2014年高中数学必修选修1全部知识点精华归纳总结解析

1、-1 -2014年高中数学必修+选修知识点归纳引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1:集合、函数概念与基本初等函数（指、 对、幂函数）必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3:算法初步、统计、概率。必修4:基本初等函数（三角函数）、平面向量、 三角恒等变换。必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初 步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、 发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做 过高的要

2、求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、 统计等内容。选修课程有4个系列：系列1:由2个模块组成。选修11:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。选修12:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图系列2:由3个模块组成。选修21:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。选修22:导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数选修23:计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。系列3:由6个专题组成。选修31:数学史选讲。选修32:信息安全与密码。选修33:球面上的几何。选修34:对称与群。选修35:欧拉公式与闭曲面分类。选修36:三等分角与数域扩充。系列4:由10个

3、专题组成。选修41:几何证明选讲。选修42:矩阵与变换。选修43:数列与差分。选修44:坐标系与参数方程。选修45:不等式选讲。选修46:初等数论初步。选修47:优选法与试验设计初步选修48:统筹法与图论初步。选修49:风险与决策。选修410:开关电路与布尔代数。2.重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、

4、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应

5、用(11)概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布(12)导数：导数的概念、求导、导数的应用(13)复数：复数的概念与运算 必修1数学知识点第一章：集合与函数概念1.1.1、集合-2 -1、把研究的对象统称为 元素，把一些元素组 成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、 互异性、无序性。2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称 这两个集合相等。3、常见集合：正整数集合：N*或N .,整数集合:Z,有理数集合：Q,实数集合:R.4、集合的表示方法：列举法、描述法.1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则 称集合A是集合B

6、的子集。记作A B .2、如果集合A B，但存在元素B，且x - A，则称集合A是集合B的真子集.记 作：A二B.3、把不含任何元素的集合叫做 空集.记作：一. 并规定：空集合是任何集合的子集4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，2n-1个真子集1.1.3、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元 素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：A B.2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所 有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：A B.3、 全集、补集？CuA二x|x U ,且x 71.2.1、函数的概念1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定 的对应关系f，

7、使对于集合A中的任意一 个数x,在集合B中都有惟一确定的数f x和它对应，那么就称f : A-.B为集合A到 集合B的一个函数，记作：y二fx ,x A.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关 系、值域.如果两个函数的定义域相同，并 且对应关系完全一致，则称这两个函数相 等.1.2.2、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、 列表法.1.3.1、单调性与最大(小)值1、注意函数单调性的证明方法：(1)定义法：设为、x2 a,b,为：x2那么f (xj - f (x2)：0 = f (x)在a,b上 是增函 数；f(捲)-f(X2)0= f (x)在a, b上 是减函 数.步骤

8、：取值一作差一变形一定号一判断格式：解：设xx2a,b且捲：X2，则:f X1- f x2=(2)导数法：设函数y二f (x)在某个区间内可 导，若f (x) 0，则f (x)为增函数；若f (x)：0，则f (x)为减函数.1.3.2、奇偶性1、一般地，如果对于函数f x的定义域内任意一个x，都有f - X = f X，那么就称函数f X为偶函数.偶函数图象关于y轴对 称.2、一般地，如果对于函数f x的定义域内任意一个x，都有f - x - - f x，那么就称函数f x为奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识链接：函数与导数1、函数y二f (x)在点X)处的导数的几何意义：函数y二f (x

9、)在点X0处的导数是曲线y = f (x)在P(X0,f (X0)处的切线的斜率f (X0)， 相应的切线方程是-3 -y y= f 0o)(x X。).2、几种常见函数的导数1C =0;(xn)=nxn;(sin x) =cosx；(cosx) =sin x;(ax)=ax|na；(ex)=ex; 11(logax)=-:(In x)= xln ax3、导数的运算法则(1)(u土v) =u v.III(2)(uv) =u v +uv.II/c、uu v uv(3)() =一2(v式0).vv4、复合函数求导法则复合函数y = f( g x的导数和函数y=(u,=u g的导数间的关系为yx=

