线性代数PPT学习教案

1、会计学1第一页，共52页。3.1 空间直角坐标(zh jio zu bio)系与向量二、 向量(xingling)及其线性运算一、 空间(kngjin)直角坐标系第1页/共52页第二页，共52页。xyz做三条互相(h xing)垂直的数轴,组成一个空间(kngjin)直角坐标系. 坐标(zubio)原点o 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面三条坐标轴符合右手规则第2页/共52页第三页，共52页。xyzo 11坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标(zubio)面上的点 A , B , C点 M特殊(tsh)点的坐标 :

2、有序数组),(zyx) 0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标)原点 O(0,0,0) ;M第3页/共52页第四页，共52页。xyzo第4页/共52页第五页，共52页。M1xyzO123.第5页/共52页第六页，共52页。xyzO2-1M2xyzO12-3M33.M2 2(-1, 2, 3), (-1, 2, 3), M3 3(1, 2, -3)(1, 2, -3)第6页/共52页第七页，共52页。向量(xingling)（矢量）:既有大小(dxio)又有方向的量.向量(xingling)表示：1M2M a

3、21MM模长为1的向量.零向量：模长为0的向量.0|a21MM| | | |向量的模：向量的大小.单位向量：或或数量（标量）:只有大小没有方向的量.(方向任意)第7页/共52页第八页，共52页。自由(zyu)向量：不考虑起点位置(wi zhi)的向量.相等(xingdng)向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.a aba a第8页/共52页第九页，共52页。向径：空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量OPPxyzoP 第9页/共52页第十页，共52页。向量(xingling)的分量：把向量 作平行移动，使其起点与原点重合。 axyzoAa1a2a3设其终点(zhn

4、gdin)A的坐标为(a1, a2, a3), aOA则称a1, a2, a3为向量 的分量或坐标，a记为 =(a1, a2, a3).)0 , 0 , 0(0 零向量(xingling)负向量a ),(321aaa a第10页/共52页第十一页，共52页。定义(dngy)加法与数乘统称(tngchng)为线性运算. 减法),(),(321321bbbaaa 设设a1 =b1, a2 =b2, a3=b3. 加法= (a1 +b1, a2 +b2, a3+ b3), =(ka1, ka2, ka3 ). k数乘相等),0 , 0 , 0(00 )1( )( ),(321bbb ),(33221

5、1bababa 第11页/共52页第十二页，共52页。 )1()()(2( 0)3(0)()4( 1 )5( )()()6( )()7( )(8(第12页/共52页第十三页，共52页。例 化简解原式=第13页/共52页第十四页，共52页。)1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1( kji单位向量称为(chn wi)基向量.a=(a1, a2, a3)kajaia321 称a可由kji,线性表出。轴轴上上的的分分向向量量。在在称称为为向向量量xaia1xyzoijk=(a1, 0,0)+(0, a2, 0)+(0, 0, a3)kajaia321 的的分分解解式式。称

6、称为为向向量量 a第14页/共52页第十五页，共52页。定义(dngy)oxyz1a2a3aA332211ababab OBb 设设 定理(dngl)证明(zhngmng)OAa 设设),(321aaa ),(321bbb ab /利用相似三角形易证B,0同向同向与与时时ab .,0反向反向与与时时ab 第15页/共52页第十六页，共52页。332211ababab 设设 ,ab ),(321bbb),(321aaa ),(321aaa 定理(dngl)oxyz1a2a3aAB,0同向同向与与时时ab .,0反向反向与与时时ab 对应(duyng)坐标成比例332211ababab 第16页/

7、共52页第十七页，共52页。对应(duyng)坐标成比例332211ababab 332100abbb 0, 021 bb例如(lr)，321,aaa即，), 0, 0/(), 0, 0(33ab对应(duyng)坐标是成比例的332210ababb , 01 b再如，)8, 4, 0/()2, 1, 0(对应坐标是成比例的3322abab 第17页/共52页第十八页，共52页。（1） 空间两向量(xingling)的夹角的概念：, 0 a, 0 b b , a a , b 0() 类似地，可定义向量与一数轴或空间(kngjin)两数轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角

8、可在0与 之间任意取值. ba 5.向量(xingling)在轴上的投影第18页/共52页第十九页，共52页。空间(kngjin)一点在轴上的投影u AA uoAABB向量(xingling)在轴上的投影过空间点A,B作平面与轴 u垂直，与轴 u相交于A, B,向量 AB 在轴 u上的投影定义为uPrjAB当 AB与u同向当 AB与u反向BA BA 第19页/共52页第二十页，共52页。oxyz1a2a3aA在三个坐标轴上的投影.向量OA的坐标a1, a2, a3分别是OA第20页/共52页第二十一页，共52页。向量(xingling)在轴上的投影有以下两个性质：u上的投影等于向量的模乘以(a

9、)向量AB在轴轴与向量的夹角的余弦：ABjuPr cos| AB uBB u 证ABjuPr ABju Pr cos|AB B AA 第21页/共52页第二十二页，共52页。由性质（a）容易(rngy)看出：投影(tuyng)为负；投影(tuyng)为零； 0)1(,2 2)2(, ) 3(,2 投影为正；uabc第22页/共52页第二十三页，共52页。（b）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .PrPr)Pr2121ajajaajuuu (AA BB CC （可推广到有限(yuxin)多个）u1a2a第23页/共52

