人教版高二数学选修4《极坐标系的概念》公开课获奖课件

1、Page 1极坐标系的概念Page 2平面直角坐标系中的点平面直角坐标系中的点P与坐标与坐标(a ,b)是是 _对应的对应的.P(a,b).xyOab 平面直角坐标系是最简单平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但不是最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系唯一的一种坐标系. 有时用别有时用别的坐标系比较方便的坐标系比较方便.我们先看下面的问我们先看下面的问题题. .还有什么坐标系呢？还有什么坐标系呢？与角与角终边相同的角：终边相同的角：= =+2+2k, ,kZZ一一一一Page 35 海里海里（1）距离：）距离：5 海里海里（2）方向：东偏北）方向：东偏北20.Ox拯救船拯救船20发

2、现走私发现走私!如何确定以下两船如何确定以下两船的位置关系呢？的位置关系呢？Page 4距离距离40 km xO方向：方向：4Page 5从这向南从这向南走走2000米米.请问：去屠宰场怎么走？请问：去屠宰场怎么走？思考思考: :“从这向南走从这向南走20002000米米”这句话包含哪些要素这句话包含哪些要素? ? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置它为何能使问路人明确屠宰场的位置? ?Page 6以天河路为以天河路为X轴轴以广州大道为以广州大道为Y轴轴.请问：请问：去广州塔怎么走？去广州塔怎么走？Page 7以天河路为以天河路为X轴轴以广州大道为以广州大道为Y轴轴.Page 8从这向东从这向东

3、2000米。米。请问：请问：去广州塔怎么走？去广州塔怎么走？Page 9请分析这句话，他告诉了问路人什么？请分析这句话，他告诉了问路人什么？从从 这这 向 东向 东 走走 2 0 0 0 米米 ！出发点出发点方向方向距离距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用这种用方向方向和和距离距离表示平面上一点的位置的思想，就是表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。极坐标的基本思想。Page 101 1、极坐标系的建立：、极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点；极点；自极点自极点O引一条射线引一条射

4、线OX，叫做，叫做极轴；极轴；再选定一个再选定一个长度单位、一个角度长度单位、一个角度单位（通常取弧度）单位（通常取弧度）及其及其正方向正方向（通常取逆时针方向）（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系.XO建构数学建构数学Page 112 2、极坐标系内一点的极坐标的规定、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M,M,用用 表示线段表示线段OMOM的长度的长度, ,用用 表示以射线表示以射线OXOX为始边为始边, ,射线射线OMOM为终边所成的为终边所成的角角, , 叫做点叫做点M M的的极径极径, , 叫做点叫做点M M的的极角极角

5、, ,有序数对有序数对( ( , , ) )就叫做就叫做M M的的极坐标极坐标。XOM 极点极点的极坐标为的极坐标为_(0, ), 可为任意值可为任意值.思考思考: 对比直角坐标系，比较异同。对比直角坐标系，比较异同。(1)要素：要素：_ _；(2) 平面内点的极坐标用平面内点的极坐标用_表示表示.极点、极轴、长度单位、极点、极轴、长度单位、计算角度的正方向计算角度的正方向( , )Page 12例例1、 如图，写出各点的极坐标：如图，写出各点的极坐标：。Ox ABCDEFGA(4,0)B(3, ) 4C(2, ) 2D(5, )5 6E(4.5, )F(6, )4 3G(7, )5 31数学

6、运用数学运用56 43 53 2 4 Page 134(3,0)(6, 2)(3,)(5,)2355(3,)(4,)(6,)63、ABCDEFG 变式训练变式训练 在图在图1-11上描下列点：上描下列点：小结小结由极坐标描点的步骤：由极坐标描点的步骤： (1) 先按先按极角极角找到点所在射线；找到点所在射线； (2) 在此射线上按在此射线上按极径极径描点描点.思考思考: 平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？Page 143 3、点的极坐标的表

7、达式的研究、点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OM的长度为的长度为4，4请说出点请说出点M的极坐标的表达式？的极坐标的表达式？思考：思考：这些极坐标之间有何异同？这些极坐标之间有何异同？思考：思考：这些极角有何关系？这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。是终边相同的角。4+2k4， 极径相同，不同的是极角极径相同，不同的是极角.Page 154 4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况11给定（给定（ , , ）, ,就可以在就可以在极坐标极坐标平平面内确定唯一的一点

8、面内确定唯一的一点M M22给定平面上一点给定平面上一点M M，但却有无数个极坐标与之对应。，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)如果如果限定限定0,00,022那么那么除极点除极点外外, ,平面内的点和极坐标就可以平面内的点和极坐标就可以一一对应一一对应了了. .Page 1621P5Q 1PQ4452P5Q 1PQ4,43,0M3例 、在极坐标系中，（ ）已知两点 （ 、 ）， （ ， ），求线段的长度。（ ）已知两点 （ 、）， （ ， ），求线段的长度。（ ）说明满足条件的点（ ， ）所组成的图形表示什么样的图形？，则）中的若（MR