10、yu：ux即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.解题步骤:分层一层层求导一作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：极值是在X0附近所有的点，都有f(x)Vf(X0)，贝Uf(X0)是函数f (x)的极大值；极值是在X。附近所有的点，都有f(x)f(x0),则f(x)是函数f(x)的极小值.(2)判别方法：1如果在X0附近的左侧f(X)0,右侧f(X)V0,那么f(x)是极大值；2如果在X0附近的左侧f(x)V0,右侧f(x)0,那么f(X0)是极小值.6求函数的最值(1)求y = f(x)在(a,b)内的极值(极大或者极小值)(2)将y = f (x)的各极值点与f(a), f

11、(b)比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小 值。注：极值是在局部对函数值进行比较(局部 性质)；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。第二章：基本初等函数(I)2.1.1、指数与指数幕的运算1、 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根。其中n 1, nN.2、 当n为奇数时，n. an= a;当n为偶数时，a.3、 我们规定：nam=man*(a 0,m, n N ,m 1);a二+n0;a4、 运算性质：aras= ar4s(a a 0,r,sw Q)；ari =arsa 0,r,s Q；(3)( ab j=arbr(a0,b 0,Q ).2.1.2、指数函数及其

12、性质1、记住图象：y二axa 0,a = 1y=ax-4 -14、运算性质：当a 0,-1,M0, N 0时:函数y = f x的图象与x轴有交点logaMNi=logaM logaN；函数y = f x有零点.2、零点存在性定理:loga MogaM-logaN；如果函数y = f x在区间a,bl上的图象是连a 0,a =1, c 0, c =1,b0.6、重要公式：loganb=mlogaban倒 数 关logab =2.22、对数函数及其性质3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法3.2.1、几类不同增长的函数模型3.2.2、函数模型的应用举例1、解决问题的常规方法：先画散点图

13、，再用适 当的函数拟合，最后检验.1、记住图象：y = logax a 0, a = 1必修2数学知识点logaMn= nlogaM.续不断的一条曲线，并且有fa f b：0，那5、换底公式:logab#ogcblogca么函数y = f x在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得f c = 0，这个c也就是方程(1)定义域：(0，+x(2) 值域：R(3) 过定点(1，0),即x=1时，y=02、性质:2.3、幕函数1、几种幕函数的图象:(4)在(0，+x)上是增函数0： ：x :1,logax : 02、性质:2.2.1、对数与对数运算1、指数与对数互化式：ax=Nu x=logaN；2

14、、对数恒等式:alogaN二N.3、 基本性质：1、方程f x=0有实根f xi=0的根.logbay：y=logax0a1o*xa 10 ： a: 1第二章：函数的应用3.1.1、方程的根与函数的零点(4)在(0，+x)上 是减函数x . 1,logax : 0；0 :x : 1, logax 0/cy二-5 -第一章：空间几何体1、空间几何体的结构常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见 的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四 卫形，并且每相邻两个四边形的公共边都互 相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱 柱。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥，底面与

15、截面之间的部分，这样的多面体 叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投 影，中心投影的投影线交于一点；把在一束 平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投 影的投影线是平行的。3、空间几何体的表面积与体积9圆柱侧面积；S侧面=2- r圆锥侧面积：S侧面-:r l圆台侧面积：S侧面=禦r R l体积公式:1V柱体1 2 3 4 5 h；V锥体S h；32、 公理2:过不在一条直线上的三点，有且只 有一个平面。1 _V台体=3SS上STSTh球的表面积和体积：243S球-， V球R.3第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,3

16、、 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。4、 公理4:平行于同一条直线的两条直线平行5、 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平 行，那么这两个角相等或互补。6线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面 平行、直线和平面相交。8、 面面位置关系：平行、相交。9、 线面平行:判定：平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行（简称线线 平行，则线面平行）。性质：一条直线与一个平面平行，则过这条 直线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行（简称线面平行，则线线平行）。10、面面平行:判定：一个平面内的

17、两条相交直线与另一个 平面平行，则这两个平面平行（简称线面平 行，则面面平行）。性质：如果两个平行平面同时和第三个平面 相交，那么它们的交线平行（简称面面平行, 则线线平行）。11、线面垂直:定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面 垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线 线垂直，则线面垂直）。性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直:定义：两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线,-6 -1则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面

