傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用

1、傅里叶变换和拉普拉斯变换的 性质及应用1 1. 刖言 1.1背景 利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似 的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换 的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转 化为卷积。什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个 属于 A A 函数类的函数转化属于 B B 函数类的一个函数。傅里叶变换 和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。 分析信号的一种方法是傅立叶变换， 傅里叶变换能够分析信号的 成分，也能够利用成分合成信号。 可以当做信号的成分的波形有 很多，例如锯齿波，正弦波，方波等等。 傅立叶变换是利用正弦 波 来 作 为

2、信 号 的 成 分。 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家 Pierre Simon Pierre Simon Laplace Laplace (拉普拉斯)(17491749- -18271827)在他的与概率论相关科学研究中引入， 在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品 概率分析理论之中。即使在 1919 世纪初，拉普拉斯变换已经 发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进 展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师 的 Oliver HeavisideOliver Heaviside 奥利弗亥维赛(18501850- -19251925)在电学相关

3、 问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解 决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的 兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依据就 是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展 也是得益于算理理论的更进一步发展。 这篇文章就是针对傅里叶 变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一 下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联 系。2 1.2预备知识 定理 1.2.1 1.2.1 （傅里叶积分定理） 若在（- -g, + +x）上，函数词與满足一下条件： （1 1）在任意一个有限闭区间上面胆於;!）满足狄利克雷条件;

4、 小_曲- ，即何純在（- -, + +*）上绝对可积; 则胺扫泊勺傅里叶积分公式收敛，在它的连续点 r r 处 = f(t) 在它的间断点 f f 处 定义 1.2.1 1.2.1 （傅里叶变换） 设函数咸燼满足定理 1.2.11.2.1 中的条件，则称汎妙汝 为 f f；的傅里叶变换，记作厂词 二八&很荻空 定义 1.2.2 1.2.2 （傅里叶级数） 设函数列現的周期为 T T,则它的傅里叶级数为:3 fr( (O =守+(aocoswt-b 6nsin - =i a = j + 卩虽 fr(t) cos net tdt (n = 1,2 3严： = - + J2/ /T(t)s

5、inn tdi fn= 1,2,3,) r- 定义 1.2.3 1.2.3 （傅里叶逆变换） /(0 = J e_iutF( (w)d& 定义 1.2.4 1.2.4 （拉普拉斯变换） 若函数满足厂./ f./ f 冷积分收敛，那么该积分记作 （巧=X/W = J 式中 s s 为复数，-为积分核，上式称为拉普拉斯变换 定义 1.2.5 1.2.5 （拉普拉斯逆变换） .,称为 F F（s s）的拉普拉斯逆变换 二- -1 1疔 I I 定义 1.2.6 1.2.6 （卷积） 假如？1（t t）和？2（t t）是（- -8, + +X）上面有定义的函数，则 上式中, 2TT (J (J

6、 = = T ao = I TfT( (dt 4 ?l（ T ） ? ?2（t t- - T ）d d T K 称为?1（t t）和? ?2（t t）的卷积，记为？ 1（t t）* ?* ?2（t t） ? ?l（t t）* ?* ?2（t t） ? ?1（ T ） ? ?2（t t- - T ）d d T 2. 傅里叶变换的性质及应用 2.1傅里叶变换的性质 性质 2.1.1 2.1.1 （线性性质） 设.勺常数，二宀 - -KtKt） ，一J J? ?2（t t）则: B 咒=03）+B 巴 3） 厂+ 0升（讪=妙）+跨血 性质 2.1.2 2.1.2 （位移性质） 设厂珂&=讥

7、辭也，则 珂/0土如=曲叫沪肌切 厂疔3二如二小卿好肌切 性质 2.1.3 2.1.3 （微分性质）5 设厂=汀讥汇，零胡在 心 连续或可去间断点 仅有有限个且慣品 M M 卄工,则: /（ = iwF（w）o nr(t) =()nFM. 证明 由傅里叶变换的定义有 +co f(t)e-,u,|4-iw OD 性质 2.1.4 2.1.4 （积分性质） 设-卜-,若, liin J = 0W(0 fWedt = -IQG e_iaedf(t) 广8 iM Jne 证明 因为 6 7 f *O3 +tB =I I fitofzCt - T)dr OG . 故由微分性质得 定理 2.1.1 2.1