10、页第二十四页，共52页。所以(suy)，OAPB是平行四边形.1111PrabbaBPjOx 2222PrabbaBPjOy 故OABP 同理xyOAPa2+b2b2b1a2a1a1+b1设),(),(2121bbOBaaOA 则,),(2211OPbabaOBOA OBAP 如图2个三角形全等B第24页/共52页第二十五页，共52页。PAOAAO,OPOBOA OP是以OBOA,为边的平行四边形的对角线.加法也符合(fh)三角形法则,APOB BA BOOAOBOA BBBAO AOP.APOAOP 减法减法(jinf(jinf)：第25页/共52页第二十六页，共52页。ba ba ab加、

11、减法的几何加、减法的几何(j (j h)h)意义意义第26页/共52页第二十七页，共52页。),(321aaaOAa 设向量设向量|OAa 向量(xingling)的模的坐标表示232221aaa 222OROQOP 由勾股定理(u dn l)得a),(321aaaA ,ab |ab |a 232221)()()(aaa oAxyz)(1Pa)(2Qa)(3Ra第27页/共52页第二十八页，共52页。(1) 0,| 同同向向，长长度度伸伸缩缩与与aa(2) = 0,|aa aa2a21 数乘的几何数乘的几何(j (j h)h)意义意义0 a (3) 0,| 反反向向，长长度度伸伸缩缩与与aa例

12、第28页/共52页第二十九页，共52页。例 证明(zhngmng)：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.证 设DE是中位线， DE = DA + AE 21 = BC. = BA + AC 2121 = (BA + AC) 21ABCED第29页/共52页第三十页，共52页。 试用向量(xingling)方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证明(zhngmng)AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与 平行且相等,BC结论(jiln)得证.ABCDMBMMC 第30页/共52页第三十一页，共52页。xyzo1M 2M 1221OMOMMM ),(),(111

13、222zyxzyx ),(121212zzyyxx |2121MMMM 空间两点间距离(jl)公式 .212212212zzyyxx 第31页/共52页第三十二页，共52页。 .21221221yyxxAA 平面(pngmin)两点间距离公式 .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离(jl)公式第32页/共52页第三十三页，共52页。,221xxx 中点(zhn din)的坐标：221yyy 中点(zhn din)的坐标：,221xxx ,221yyy 221zzz 第33页/共52页第三十四页，共52页。圆的方程(fngchng)： .22020ryyxx .2202020r

14、zzyyxx 球面(qimin)的方程：第34页/共52页第三十五页，共52页。解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论(jiln)成立.第35页/共52页第三十六页，共52页。解设P点坐标(zubio)为),0 , 0 ,(x 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 第36页/共52页第三十七页，共52页。解pnma 34)8

15、53(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji a=(a1, a2, a3)kajaia321 =(a1, 0,0)+(0, a2, 0)+(0, 0, a3).13 x第37页/共52页第三十八页，共52页。,0 ,0 .0 7. 方向余弦与单位向量的坐标(zubio)表示非零向量 与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.axyzo M a cos， cos， cos称为向量a的方向余弦.第38页/共52页第三十九页，共52页。 cosxyzo M 方向(fngxing)角：方向(fngxing)余弦： ,),(321aaaOMa 设设向向量量 POMOP | 同理232

16、2211aaaa ,cos2322212aaaa 2322213cosaaaa 第39页/共52页第四十页，共52页。1coscoscos222 方向余弦(yxin)的特征 2322211cosaaaa 2322212cosaaaa 2322213cosaaaa 方向(fngxing)余弦的坐标表示第40页/共52页第四十一页，共52页。设向量(xingling), 0 a,|1aaea 令令则|1|aaea 1|1 aa.同同方方向向的的单单位位向向量量是是与与aea第41页/共52页第四十二页，共52页。，设设),(321aaaa 232221|aaaa aaea|1 ),(1321232

17、221aaaaaa ),(232221323222122322211aaaaaaaaaaaa )cos,cos,(cos 1coscoscos222 与向量同方向的单位向量的坐标(zubio)表示第42页/共52页第四十三页，共52页。)2,2,2(1M和, )0,3,1(2M的模 、方向(fngxing)余弦和方向(fngxing)角以及与 解,21 ,23 )20 计算(j sun)向量)2,1,1( 222)2(1)1( 2 ,21cos ,21cos 22cos ,32 ,3 43 21MM(21MM |21MM同方向的单位向量. 21MM)22,21,21( 21MMe第43页/共5

18、2页第四十四页，共52页。解 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .32,3 第44页/共52页第四十五页，共52页。1cos x |21PP21 x21 , 2 x20 y22 , 2 y23 z, 2, 4 zz).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 ),(),3 , 0 , 1(21zyxPP)3, 0, 1(21zyxPP0cos y |21PP3cos z |21PP第45页/共52页第四十六页，共52页。解所求向量有两个，一个与 同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa ,116117116kji 或.116117116kji aeae|aa 第46页/共52页第四十七页，共52页。解对角线的长为|,|,|nmnm ),1 , 1, 1( kjinm)1, 3 , 1(3 kjinm,3| nm,11| nmmn例第47页/共52页第四十八页，共52页。向量(xingling)的概念向量(xingling)的加减法向量(xingling)与数的乘法（注意与数量的区别）