18、垂直）。性质： 两个平面互相垂直， 贝 个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称，则线面垂直）那么这条直线在此平面内面面线与方程第三1、倾斜角与斜率：k = ta- _yi2、直线方程：点斜式：y - y。= k x - X。斜截式：y = kx b两点式：y yiy2 yiXXx2截距式：彳I=ia b一般式：Ax By C = 0RP2= P（x2 xi） + （y2-yi）6点到直线距离公式：Ax+ By。+Cd - -,1JA2+ B27、两平行线间的距离公式：li:Ax By 0=0与l2:Ax By C2二0平行,Ci -C2A2B2第四章：圆与方程i、圆的方程：标准方程：

19、（x-a）2+（y-bf = r2li和l2相交=AB? = A?Bi；AiB2 A2BiBiC=B2Cih _ |2= AiA2BiB0.5、两点间距离公式：3、两圆位置关系：d = OiO2外离：d R r；外切：d=R，r；相交：Rr d R r；内切：d=R-r；内含：d：R-r.3、空间中两点间距离公式：RP2= +（X2- Xi） * （y2 yi） +（Z2 Zi）3、对于直线：1: y = k1x 6,丨2: y = k2x b2有: = k2I, l2二；bi仏!Uli和丨2相交=ki= k2;十.ki = k?li和丨2重合二丿；bi “2h _丨2二kik - -i.其中

20、圆心为（a,b），半径为r.一般方程：x2y2 Dx Ey F = 0.其中圆心为（-E -E，半径为2 2r=JD2+E24F.22、直线与圆的位置关系直线Ax By C = 0与圆（x-a）2（y-b）2= r2的位置关系有三种：4、对于直线：11: Aix Biy G =0,12: A2x B2y C2= 0d ru相离:二 A0;d = r =相切=二0；d : r =相交=i :0.li/l2=A B2= A2BiQ C2式B2Ci弦长公式:I=2.r2_d2h；i k（为-X2）2-4xiX2li和l2重合=-8 -必修3数学知识点第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程

21、序语言；2、流程图中的图框：、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；3、算法的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构当型循环结构.直到型循环结构顺序结构示意图：条件结构示意图:（图2）（图4）4、基本算法语句：1输入语句的一般格式：|INPUT“提示内容”；变量2输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”； 表达式3赋值语句的一般格式：变量=表达式（“=”有时也用“”）.4条件语句的一般格式有两种：IFTHENELSE语句的一般格式为:IF条件THEN语句1ELSE语句2END IF（图2）IFTHEN语句的一般格式为:IF条件THEN-7-语句END IF（图3）IF - THEN格式：

22、5循环语句的一般格式是两种： 当型循环（WHILE语句的一般格式：WHILE条件循环体（图 4）WEND直到型循环（UNTIL）语句的一般格式:DO循环体LOOP UNTIL条件（图 5）算法案例：1辗转相除法一结果是以相除余数为0而得到 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：i）:用较大的数m除以较小的数n得到一个 商So和一个余数R）;ii）：若Ro=0,则n为m n的最大公约数； 若Ro工0,则用除数n除以余数Ro得到一个商Si和一个余数R;iii）:若R=0,则尺为m n的最大公约数； 若R工0,则用除数RQ除以余数Ri得到一个商S2和一个余数R2；依次计算直至Rn=0，此时所得到的R

23、n即 为所求的最大公约数。2更相减损术一结果是以减数与差相等而得到 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：i）:任意给出两个正数；判断它们是否都是 偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。ii）:以较大的数减去较小的数，接着把较小 的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续 这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。3进位制十进制数化为k进制数一除k取余法k进制数化为十进制数第二章：统计1、抽样方法：1简单随机抽样（总体个数较少）2系统抽样（总体个数较多）3分层抽样（总体中差异明显）注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组 成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为-

24、。N2、总体分布的估计：一表二图:1频率分布表一一数据详实2频率分布直方图 分布直观3频率分布折线图一一便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。茎叶图：1茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看 出数据的分布，以及中位数、众位数等。2个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从 小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：平均数：I/ X2刈Xn；n取值为X1,X2,，Xn的频率分别为P1,P2,，Pn，则 其平均数为X1P1X2PXnpn；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差与标准差：一组样本数据XX2，Xn、土2i-2方差：s(XiX)；n7注：方差与标准差越

