复变函数PPT第二章PPT学习教案

1、会计学1复变函数复变函数PPT第二章第二章一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、函数解析的充要条件小结与思考第1页/共39页例2 .Im)(的的可可导导性性讨讨论论zzf zzfzzfzf )()(解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(时时趋趋于于沿沿实实轴轴方方向向当当 yzzzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0 )0( 时时趋趋于于沿沿虚虚轴轴方方向向当当 xzzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy .Im)(在在复复平平面面上上处处处处不不可

2、可导导故故zzf 第2页/共39页例3. 132)( 25域域上上的的导导数数的的解解析析性性区区域域及及该该区区求求函函数数 zzzzf解 01 2，当当 z , )( 外处处解析外处处解析在复平面内除在复平面内除所以所以izzf . 为它的奇点为它的奇点iz 2时，时，即即iz 不解析不解析函数函数)( zf22524)1(2)32()1)(110()( zzzzzzzf.)1(16106 22246 zzzzz例4. )( 的的解解析析性性研研究究函函数数zzf 第3页/共39页 练习：证明 在 处可导, 2( )f zz z 0z 但处处不解析. 证明根据导数的定义，200( )(0)

3、limlim0.zzf zfzz 因此 在 处可导，且 ( )f z0z (0)0.f 当 时, 由 得 00z 22000, zzzzz z 22000( )()f zf zz zz z 22220000()().z zz zz zz z故2000000( )()().f zf zzzzzzzzzzz 虽然020000lim()22,zzzz zz zz 但是当 z分别从平行于x, y轴方向趋于z0时， 分别 00zzzz 以1和-1为极限，因此 不存在. 000limzzzzzz 第4页/共39页例6 判定下列函数在何处可导, 在何处解析:.Re)3();sin(cos)()2(;)1(2

4、zzwyiyezfzwx 解:,)1(222yxzw , 0,22 vyxu. 0, 0,2,2 yvxvyyuxxu偏导数在复平面上处处连续，但只在z=0满足CR方程， ,0 2处可导处可导仅在仅在故函数故函数 zzw .在复平面内处处不解析在复平面内处处不解析且且0)( zf第5页/共39页)sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx , .uvuvxyyx 且且四个偏导数均连续 . ,)(处处解析处处解析在复平面内处处可导在复平面内处处可导故故zf).()sin(cos)(zfyiy

5、ezfx 且且第6页/共39页zzwRe)3( ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四个偏导数均连续 , , 0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 yx ,0 Re处可导处可导仅在仅在故函数故函数 zzzw .在复平面内处处不解析在复平面内处处不解析且且0)( zf第7页/共39页例7 .)( 2在复平面上不解析在复平面上不解析证明证明iyxzf 证, 2yvxu 因为因为. 1, 0, 0,2 yvxvyuxxu ,21 )(上上可可导导仅仅在在直直线线故故函函数数 xzf .在在复复平平面面上上不不解解析析要使CR方程成立，则有, 12 yvxux

6、.21 x即即. , , , )( 2323的值的值试确定试确定函数函数为解析为解析设设nmllxyxiynxmy 例8 第8页/共39页练习： 解? )( , , , , ),()( 2222解析解析在复平面内处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数设设zfdcbaydxycxibyaxyxzf ,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所求所求第9页/共39页证xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常数

7、常数常数常数所以所以 vu . )( 内为一常数内为一常数在区域在区域因此因此Dzf内内为为一一常常数数在在区区域域内内处处处处为为零零，则则在在区区域域如如果果例例DzfDzf)( )( 9 第10页/共39页参照以上例题可进一步证明: . , )( 则以下条件彼此等价则以下条件彼此等价内解析内解析在区域在区域如果如果Dzf ; )( )1(为常数为常数zf; 0)()2( zf ;)( )3(常数常数 zf ;)( )4(解析解析zf ;)(Re )5(常数常数 zf ;)(Im )6(常数常数 zf;)7(2uv .)( arg )8(常数常数 zf . )9(为不全为零的实常数）为不全

8、为零的实常数），（cbacbvau 第11页/共39页? ),(),()( )2(解解析析时时应应注注意意什什么么用用柯柯西西黎黎曼曼条条件件判判断断yxivyxuzf ? )( )1(00解解析析有有无无区区别别可可导导与与在在在在点点复复变变函函数数zzzf , )()1(00可导可导解析必在解析必在在点在点zzzf反之不对. , 0 )( 02处可导处可导在在例如例如 zzzf . 0 0处不解析处不解析但在但在 z ; ),( ),( )2(内是否可微内是否可微在在和和首先判断首先判断Dyxvyxu; , :R-Cxvyuyvxu 条件条件其次再看是否满足其次再看是否满足 . )( 的

9、解析性的解析性最后判定最后判定zf第12页/共39页一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系小结与思考三、求已知实部或虚部的解析函数第13页/共39页iifyxyxuivuzf 1)()(22由由下下列列条条件件求求解解析析函函数数例222vuvuxyyxyxxy 解(, )(0,0)( ,)(2)(2)x yv x yyx dxxy dyc 曲线积分法(2)(2)vvdvdxdyyx dxxy dyxy0(2)xyoxdxxy dyc22222xyxyc 第14页/共39页222211( )()(2)22f zxyxyixxyyc 故2( )1(1)12if iiiici 代代入入上上

