四十六页，共125页。 需要指出，在

24、实际生产中，有很多场合是存在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程，多个设备串联以及(yj)测量装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失去稳定。 返回(fnhu)第46页/共125页第四十七页，共125页。 在控制工程中，为了便于对系统进行分析和设计(shj)，常将各元件在系统中的功能及各部分之间的联系用图形来表示，即方框图和信号流图。 第47页/共125页第四十八页，共125页。 方框图也称方块图或结构图，具有形象和直观的特点。系统方框图是系统中各元件功能和信号流向的图解，它清楚地表明了系统中各个环节间的相互关系(gun x)。构成方框图的基本符号有四种，即信号

25、线、比较点、传递环节的方框和引出点。 第48页/共125页第四十九页，共125页。第49页/共125页第五十页，共125页。 对于一个系统(xtng)在清楚系统(xtng)工作原理及信号传递情况下，可按方框图的基本连接形式，把各个环节的方框图，连接成系统(xtng)方框图。 例2-5 图中为一无源RC网络。选取(xunq)变量如图所示，根据电路定律，写出其微分方程组为 第50页/共125页第五十一页，共125页。dttiCtudttiCtutititiRtututiRtututi)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011第51页/共125页第五十

26、二页，共125页。零初始条件下，对等式两边(lingbin)取拉氏变换，得 )(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI第52页/共125页第五十三页，共125页。 RC网络(wnglu)方框图 各环节(hunji)方框图 第53页/共125页第五十四页，共125页。例2-6 图中为电枢电压(diny)控制的直流他励电动机,描述其运动方程为 LDaMDeaaaaaaadtdJtictctetetiRdttdiLtuMMM)()()()()()()(第54页/共125页第五十五页，共12

27、5页。零初始条件下，对式中两边(lingbin)取拉氏变换 )()()()()()()()()()()(ssJssscsscssEsIsLRsULDaMDeaaaaaaMMIME第55页/共125页第五十六页，共125页。 将同一变量的信号线连接起来，将输入Ua(s)放在左端，输出(s)放在图形(txng)右端，得系统方框图如图所示。 第56页/共125页第五十七页，共125页。环节的连接有串联、并联和反馈三种(sn zhn)基本形式。 1.串联 :在单向的信号传递(chund)中，若前一个环节的输出就是后一个环节的输入，并依次串接如图2-32所示，这种联接方式称为串联。 n个环节串联后总的传

28、递函数 :)()()( )()()()()()()()()(211121sGsGsGsXsCsXsXsRsXsRsCsGnn第57页/共125页第五十八页，共125页。即环节串联后总的传递函数等于(dngy)串联的各个环节传递函数的乘积。 环节(hunji)的串联RC网络(wnglu)第58页/共125页第五十九页，共125页。2.并联 :若各个环节接受同一输入信号而输出信号又汇合在一点(y din)时，称为并联。如图2-34所示。由图可知(k zh) )()()()(21sCsCsCsCn)()()( )()()()()()(2211sRsGsCsRsGsCsRsGsCnn总的传递函数为 )

29、()()( )()()()()()()(2121sGsGsGsRsCsCsCsRsCsGnn环节(hunji)的并联第59页/共125页第六十页，共125页。3.反馈(fnku)：若将系统或环节的输出信号反馈(fnku)到输入端，与输入信号相比较，就构成了反馈(fnku)连接，如图所示。如果反馈(fnku)信号与给定信号极性相反，则称负反馈(fnku)连接。反之，则为正反馈(fnku)连接，若反馈(fnku)环节H(s)=1称为单位反馈(fnku)。 反馈(fnku)连接第60页/共125页第六十一页，共125页。 反馈连接后，信号的传递(chund)形成了闭合回路。通常把由信号输入点到信号输

30、出点的通道称为前向通道；把输出信号反馈到输入点的通道称为反馈通道。 对于负反馈(fnku)连接，给定信号r(t)和反馈(fnku)信号b(t)之差，称为偏差信号e(t) 即 )()()()()()(sBsRsEtbtrte通常将反馈(fnku)信号B(s)与误差信号E(s)之比，定义为开环传递函数，即 开环传递函数= )()()()(sHsGsEsB第61页/共125页第六十二页，共125页。输出信号C(s)与偏差(pinch)信号E(s)之比，称为前向通道传递函数，即 前向通道(tngdo)传递函数= )()()(sGsEsC 而系统(xtng)输出信号C(s)与输入信号R(s)之比称为闭环

