向量组及其线性表示

1、主要内容: 一、维向量的定义 二、向量组的定义 三、向量组的线性组合向量组等价五、向量组的线性表示2，T第2个分量L 少)T第n个分量定义:个有次序的数Qi，©，陽所组成的数组称为维向量，这个数称为该向量的个分量，第i个数称为第洽分量.例维向量(1,T第1个分量£ §1 向量组及其线性组合定义:给定向量组4：。1虫2，k,k2 , ,km,表达式kxax + k2a2 +称为向量组的一个线性组合,“心对于任何一组实数+心显2，匕称为这个线性组+0丄+ 3合的系数.向量组Ay =lb向量组A的个线性组合：2° +3% +°3 - g斗=2定义:给

2、定向量组4：。1，勺八和向量b,如果存在 一组数21，久2，九，使b =久0 + A2«2+ + mam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组 A线性表示.注意：向量b能由向量组4线性表示,也就是方程组b =xxax+ x2a2 + + xmam有解.A: ax(°)I】丿2引 + 3tz0 + a? t/斗=b向量b能由向量组A线性表示.<召+花+七=6 xx + 2x2 + 兀=7有解.方程组定理向量b能由向量组A® , a?，©2线 性表示的充分必要条件是矩阵A=（°i, °2，。加）的秩等于矩阵B=（。1,

3、 a2 ,，a加，方）的秩.<1>9,b =6/1=42 =4 =.Cl A =1<1>zH-丄72同 + 3a° + % = b7?(A) = RflR(B)=也山宀心心上)=R110 6)=2.201 7j例_设向量b =68,向量组A: a=32卫2 =-11J丿3°丿(5丿-3-2解因为'1 -23 一 1 B =2 1问向量方能否由向量组4线性表示?3 一1 2、5-362-2 8一 457,7-25003-12、-400057004,由此可知，咫A)即 &/1)丰组A线性表示.=3,= 4,因此向畫不能由向量定义:设有两个

4、向量组4：。1，勺，勺7及B為2，bm,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组能由向量组A线性表示.定义:若向量组A与向量组B能相互线性表示，则 称这两个向量组等价.例设有两个向量组4 : 5fl2b、= d + a”<r+ 20、2丿丄9 及 B : b、=“2 = + 2d”则称向量组B能由向量组A线性表示.例设有两个向量组A : % =1)0>ri厂0、亠10z厶=d + 2(2，6/j = 2b Z?2,则称向量组A与向量组B等价.定理向量组B;b,b2，b,能由向量组A-.ai,a2 , . ,am线性表示的充分必要条件是 矩阵4=(°, a?,，

5、知)的秩等于 矩阵(A, B) =(«! ,a2, am, bx,b2 ,，b)的秩,即7?(A) =R(A,B).例设有两个向量组A :舛二0、及 B : b1向量组B能由向量组A线性表示./珂C/ -1-9尺(A) = R2(1 O心7?(A) = RQA，B)占§ 1向量组及其线性组合推论向量组A：d,勺，Q%与向量组B'.bx,b2, . ,b,等价的充分必要条件是尺=R 二 R(A,B),其中A和是向量组A和B所构成的矩阵.例设有两个向量组4 :S'ax -,。2 -,及 B : b二1，/?2 =21>2丿向量组B与向量组4等价.(1R(A) = R(0=2皿）川fl 011、i jjR(A) = R(B) = R(A.