25、小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映 数据的稳定水平。线性回归方程1变量之间的两类关系：函数关系与相关关系;2制作散点图，判断线性相关关系3线性回归方程：ybxa（最小二乘法）标准差:(Xi2x)-10 -2-nxn_X%- nxyi =1n、Xi2i d-11 -注意：线性回归直线经过定点(x,y)。第三章：概率1、随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果，用大写英 文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随机事件A的概率：P(A)=m,0乞P(A)叩.n2、古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个基 本结果；古典概型的特点：1所有的基本事

26、件只有有限个；2每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率P(A)=m.n3、几何概型：几何概型的特点：1所有的基本事件是无限个；2每个基本事件都是等可能发生。几何概型概率计算公式：P(A)d的测度；)D的测度其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、 面积、体积等。4、互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件A,A2,，An任意两个都是互斥事件，则称事件AA2,，An彼此互斥。如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的 概率，等于事件A，B发生的概率的和，即：P(A B) =P(A) P(

27、B)如果事件A,A2,，An彼此互斥，则有：P(A1A2 An)二P(A) P(A2厂P(An)对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生， 则称这两个事件为对立事件。1事件A的对立事件记作AP(A) P(A) =1, P(A) =1 _P(A)2对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。必修4数学知识点第一章：三角函数1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角 的概念.2、与角终边相同的角的集合：-：2k：，k Z/.1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2l2、o =-.r3、 弧长公式:I =n；?R= a R .180niT R214、 扇形面积

28、公式：S二口 丄lR.36021.2.1、任意角的三角函数1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于 点P x,y， 那 么 ys : r y, rc：o x, ts : a nx2、设点A x ,y为角终边上任意一点，那么：(设x2y2)sin：，cos：，tan：= -，cot：=-rrx3、sin，cos，tan在四个象限的符号和正弦线：MP;余弦线：0M;正切线：AT5、特殊角0，30，45，60，90，180，270等的三角函数值.a0-9-=-JI4-9JU32_2H3.3143 JU2JI三角函数线的画法.-12 -sin Ctcos atan a-13 -122、同角三角函数的基

29、本关系式1、 平方关系:sin $：丄cos?= 1.2、 商数关系：tan=岂*.cos a3、 倒数关系：tan: cot =11.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”kZ）1、 诱导公式一si ni：亠2k“：- si n：,cos以亠2k二-cos：,（其中:kZ）taniu亠2k二-tan：.2、 诱导公式二：sin二：-sin :-,cos二：-cos：,tan二：-tan：.3、 诱导公式三：sin -：- -sin：,cos -：- cos：,tan -：- - tan：.4、 诱导公式四：sin : - - - sin：,cos二-：-cos：,tan :

30、 - - - - tan：.5、 诱导公式五:sin 一a i=cosa,2丿cos一 一。丨=sina.2丿6、诱导公式六:sin i = cosa,、2丿cos 1= sina .2丿1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：y=s inx-5n21-如也-為 j0迹-2y=cosx-5-3二2-二2-4士-2二-3：2 22、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、 对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.y =s inx 在 x 0,2 二上的五个关键点为:兀3兀(0,0,，),，,0),(_2 ,-1,0,0)

31、.1.4.3、正切函数的图象与性质yi1 ：lIy=cotx1qI-To Tt知22 22*JJI2、记住余切函数的图象:y312yJI衍7兀一.2 2 兀23-：-2 -3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质： 定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性 周期函数定义：对于函数f x，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都-3 -有f xT二f x，那么函数f x就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质y =sin xy = cosxy =tanx图象y/|.JI22 Ji4yL y v2rr! /3 / -/wvr-J

32、|-C：x定义域RRJIx| xH +kir,kEZ2值域-1,1-1,1R最值JIZx=2k兀中一,kZ时，ymax=12JI7x=2k ,kZ时，ymin=12x=2kir,k EZ时，ymax=1X=2k兀+jl,kZ时，ymin=1无周期性T =2兀T =2兀T=n奇偶性奇偶奇单调性k WZ在2皈一戈2 5+与上单调递增2 2在在2k 兀-兀,2kn上单调递增在（匕_卫“心）上单调递增2 2在2k兀十2 2k兀+上单调递减2 k 兀,2 +囂上单调递减对称性对称轴方程：x=k+2对称中心（k%0）对称轴方程：X = kn对称中心（k兀一, 0）2无对称轴对称中心（，0）21.5、函数y