31、传递函数，记为(s)或GB(s)。 )()()()()()()()()(sCsHsRsBsRsEsEsGsC第62页/共125页第六十三页，共125页。得闭环传递函数为 )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs对于(duy)正反馈连接，则闭环传递函数为 )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs第63页/共125页第六十四页，共125页。 有了系统的方框图以后，为了对系统进行进一步的分析研究，需要对方框图作一定的变换，以便求出系统的闭环传递函数。方框图的变换应按等效原则进行。所谓等效，即对方框图的任一部分进行变换时，变换前、后输入输出总的数学关系式应保持不变。除了前面介绍的串联、

32、并联和反馈连接(linji)可以简化为一个等效环节外，还有信号引出点及比较点前后移动的规则。 第64页/共125页第六十五页，共125页。例例2-7化简图化简图(a)所示系统所示系统(xtng)方方框图，并求框图，并求系统系统(xtng)传传递函数递函数 )()()(sRsCsG第65页/共125页第六十六页，共125页。)()(1)GG(GG ) 1)(11)(1)()()(4321243212143211243212114321211GGGGHGGGHGGGHGGGHGGGGGGHGGGsRsCsG第66页/共125页第六十七页，共125页。 图2-37 (a)是一个交错反馈多路系统，采用

33、引出点后移或前移，比较(bjio)点前移等，逐步变换简化，可求得系统的闭环传递函数为 例例2-8 2-8 试化简如图试化简如图2-37 (a)2-37 (a)所示系统所示系统(xtng)(xtng)的方框的方框图，并求闭环传递函数。图，并求闭环传递函数。 )()(1)(1 ()()(33224312143215sHGGsHGGsHGGsGGGGGsG第67页/共125页第六十八页，共125页。图2-37 方框图的变换(binhun)与简化 第68页/共125页第六十九页，共125页。返回(fnhu)第69页/共125页第七十页，共125页。 信号流图是表示线性方程组变量间关系的一种图示方法，将

34、信号流图用于控制理论中，可不必求解方程就得到各变量之间的关系，既直观又形象。当系统方框图比较复杂时，可以将它转化为信号流图，并可据此采用(ciyng)梅逊(Mason)公式求出系统的传递函数。 第70页/共125页第七十一页，共125页。考虑(kol)如下简单等式 jijixax 这里变量xi和xj可以是时间函数、复变函数，aij是变量xj变换(binhun)(映射)到变量xi的数学运算，称作传输函数，如果xi和xj是复变量s的函数，称aij为传递函数Aij(s)，即上式写为 )()()(sXsAsXjiji第71页/共125页第七十二页，共125页。 变量xi和xj用节点“”来表示，传输(c

35、hun sh)函数用一有向有权的线段(称为支路)来表示，支路上箭头表示信号的流向，信号只能单方向流动。 信号流图第72页/共125页第七十三页，共125页。在线性系统信号流图的绘制中应包括以下(yxi)步骤： （1）将描述系统的微分方程转换为以s为变量(binling)的代数方程。 （2）按因果关系将代数方程写成如下形式 ： nnxaxaxax12121111nnxaxaxax22221212nnnnnnxaxaxax2211第73页/共125页第七十四页，共125页。（3）用节点“”表示n个变量或信号，用支路表示变量与变量之间的关系。通常把输入变量放在图形(txng)左端，输出变量放在图形(

36、txng)右端。 例例2-9 2-9 如上图所示的电阻网络，如上图所示的电阻网络，v1v1为输入、为输入、v3v3为输为输出。选出。选5 5个变量个变量v1v1、i1i1、v2v2、i2i2、v3v3，由电压，由电压(diny)(diny)、电流定律可写出四个独立方程、电流定律可写出四个独立方程 第74页/共125页第七十五页，共125页。1211)()()(RsVsVsI)()()(2132sIsIRsV2322)()()(RsVsVsI)()(243sIRsV 将变量V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s)作节点表示(biosh)，由因果关系用支路把节点与节点联接，得信号

37、流图。 第75页/共125页第七十六页，共125页。节点：表示(biosh)变量或信号的点，用“”表示(biosh)。 支路：连接两个节点(ji din)之间的有向有权线段，方向 用箭头表示，权值用传输函数表示。 输入支路：指向节点的支路。 输出支路：离开节点的支路。 源节点：只有输出支路的节点，也称输入节点， 如图中节点X1。 汇节点：只有输入支路的节点，如图节点X7。 第76页/共125页第七十七页，共125页。信号流图定义(dngy)与术语混合节点：既有输入支路(zh l)、又有输出支路(zh l)的节点， 如图中的X2、X3、X4、X5、X6。 通道(路径(ljng)：沿着支路箭头方向