8、.1 （卷积定理） 如果广，匚-厂，则有: ACOlq 兔 3)3) 证明 f2 Cd = +si -OS edt fWdt DC 8 十SB Afr-e-dr DC +es - faCt-r)e-rf(t-T) )d ED - FaW/iWedT =兔3)召(灿 LK 03; =J fitodr 9 性质 2.1.62.1.6 (ParsevalParseval 恒等式) 如果有,则有 这个式子又叫做 ParsevalParseval 等式。 2.2 b函数及其傅里叶变换 定义 2.2.12.2.1 （5 5 函数） 满足: 的函数是 5 5 函数。 定义 2.2.22.2.2 （确算函数）

9、 满足: o, e t0, Loo r = I (2)(2) I fi(t = 1 / SB 的函数是琢朋函数。8(t)dt = 1 (1) tf(r) = + |*(如)Znj 10 定义 2.2.32.2.3 （5 5 函数的数学语言表述） ,t H 性质 2.2.12.2.1 （疔函数的筛选性质） 对任意连续函数佣:奇，有 f = /(O J BH = f(toj 性质 2.2.22.2.2 （衣函数的相似性质） 设 a a 为实常数，则: !- t0 C t0+T, T o,其他， 11 5(at) -5(t) (n.= 0) ) |a|12 定义 225 225 （单位阶跃函数） 5

10、 5 函数是单位阶跃函数在：二:时的导数 这里 吩 =（0 称为单位阶跃函数。 性质 2.2.32.2.3 （衣函数的傅里叶变换） 因为 - -iuiuf f 尸6仕)= dt=e t=a=l 5(t- =严口 =才讪卬 * na 所以 F 6( (t)1, 工* ,6(1 - rD) - e t 即 XtXt 和 1 1,碱治前和一 分别构成了傅里叶变换对。 2.32.3 傅里叶变换的应用 2.3.12.3.1 求微分积分方程 依据傅里叶变换的性质 2.1.1,2.1.3,2.1.1,2.1.3,对需要求解的微分方程的两 边取傅里叶变换，把它转换成像函数的代数方程，根据这个方程求解 得到像函

11、数，接着继续取傅里叶逆变换即可以得到原方程的解，下图 U.1 13 是此种解法的步骤，是解这种类型的微分方程的主要方法。 矗原画数 亠取5里叶逆变廉 （方程 /V JF X 1 八 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Il 1 科代数方程 微分方程 取傅型叶吏换L标翩数的 代数方 例 2.3.12.3.1 求积分方程 的解m，其中 sint, 0 n 解该积分方程可改写为 TI 广* . n I I = / Jn 2 計:刘为的傅里叶正弦逆变换，故有: sintsin&) )tdt r Jn cos(l t cosfl + 如)tdt 1-w2 JT 14 例 232232

12、 求积分方程 * AC 其中 m3m3 是已知函数，而且诜曲赫淘.诚理的傅里叶变换存 在。 解设 匕，一卜上：i _ 。由定义 1.2.6 1.2.6 （卷积）可 知，方程右端第二项 /： / -号。故 对方程两边取傅里叶变换， 根据卷积定理可得： d(g) H(如)+ 戸(知) S( (3) )+ 所以 由傅里叶逆变换，求出原方程的解: 例 233233 求微分积分方程 ax1 (ti + bx(t) + c x(t)dt = h(t)石3）1 f) 3M = H(? dot H F( (Cjd) 15 的解，其中-二：:飞：二-工，I I 打匚；，. .均为常数,h f为已知函数 解 根据

13、傅里叶变换的性质 2.1.1 2.1.1 （线性性质），性质 2.1.3 2.1.3 （微分 性 质），性质 2.1.4 2.1.4 （积分性质），且记 旷盘（胡=珂嵐胡=H（w） 对原方程两边取傅里叶变换： , , 而上式的傅里叶逆变换为 2 2. .3 3. .2 2 解偏微分方程 例 2.3.4 2.3.4 （一维波动方程的初值问题） 用傅里叶变换求定解问题： oa b+j(a - ) 呦=畑）戶加 16 解由于未知函数川 m中A-的变化范围为：=；. 、-，衍 d2u -DO J? O du 奁 Im = sinx 17 故对方程和初值条件关于取傅里叶变换，记 t）, Tcosx =

