全等三角形的常用辅助线作法---完美版(备用版)

1、第十二讲全等三角形的常用辅助线作法【知识梳理】：1 1、找全等三角形的方法：（1 1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在 哪两个可能全等的三角形中；（2 2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3 3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4 4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。2 2、三角形中常见辅助线的作法：1延长中线构造全等三角形；2利用翻折，构造全等三角形；3引平行线构造全等三角形；4作连线构造等腰三角形。3 3、常见辅助线的作法有以下几种：（1 1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”

2、的性质解题， 思维模式是全等变换中的“对折”。【专题精讲】：例 1 1：如图， ABCABC 是等腰直角三角形，/ BAC=90BAC=90，BDBD 平分/ ABCABC 交 ACAC 于点 D,D, CECE 垂直于 BD,BD,交 BDBD 的延长线于点 E E。求证：BD=2CEBD=2CE思路分析：1 1） 题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2 2） 解题思路：要求证 BD=2CEBD=2CE 可用加倍法，延长短边，又因为有 BDBD 平分 /ABCABC 勺条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：（2 2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原

3、中线长相等，构 造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例 2 2：如图，已知 ABCABC 中，ADAD 是/ BACBAC 的平分线，ADAD 又是 BCBC 边上的中线。求证: ABCABC 是等腰三角形。思路分析：1 1） 题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2 2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了ADAD 又是 BCBC 边上的中线这一条件，而且要求证 AB=ACAB=AC，可倍长 ADAD 得全等三角形，从而问题得证。解答过程：（3 3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点

4、向角的两边作垂线，利用 的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性 质定理或逆定理。例 3 3:已知，如图，ACAC 平分/ BADBAD CD=CBCD=CB ABADABAD 求证：/ B+B+ZADC=180ADC=180。思路分析：1 1） 题意分析：本题考查角平分线定理的应用。2 2） 解题思路：因为 ACAC 是ZBADBAD 的平分线，所以可过点 C C 作ZBADBAD 的两边的 垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程：I)(:解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线;(4)过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用

5、的思维模式 是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例 4 4:如图， ABCABC 中，AB=ACAB=AC E E 是 ABAB 上一点，F F 是 ACAC 延长线上一点，连 EFEF 交 BCBC 于 D,D,若 EB=CFEB=CF?求证：DE=DFDE=DF思路分析：1)1)题意分析：？本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2)2)解题思路：因为 DEDE、DFDF 所在的两个三角形 DEBDEB 与 DFCDFC 不可能全等，又知 EB=CFEB=CF， 所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过 E E 作EG/CFEG/CF，构造中心对称型全等三 角形，再利用等腰三角

6、形的性质，使问题得以解决。解答过程：A解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法:例 5 5: ABCABC 中，/ BAC=60BAC=60，/ C=40C=40 , APAP 平分/ BACBAC 交 BCBC 于 P P, BQBQ 平分/ ABCABC 交 A AC C于 Q Q 求证：AB+BP=BQ+AQAB+BP=BQ+AQ思路分析：1)1) 题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2)2) 解题思路：本题要证明的是 AB+BP=BQ+AAB+BP=BQ+A 彫势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过0 0 作BC

7、BC 的平行线。得 AD3AD3AAQOAQO 得至 U U OD=OOD=O,AD=AQAD=AQ 只要再证出 BD=OBD=O就可以 了。解答过程：图解题后的思考：(1) 本题也可以在 ABAB 上截取 AD=AQAD=AQ 连 ODOD 构造全等三角形，即“截长法”(2) 本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图(2 2),过 O O 作 OD/OD/ BCBC 交 ACAC 于。，则厶 ADOADO ABOABO 从而得以解决。AA图图（2）如图如图（3） ,过过0作作DEBC交交AB于于D,交交M于于E, OJJAADOAAQO, AABOAAE0从而得以解袂从而得以解袂. .

8、BPC图图（3）如图如图 ，过，过P作作PDT7BQ交交AB的延长线于的延长线于D,则则AAPDAAPCM而而 得以解得以解决口决口/園D D”如图（5 5）,过 P P 作 PD/PD/ BQBQ 交 ACAC 于。，则厶 ABPABPAADPADP 从而得以解决小结：通过一题的多种辅助线添加方法， 体会添加辅助线的目的在于构造全 等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构 造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行 线还是倍长中线，实质都是对A图三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构 造了全等三角形。? ?（5 5）截长法与补短法，具

9、体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段 相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关 性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例 6 6:如图甲，AD/AD/ BCBC 点 E E 在线段 ABAB 上，/ ADE=ADE=/CDECDE / DC=DC=ZECBECB 求证：CD=ADFBC口图甲思路分析：1 1）题意分析：？本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2 2）解题思路：结论是 CDAD+BC,CDAD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CDCD 上截取 CF=CBCF=CB 只要再证 DF=DADF

10、=DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问 题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在 CDCD 上截取 CF=BCCF=BC，如图乙解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时， 一般方法是截长 法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另 一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等 于长线段。1 1） 对于证明有关线段和差的不等式， 通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、 之差 小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。2 2)在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连 接两点或延长某边

11、构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中， 再 运用三角形三边的不等关系证明。【课后作业】：温馨提示：这几道题一定要认真思考啊，都是要添加辅助线的，开动脑筋好好想一想吧！ 加油！你一定行！1 1、已知，如图 1 1,在四边形 ABCDABCD 中，BCBCABAB AD=DqAD=Dq BDBD 平分/ ABCABC 求证：/ BABBAB/ BC=180BC=180o oo2 2、 已知， 如图 2 2， /仁/2 2， P P 为 BNBN 上一点， 且 PDPD 丄 BCBC 于点 D,D,ABFBC=2BD求证： / BAPBAP/BCf=180BCf=180 o图图23 3、已知，如图 3 3,在厶 ABCABC 中,/ C C= 2 2/ B B，/ 1 1 = / 2 2。求证：AB=