38、通过各个相连支路 的路径(ljng)，并且每个节点仅通过一次。 如X1到X2到X3到X4或X2到X3又反馈回X2。 第77页/共125页第七十八页，共125页。前向通道(tngdo)：从输入节点(源节点)到汇节点的通道(tngdo)。 如图X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7为 一条前向通道(tngdo)，又如X1到X2到X3到X5 到X6到X7也为另一条前向通道(tngdo)。 闭通道(tngdo)(反馈通道(tngdo)或回环)：通道(tngdo)的起点就 是通道(tngdo)的 终点，如图X2到X3又反馈到X2；X4到X5 又反馈到X4。 自回环(hugun)：单一支路的闭通道，如图

39、中的-H3构成 自回环(hugun)。 第78页/共125页第七十九页，共125页。通道传输(chun sh)或通道增益：沿着通道的各支路传输(chun sh)的 乘积。如从X1到X7前向通道 的增益G1G2G3G4G5G6。 不接触回环：如果一些回环没有任何公共(gnggng)的节点， 称它们为不接触回环。如G2H1 与G4H2。 第79页/共125页第八十页，共125页。（1）信号流图只适用(shyng)于线性系统； （2）信号流图所依据的方程式，一定为因果(yngu)函数形式的代数方程； （3）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递； （4）节点上可把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送

40、到所有输出支路； （5）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的支路，可把其变为输出节点，即汇节点； （6）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。 第80页/共125页第八十一页，共125页。（1）加法(jif)规则：n个同方向并联支路的总传输，等于各个支路传输之和，如图(a) 所示： （2）乘法(chngf)规则 ：n个同方向串联支路的总传输，等于各个支路传输之积，如图（b）。 第81页/共125页第八十二页，共125页。（3）混合节点可以通过移动支路(zh l)的方法消去，如图（c）。 （4）回环可根据反馈(fnku)连接的规则化为等效支路，如图（d）。 第82页/共125

41、页第八十三页，共125页。例例2-10 2-10 将图将图2-432-43所示系统所示系统(xtng)(xtng)方框图化为信号流图方框图化为信号流图并化简求出系统并化简求出系统(xtng)(xtng)的闭环传递函数的闭环传递函数 )()()(sRsCs 第83页/共125页第八十四页，共125页。解：信号流图如图解：信号流图如图 (a)所示。 化所示。 化 G1与与 G2串 联串 联(chunlin)等效为等效为G1G2支路，支路，G3与与G4并联等效为并联等效为G3+G4支路，支路，第84页/共125页第八十五页，共125页。如图 (b)，G1G2与-H1反馈简化(jinhu)为 支路，又

42、与G3+G4串联，等效为 如图 (c) 121211HGGGG12121431)(HGGGGGG第85页/共125页第八十六页，共125页。进而(jn r)求得闭环传递函数为 )()()(sRsCs )()()()()(1)()()(243211214321sHsGsGsGGsHGGsGsGsGG第86页/共125页第八十七页，共125页。 给定系统信号流图之后，常常希望确定信号流图中输入变量与输出变量之间的关系，即两个节点之间的总增益或总传输。上节采用信号流图简化规则，逐渐(zhjin)简化，最后得到总增益或总传输。但是，这样很费时又麻烦，而梅逊(Mason)公式可以对复杂的信号流图直接求出

43、系统输出与输入之间的总增益，或传递函数，使用起来更为方便。 第87页/共125页第八十八页，共125页。梅逊增益(zngy)公式可表示为 kkPT式中， T 输出和输入之间的增益或传递函数； Pk 第k条前向通道的增益或传输函数； 信号流图的特征值， Lj1所有(suyu)不同回环增益之和； Lj2所有(suyu)两两互不接触回环增益乘积之和； Lj3所有(suyu)三个互不接触回环增益乘积之和 k 与第k条前向通道不接触的那部分信号流图的，称为第k条前向通道特征式的余子式。 第88页/共125页第八十九页，共125页。例例2-11 2-11 利用利用(lyng)(lyng)梅逊公式求图中所示