33、二Asin的图象1、对于函数：y =Asin x亠 5 亠B A 0, 0有：振幅A,周期 T =，初相，相位X，频率f=丄=-.f一T - 2二.2、能够讲出函数y =si nx的图象与y=Asin的图象之间的平移伸缩变换关系1先平移后伸缩：y二si n x平移|个单位y二sin x（左加右减）横坐标不变y = Asin x纵坐标变为原来的A倍 纵坐标不变y二Asin x横坐标变为原来的|丄|倍-2 -平 移 冋 个 单 位y = As inx亠：；j亠B（上加下减）先伸缩后平移：y二sin x横坐标不变 .y -As i n x纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变 針y = Asi n x1横坐

34、标变为原来的I-1倍co平 移4个 单 位- &y二As i n x（左加右减）平 移L |B|个 单 位y = As inx :;B（上加下减）3、 三角函数的周期，对称轴和对称中心函数y=snx（,xR及函数y =co,sx （,xR（A,，为常数，且 20）的周期T =-;函数y = t a n （x，）I叫X =k二 一,k Z（A,3,为常数，且AM0）的2周期T.对于y二As in （ x:）和y二Acos（ X:）来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点 联系求函数y = AsinC，x 图像的对称轴与对称中心，只需令 X =k （k Z） 与2x= k 二（k Z）解

35、出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、 由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：A =ymax一ymin，B =ymax ymin.2 2要根据周期来求，要用图像的关键点来求1.6、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题第三章、三角恒等变换3.1.1、两角差的余弦公式 记住15的三角函数值：asi notcosatana丁2眉12443.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin：- - sin：COST丨COS：sin -2、sin：=sin：cos：-cos：sin -3、cos：= cos：cos：-sin：sin :4、cos：- -cos工cos匸，sinxsin

36、:5、tan鼻1-6、tan :-3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin2：二2sin：cos：， 变形：声n：cos：= -2 sin2：.222、cos 2：= cos -sin :二2cos2匚-1=1 -2sin2：.变形如下:21 cos2：- 2cos :21-cos2：= 2sin :3、tan2：=2tan_.1 -ta n2,sin 2口1 -cos2a4、tan :tana +tan-1-tan: tan：tana tanE -1tan_：:tan：升幕公式:降幕公式:cos2a = sin，J（1 cos2：）（1 -cos2：）-3 -1+cosRsin 2

37、3.2、简单的三角恒等变换-4 -1、 注意正切化弦、平方降次.2、 辅助角公式y =asinx bcosx = . a6b2sin（x）（其中辅助角所在象限由点（a,b）的象限决定，tan）.a第二章：平面向量2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、力卩 速度.2、既有大小又有方向的量叫做 向量.2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做 有向线段，有向线段 包含三个要素：起点、方向、长度2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或I称模），记作AB;长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做 单位 向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向

38、量 （或共线向量）.规定：零向量与任意向量 平行.2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则 和平行四边形加法法则.62.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作： a，它的 长度和方向规定如下：丸a=冲a,当0时，a的方向与a的方向相同；当-:0时, a的方向与a的方向相反.2、平面向量共线定理：向量aa = 0与b共线,当且仅当有唯一一个实数，使b .2.3.1、平面向量基

39、本定理1、 平面向量基本定理:如果e,e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内任一向量a，有且只有一对实数1/2，V， 申使a - g 2e2.2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示I-+1、a = xi y j = x, y .2.3.3、平面向量的坐标运算1、设a =人1,b = X2, y2，贝U：a b MX X2y y2，a - b =捲 一X2, y1- y2，a-：細, y1，a / b = x y2= x2% .a +b2,nN), 那么这个数列就叫做等差数列。等差中项：若三数a、A、b成等差数列_|_ _!J_ -I-.- -rt-l9 10a +b u A2通

40、项公式：an二aL（nL）d二am（n -m）d或an二 pn q（p、q 是常数）前n项和公式：S_na+n（nL）d_n+an）Sn naid 2 2常用性质：7若等差数列faj的前n项和Sn，则Sk、1若m n = p q m,n, p,q N亠i,贝Uaman -apaq；2下标为等差数列的项ak，akm，ak2m，仍组 成等差数列；3数列,anb： （ ,b为常数）仍为等差数列；4若an、bn是等差数列，则 ka*、kanpbn（ k、p是非零常数）、ap+q（ p,q E N*）、，也成等差数列。5单调性：a匚的公差为d，则:10d 0 = &为递增数列；ii） d：o=