10、式式得得，A 2221()()(1)22ixiyxiyici zic21( )(1)222iicf zz2222222xyuxxyyvxyc 第15页/共39页22ydxxdyxdxydy vvdvdxdyxy cyxyxyxv 222),(22)21221()()(2222cyxyxixyyxzf 22( )( )1f zuivuxxyyf ii (2)(2)yx dxxy dy222()22xydxyd第16页/共39页2vxyy )21221()()(2222cyxyxixyyxzf xyxyxvxv 2)( 2 cxx 2)(2 cxyxyyxv 222),(22xx )( 22( )

11、( )1f zuivuxxyyf ii 22( )2yvxyx 第17页/共39页( )xxxyfzuivuiu)21221()()(2222cyxyxixyyxzf 2()()xiyi xiy zi 2iczizf 222)(22( )( )1f zuivuxxyyf ii (2)(2 )xyi xy(2)()ixiy第18页/共39页解. , 数数和和由由它它们们构构成成的的解解析析函函共共轭轭调调和和函函数数并并求求其其为为调调和和函函数数证证明明),(3),(23yxvyxyyxu ,6 xyxu 因为因为,6 22yxu ,33 22xyyu ,6 22yyu , 0 2222 yu

12、xu于是于是 . ),( 为调和函数为调和函数故故yxu,6 xyxuyv 因为因为 yxyvd6),(32xgyxv yuxv 又因为又因为,3322xy 例3第19页/共39页yuxv 又因为又因为,3322xy )(32xgy ,3322xy xxxgd3)( 2故故,3Cx )为任意常数为任意常数C(,3),(23Cxyxyxv 得解析函数).3(3)(2323Cxyxiyxyzf 这个函数可以化为).()(3Czizf 第20页/共39页例4 . 0)0( ,)( , )sincos(),( fivuzfyxyxyyeyxvx使使求一解析函数求一解析函数和函数和函数为调为调已知已知解

13、, 1)sinsincos( yyxyyexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvxyvxu 由由, 1)cossin(cos yxyyyex xyxyyyeuxd1)cossin(cos 得得),()sincos(ygxyyyxex 第21页/共39页 , 得得由由yuxv 1)sinsincos( yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ,)(Cyyg 故故,)sincos(Cyxyyyxeux 于是于是,)1(Czizez ivuzf )(Ciiyixeiyeexeiyxiyx )1()1( , 0)0( f由由, 0 C 得得所求解析函数为.)1()(

14、zizezfz 第22页/共39页例).( 1)( , )( , . , 22zfifivuzfvkyxuk的的并求并求为解析函数为解析函数使使再求再求为调和函数为调和函数使使值值求求 解根据调和函数的定义可得, 1 k,2 xxu 因为因为, 2 22 xu,2 kyyu ,2 22kyu Cxdydxyyxvyx 2)2(),( ),()0,0(,)2()(222iCzCxyiyxzf , 1)( if由由 , 0 C得得.2)(222zxyiyxzf CxyCxdyy 2200第23页/共39页一、指数函数二、对数函数四、三角函数与双曲函数三、幂函数五、反三角函数与反双曲函数小结与思考第

15、24页/共39页例1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求设设解 .cos)Re( , yeeeexzxz 实部实部所以其模所以其模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 第25页/共39页例2 解求出下列复数的辐角主值:.)4(;)3(;)2(;)1(4343322iiiieeee )(2Arg为为整整数数kkyez .,(- arg 内内的的一一个个辐辐角

16、角为为区区间间其其辐辐角角主主值值 ze)1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32 kei; 3arg32 ie ,24 Arg(3)43 kei ;24arg43 ie ,24 Arg(4)43 kei ;24arg43 ie第26页/共39页例3 解 . )1(Ln , 2Ln 以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值求求 ,22ln2Ln ik 因为因为 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因为因为 )()12(为整数为整数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以 第27页/共39页例4解).3(L

17、n)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln第28页/共39页例5解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因为因为)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln(0,1,)k ,LnLn)(Ln)1(21

18、21zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且处处处处可可导导和和其其它它各各分分支支处处处处连连续续主主值值支支的的复复平平面面内内包包括括原原点点在在除除去去负负实实轴轴 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 第29页/共39页例6 . 1 2的的值值和和求求ii解Ln1221e ike 22 )22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中第30页/共39页 ikie 21 2 ?kiee ., 2, 1, 0 kLniieee 因为exp( )cos1sin1,i

19、i)21(exp)Lnexp(ikieiei )2exp( ki 22 (cos1sin1)exp( ).kkeiei所以与的不一致性.约定:( )exp( ( ),f zef z ( )exp( ( )Ln ) ().f zaf zaae答案课堂练习.3)( 5 计算计算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik第31页/共39页例7 . 2 1的的值值及及其其主主值值求求i 解2Ln)1(12iie )22(ln)22(ln kike ., 2, 1, 0 k其中其中) 2ln2)(1(ikie )22sin(ln)22cos(ln 22ln kikek )2sin(ln)2cos(ln2 2iek )2sin(ln)2cos(ln2 0ik 时时，得得其其主主值值为为第32页/共39页例8 . )(1 的的辐辐角角的的主主值值求求ii 解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 .,2, 1,0 k其其中中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21co