44、系统梅逊公式求图中所示系统的传递函数的传递函数 C(s) / R(s) C(s) / R(s)。第89页/共125页第九十页，共125页。解：输入量解：输入量R(s)与输出量与输出量C(s)之间有三条之间有三条前向通道前向通道(tngdo)，对应，对应Pk与与k为为P1=G1G2G3G4G5 1=1P2=G1G6G4G5 2=1P3=G1G2G7G5 3=1P4= -G1G6G2G7G5 4=1图中有五个单回环，其增益(zngy)为：L1= -G3H2，L2 = -G5H1，L3 = -G2G3G4G5H3，L4 = -G6G4G5H3，L5 = -G2G7G5H3，其中L1与L2是互不接触的

45、，其增益(zngy)之积L1L2 = G3G5H1H2 第90页/共125页第九十一页，共125页。系统(xtng)的特征式为 21654321)(1LLLLLLLL系统(xtng)的传递函数为 )()(sRsC)(276515721546154321GGGGGGGGGGGGGGGGGG35463543215231HGGGHGGGGHGHG3276521533572HHGGGHHGGHGGG第91页/共125页第九十二页，共125页。例例2-12 求图示信号流图的闭环传递函数 解：系统单回环解：系统单回环(hugun)(hugun)有：有：L1 = G1L1 = G1，L2 = L2 = G2

46、G2，L3 = L3 = G1G2G1G2， L4 = L4 = G1G2 G1G2，L5 = L5 = G1G2 G1G2系统的特征式系统的特征式 为：为： 212151311GGGGLii第92页/共125页第九十三页，共125页。前向通道(tngdo)有四条： P1 = -G1 1=1 P2 = G2 2=1 P3 = G1G2 3=1 P4 = G1G2 4=1 系统(xtng)的传递函数为 2121212141312)(GGGGGGGGPsGiii返回(fnhu)第93页/共125页第九十四页，共125页。 控制系统的数学模型在系统分析和设计中是相当重要的,在线性系统理论中常用(ch

47、n yn)的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等,而这些模型之间又有着某些内在的等效关系。MATLAB主要使用传递函数和状态空间表达式来描述线性时不变系统(Linear Time Invariant简记为LTI)。 第94页/共125页第九十五页，共125页。单输入单输出线性连续(linx)系统的传递函数为 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG 11101110)()()(其中mn。G(s)的分子多项式的根称为(chn wi)系统的零点,分母多项式的根称为(chn wi)系统的极点。令分母多项式等于零,得系统的特征方程: D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+

48、an=0 第95页/共125页第九十六页，共125页。 因传递函数为多项式之比,所以我们先研究MATLAB是如何处理多项式的。MATLAB中多项式用行向量表示(biosh),行向量元素依次为降幂排列的多项式各项的系数,例如多项式P(s)=s3+2s+4 ,其输入为 P=1 0 2 4 注意尽管s2项系数(xsh)为0,但输入P(s)时不可缺省0。 MATLAB下多项式乘法处理(chl)函数调用格式为 C=conv(A,B) 第96页/共125页第九十七页，共125页。 例如(lr)给定两个多项式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),则应先构造多项式A(

49、s)和B(s),然后再调用conv( )函数来求C(s)A =1,3; B =10,20,3；C = conv(A,B) C = 10 50 63 9即得出(d ch)的C(s)多项式为10s3 +50s2 +63s +9 第97页/共125页第九十八页，共125页。 MATLAB提供的conv( )函数的调用允许(ynx)多级嵌套,例如 G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列的语句来输入 G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4) 第98页/共125页第九十九页，共125页。 有了多项式的输入,系统的传递函数在MATLAB下可由其分子和分母多项式唯一地确定(qudng)

50、出来,其格式为 sys=tf(num,den) 其中(qzhng)num为分子多项式，den为分母多项式 num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；第99页/共125页第一百页，共125页。对于(duy)其它复杂的表达式,如)432)(3()62)(1()(23222sssssssssG可由下列语句(yj)来输入 num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den) Transfer function: 212313495566024032045sssssssssss第1

51、00页/共125页第一百零一页，共125页。 传递函数G(s)输入之后,分别对分子和分母多项式作因式分解,则可求出系统的零极点,MATLAB提供了多项式求根函数roots(),其调用(dioyng)格式为 roots(p)其中(qzhng)p为多项式。 第101页/共125页第一百零二页，共125页。例如(lr),多项式p(s)=s3+3s2+4 p=1,3,0,4; %p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p)%p(s)=0的根 r=-3.3533 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i 反过来,若已知特征多项式的特征根,可调用(dioyng)MATLAB中的pol