9、3数学运用数学运用Page 17 在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的 情况下，也允许取负值情况下，也允许取负值( 0):当当 0时如何规定时如何规定( , )对应的点的位置？对应的点的位置？Ox当当 0时，点时，点M( , )的位置规定：的位置规定： )| | M( , )OxM(-2, )5 6)5 6点点M：在角：在角 终边的反向延长线上，且终边的反向延长线上，且|OM|=| |M(-2, )5 65、关于负极径、关于负极径小结：小结： 从比较来看从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作负极径比正极径多了一个操作, 将射线将射线OP“反

10、向延长反向延长”.Page 18。Ox 4 25 65 45 3 11 62 33 2A(-4,0)C(-2, ) 2B(3, )5 6D(-1, )5 3E(3,- ) 6(-4,- ) 3FABCDEF小结小结( , )( , 2k + )(- , + )(- , +(2k+1) )都是同一点的都是同一点的 极坐标极坐标.1Page 1933一点的极坐标有否统一的表达式？一点的极坐标有否统一的表达式？11建立一个极坐标系需要哪些要素建立一个极坐标系需要哪些要素? ?极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向. .22极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？极

11、坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极角有无数个无数，极角有无数个. .有。（有。（，2 2k+）课堂小结课堂小结Page 20思考思考: 极坐标系中极坐标系中, 点点M的坐标为的坐标为(-10, ), 则下列各则下列各 坐标中坐标中, 不是不是M点的坐标的是点的坐标的是( ) (A) (10, ) (B) (-10, - ) (C) (10, - ) (D)(10, )4 3 35 32 32 3课后作业课后作业Page 21 1956年，斯德哥尔摩的街头，年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅岁的笛卡尔邂逅了了18岁的瑞典公主克里斯汀。岁的瑞典公主克里斯汀。 那时，落魄、一文不名的

12、笛卡尔过着乞讨的生活，那时，落魄、一文不名的笛卡尔过着乞讨的生活，全部的财产只有身上穿的破破烂烂的衣服和随身所带的全部的财产只有身上穿的破破烂烂的衣服和随身所带的几本数学书籍。生性清高的笛卡尔从来不开口请求路人几本数学书籍。生性清高的笛卡尔从来不开口请求路人施舍，他只是默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的施舍，他只是默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的数学世界。一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐数学世界。一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学问题。他如此沉溺于数学世界，身浴在阳光中研究数学问题。他如此沉溺于数学世界，身边过往的人群，喧闹的车马队伍。都无法对他造成干扰。边过

13、往的人群，喧闹的车马队伍。都无法对他造成干扰。突然，有人来到他旁边，拍了拍他的肩膀，突然，有人来到他旁边，拍了拍他的肩膀，“你在干什你在干什么呢？么呢？”扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的脸庞，一扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的脸庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，期待着他的回应。她就是瑞典的小公主，国眨一眨的，期待着他的回应。她就是瑞典的小公主，国王最宠爱的女儿克里斯汀。王最宠爱的女儿克里斯汀。Page 22她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。言谈中，他发现，这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。和

14、女孩道别后，笛卡尔渐渐忘却了这件事，依旧每天坐在街头写写画画。几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。满心疑惑的笛卡尔跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，在会客厅等候的时候，他听到了从远处传来的银铃般的笑声。转过身，他看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。慌忙中，他赶紧低头行礼。从此，他当上了公主的数学老师。Page 23公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，他们之间也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域直角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，也就是日后笛卡尔创立的解析几何学的雏形。在笛卡尔的带领下，克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也使他们彼

15、此产生了爱慕之心。在瑞典这个浪漫的国度里，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。然而，没过多久，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒，下令马上将笛卡尔处死。在克里斯汀的苦苦哀求下，国王将他放逐回国，公主被软禁在宫中。当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后不久，便染上重病。Page 24 在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念的还是街头偶遇的那张温暖的笑脸。他每天坚持给她写信，盼望着她的回音。然而，这些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他的任何消息。在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了这个世界。此时，被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里，思念着远方的情人。这最后一封信上没有写一句话，只有一个方程：r=a(1-sin)。国王看不懂，以为这个方程里隐藏着两个人不可告人的秘密，便把全城的数学家召集到皇宫，但是没有人能解开这个函数式。他不忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐，便把这封信给了她。Page 25 拿到信的克里斯汀欣喜若狂，她立即明白了恋人的意图，找来纸和笔，着手把方程图形画了出来，一颗心形图案出现在眼前，克里斯汀不禁流下感动的泪水，这条曲线就是著名的“心形线”。国王去世后，克里斯汀继承王位，登基后，她便立刻派人去法国寻找心上人的下落，收到的却是笛卡尔去世的消息，留下了一个永远的遗憾这封享誉世