向量内积的坐标运算与距离公式

1、向量向量内积的坐标运算与距离公式1.已知非零向量£与易 则西厂的内积表达式是怎样的? 由内积表达式怎样求cos a.b) ?/P R cos a.b/ cos<f> =常 2.尸丄厂 u> Cl O3. |罚与乃有何关系？ |罚=4aXa已知ei , *2是直角坐标平面上的基向量,F=（“i，"2）， b =你能推导出£厂的坐标公式吗？ 探究过程：S b =(di£ + z?2)=cixbx 占 + cixbx 场 + 6Z2Z?!占 +因为罟.耳=场场=1占忖2 = .占=O， 所以尸Z = aAb + S定理在直角坐标平面"

2、;y内，昆场为轴，丁轴的基向量, F= (“”“2)，厂=(勺上2)，JM£厂=czxbx + cijb.推论、_(1) 两向量垂直的充要条件.蟹憩的坐标P . F z 7算公式ci A- b <=> cixbx + a?乃2 =。(2) 两向量夹角余弦的计算公式,p Px u bcib + cibcos ub > = c Q =/ -+ “2? Jb2 +£>2?陥yR定理在直角坐标平面xoy内，占,场为轴，丁轴的基向量, 2f=（W2），占=（纠上2），JM£ £ = axbx + a2Z?2.问题若已知£=（“i，

3、“2），你能用上面的定理求出问吗? 解：因为 |£2 = £ S =（6/p“2）2 2.向量的长度公式所以|罚=a、 H- 2 2 2+ °2定理在直角坐标平面=(6Zj , t/2内，E，场为轴，轴的基向量, ),Q = (£?1,乃2 )，则S' b = cixh + t72Z?2.问题(2)如果A(Xi , y! ), y2 ),你能求出序的长度吗？解：因为 A(xx, X), B(x2, ，2)， 贈孟J %-X)两点间距离公式 由向量的长度公式得：#AB = J(X? 乂1)2 +(，2 ，1)2-解：由已知条件得£Q=3x

4、l + ( l)x (-2) = 3 + 2 = 5,|罚=y/a a = 丁3 x 3 + (1) x ( D =内=y/b b = yfl X1 + (2) X (2) = V?. 因为 Q P/P,P S-b5V2cos ab / = - rQ =；k =,所以(a,b)=.例2 已知 A(2,-4), B(_2,3),求 AB解：由已知条件得AB = (-2,3) (2,-4) = (-4,7),所以而=7(-4)2+72 = V65.例3 已知 A(l,2), B(3,4),C(5,O).求证：dLBC是等腰三角形.证明：因为AB = (3-L4-2) = (2,2),AC =(5-

5、1,0 2) = (4, 一 2),BC=(5-3,0-4) = (2, 4),AC =舛 +(_2)2 = V20,BC = Q +(4尸=V20, 所以|入司=|匪.即ZUBC是等腰三角形.例4 已知 A(l,2), B(2,3), 0(24).求证：AB丄AC.证明：因为Zb = (2,3)-(1,2) = (1,1),AC = (-2,5) 一 (1,2) = (-3,3), 可得而 AC = (1,1)(3,3) = 0.所以AB丄AC.1 -已知 A(l,2),占(2,3),0(2,5)求证："40寻2.已知点P的横坐标是7,点P到点N（l，5）的距离等于10,求点P的坐标本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距离公式，常见的题型主要有:1.直接用两向量的坐标计算内积;2