14、ir5(d) )+1) + 豪(a 1), + +1 1一召（切1J 1J 定解问题已经改变为求含参变量 山的初值问题: :lt=O = ”&（3十 1+ 机 - 1） j dU -77 k=v =町他少 + 1）矗（3 1）J * L -，!.是一个关于t的二阶常系数齐次微分方程，求得通解为 f) = Csi.nat + O ir o 由初值条件可知: c = + !_) 1), = 5rS(曲 + 1) -|-矶 3 1) 4 txi 因此初值问题的解为:=(Ja) )2U( (6of 18 7T lig t) = + 1) w =7rro5*t HjstnciJt j + 1)

15、4 - 1) 对上面的解取傅里叶逆变换，根据性质 224 224 （函数的筛选性质） 原定解问题的解为： n-fj, t) = T-1 i/fw, t | =J ( (7T 0 0,T为常数，有: ；i i 一 定理 3.1.1 3.1.1 （卷积定理） 一 j j 如果厂 i i m m，！工厂 17.17.：汀，那么 厅心）-再何=F13&W 或者 一人 R (s)Fa (s) = f (t) f2 Ct) 证明 由定义有： 人 = J LA 推1W八电 I AWACt- T) )dr estdt o - 22 由于二重积分绝对可积，可交换积分次序:23 令 - T = I； 故:

16、 杓1W=扎（T）电SOdv Jo =兔Cs j fiMeSTdr 丿0 二 Fits)耳 3.2应用 3.2.13.2.1 解线性微分方程（组） 解线性微分方程及微分方程组的垦本思路如下： 變挣 微分方肚+初始条件 r 八 代数方程” A 小人町=I -sr f2(t r) edt 24 原解 - 变换 - 像解 | 例 3.2.1 3.2.1 （线性微分方程） 求.1.1 b : : U U - - 1 0 C t tii 例 322 322 （常系数线性微分方程组） 求 屛 + y + * = 1 x-yf + z = 0 _y十址* 0 满足.,0 . 0 j n 0 满足x.O. (

17、I i(I i 的解 解 由性质 3.1.3 3.1.3 (微分性质)可知JC(C = -1 4J2 (SZ 1) ri (0 = 1 =- 4 27 对原方程两边做拉普拉斯变换得： 启倉0) + (1+ n)s - lxCs) = 0 解这个分离变量方程： 将至山 j j 展开为收敛的幕级数，而后逐项取拉普拉斯变换: x(t) = cta/M(2=-2sX（s）- 28 4. 傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系 对于函数 ftft,设 t t 0 0 时，/ f G,f G,当足够大时, 函数 f t e f t e t的傅里叶变换就有可能存在， 即 再根据傅立叶逆变换可得 记 L L ； -

18、i，注意到 3 3 亍=P2，于是可得 j?4-iae Fsjeds /T-icn 当唤）= Q,实际上就是 f tf t 的傅里叶变换，所以在一些 时候把傅 里叶变换称为拉普拉斯变换的特殊情形。 引入 B B 的 缘故是：f tf t 不一定可以符合傅里叶变换的狄利克雷条件， 而 在足够大时能够符合傅里叶变换的条件。f tf t 的 拉普拉斯变换的本质是说皿歸的傅里叶变换，对于 f t f t 来说，这种变换改变了傅里叶正变换里的原函 数（原函数乘 以指数衰减函数项），同时也改变了傅里叶逆变换的积 分因子 （H=iiwH=iiw），），这种变换就是 f tf t 的拉普拉斯变换。注意这 /(t) eelC4tdt = -HE f(t)estdtr f(t)= 29 时= LM，它的讨论范围就不仅仅是频率 w w，而是一个 复数（包含频率却）的。 傅里叶变换是把连续的时间域信号转 化到频率域； 它可以说是拉普拉 斯变换的特例， 拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广， 存在的条件比傅 里叶变 换要宽，是把连续的时间域信号转化到复频率域。30 总结 本文先介绍了一些傅里叶变换的基础知识，先后介绍了两种不变换的性质, 对重要的性质或定理进行了证明，并且介绍了两种变换的应用，列举了一些立 体加以说明，最后总结了一下两种变换的关系。 这两种变换都具有线性性质，微分性质，积分性质，卷积定