52、y( )函数,来求得多项式降幂排列时各项的系数,如上例 poly(r) p = 1.0000 3.0000 0.0000 4.0000第102页/共125页第一百零三页，共125页。 而polyval函数用来求取给定(i dn)变量值时多项式的值,其调用格式为 polyval(p,a)其中(qzhng)p为多项式;a为给定变量值 例如(lr),求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5时值： n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5) value=66第103页/共125页第一百零四页，共125页。p,z=pzmap(num,den)其中(qzhng),

53、 p传递函数G(s)= numden的极点 z传递函数G(s)= numden的零点例如,传递函数 传递函数在复平面上的零极点图,采用pzmap()函数来完成(wn chng),零极点图上,零点用“。”表示,极点用“”表示。其调用格式为13316)(232sssssG)3)(2)(2()2)(1()(sisissssH第104页/共125页第一百零五页，共125页。 用MATLAB求出G(s)的零极点(jdin),H(s)的多项式形式,及G(s)H(s)的零极点(jdin)图 numg=6,0,1; deng=1,3,3,1;z=roots(numg) z=0+0.4082i 00.4082i

54、 %G(s)的零点(ln din)p=roots(deng)p=1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i %G(s)的极点 1.0000+0.0000i第105页/共125页第一百零六页，共125页。 n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i; d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2); denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsys(numh,denh)124233232sssssnumh/denh=%H(s)表达式pzmap(num,den) %零极点(jdin)图title(pole-zero Map) 第106页/共1

55、25页第一百零七页，共125页。零极点(jdin)图如图所示 ：第107页/共125页第一百零八页，共125页。 若已知控制系统(kn zh x tn)的方框图,使用MATLAB函数可实现方框图转换。 1.串联串联 如图所示如图所示G1(s)和和G2(s)相串联相串联,在在MATLAB中可用中可用串联函数串联函数series( )来求来求G1(s)G2(s),其调用格式其调用格式(g shi)为为 num,den=series(num1,den1,num2,den2)其中：其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGG)(21第108页/共125页第一百零九页，共

56、125页。2.并联并联 如图所示如图所示G1(s)和和G2(s)相并联相并联,可由可由MATLAB的的并联函数并联函数parallel( )来实现来实现,其调用其调用(dioyng)格格式为式为 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)其中(qzhng)：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGsG)()(21第109页/共125页第一百一十页，共125页。3 . 反 馈反 馈(fnku) 反馈连接如图所示。使用MATLAB中的feedback( )函数来实现反馈连接,其调用(dioyng)格式为 num,den=feedback(

57、numg,deng,numh,denh,sign) 式中：dengnumgsG)(sign为反馈(fnku)极性,若为正反馈(fnku)其为1,若为负反馈(fnku)其为1或缺省。dennumsHsGsG)()(1)(denhnumhsH)(第110页/共125页第一百一十一页，共125页。例如(lr) G(s)= ,H(s)= ,负反馈连接。 21sss1numg=1,1;deng=1,2;numh=1;denh=1,0;num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,1); printsys(num,den) num/den= 1322ssss第111页/共125

58、页第一百一十二页，共125页。 MATLAB中的函数(hnsh)series,parallel和feedback可用来简化多回路方框图。另外,对于单位反馈系统,MATLAB可调用cloop( )函数(hnsh)求闭环传递函数(hnsh),其调用格式为 num,den=cloop(num1,den1,sign) 第112页/共125页第一百一十三页，共125页。 传递函数可以是时间常数形式,也可以是零极点形式,零极点形式是分别对原系统传递函数的分子和分母进行因式分解得到的。MATLAB控制系统(kn zh x tn)工具箱提供了零极点模型与时间常数模型之间的转换函数,其调用格式分别为 z,p,k

59、= tf2zp(num,den)num,den= zp2tf(z,p,k)其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表示(biosh)形式,而第二个函数可将零极点表示(biosh)方式转换成传递函数模型。 第113页/共125页第一百一十四页，共125页。例如(lr) G(s)= 226422012241223423sssssss用MATLAB语句(yj)表示：num=12241220;den=24622;z,p,k=tf2zp(num,den) z= 1.9294 0.03530.9287i 0.03530.9287i 第114页/共125页第一百一十五页，共125页。p=0.95671.2272i0.95671.2272i0.0