41、a ?为递减数列；iii）d =0= d，为常数列；6数列 an为等差数列二a.二pn q（p,q是 常数）S2k-Sk、S3k-S2k是等差数列3、等比数歹y定义：如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个 数列就叫做等比数列。等比中项：若三数a、G b成等比数列=G = a b（ab同号）。反之不一定成立。通项公式：an=a1qn=amqn前n项和公式：&二a1Z二吐弩一1-q1-q常用性质1若m n = p q m, n, p,q N .， 贝Uam *an二a；a2ak,akm,ak如,为等比数列，公比为qk（下标 成等差数列，则对应的项成等比数

42、列）3数列（ 为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列 唧；则Ugan?是公差为lgq的等差数列；r14若是等比数列，则CanTan，2nJanr“rZ）是等比数列，公比依次是21rq，q，一，q .q5单调性：a10,q -1或ar 0,0 : q ： 1 =、an为递增数列;d - 0,0：q : 1或a1）分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等 比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再 将其合并即可一般分两步：找通向项公式 由通项公式确定如何分组.倒序相加法如果一个数列乙奁，与首末两项等距的两项之 和等于首末两项之和， 则可

43、用把正着写与倒着 写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和， 这种求和方法称为倒序相加法。特征:=a2 an j.=记住常见数列的前n项和:21 3 5 . （2n -1） = n2;3122232. n2=丄 n（n 1）（2n 1）.6第三章：不等式3.1、不等关系与不等式1、不等式的基本性质1（对称性）a b b a2（传递性）a b,b c= a c3（可加性）a a c b c（同向可加性）a b,c .d=ac b d（异向可减性）a b,c. d =a - c b -d4（可积性）ab,c 0 = ac bca . b, c：0二ac : bc5（同向正数可乘性）a b -0,c

44、 d0=ac bd（异向正数可除性）a.bO0 5d = ac d6（平方法则）a b0= anbn（n，N,且n 1）8（倒 数 法 则111a b 0; a：b：0 =aba2、几个重要不等式1a2 b2_ 2ab a，b R ,（当且仅当a二b时2 ,2变形公式：ab _a22（基本不等式）詈八ab a,R ,（当且仅当a二b时取到等号）.变形公式：a + b2jababJM .- I 2丿用基本不等式求最值时（积定和最小，和定 积最大） ，要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”.3（三个正数的算术一几何平均不等式）-_b_ -3abc （a、b、c R ）（当且仅当3a = b =

45、 c时取到等号）.4a2b2c ab bc ca a,bR（当且仅当a二b二c时取到等号）.5a3b3c3_ 3abc（ a 0,b0,c0）（当且仅当a二b = c时取到等号）.6若 ab 0,则b a_2（当仅当a=b时取等号）a bb a若 ab：0,则b玉-2（当仅当a=b时取等号）a bb b m , a n a71：a a m b n b其中（a b 0， m 0， n 0）规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.当 a 0 时，x a二x2a2二xc-a 或 xa;x a= x2：a2=-axa.2 3 . nn（n 1）2取=号）-20 -9绝对值三角不等式a b士b + p

46、 3、几个著名不等式 平 均 不 等 式：a,b R ,(当且仅当a=b时取=号).(即调和平均 乞几何平均乞算术平均岂平方平 均).变形公式：ja +b勺a11 12+b2ab;I 2丿21舍去或加上一些项，如( -)2- (a -)2;2422将分子或分母放大(缩小)，如二_ =)丄2,、k . k . k , k、k T5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bx c 0(或： :0) (a = 0,&=b2-4ac 0)解集的步骤:一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.设aa.an,bib.bn为 两组 实数.Ci, C2,., Cn

47、是bi, b2,., bn的任一排列，贝Uaibna2bnj -. anbiaici- a2c2- . - ancn_aibia?b2. anbn.(反序和一乱序和一顺序和)当且仅当ai= a2=. = an或 d =b2=. = bn时，反 序和等于顺序和.9琴生不等式：(特例：凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数f (x),对于定义域中任意两点xi,x2(x-x2),有-21 -2(a b)22幕平均不等式：aj a22. an2_(印a2-. an)2.n3二维形式的三角不等式：、xj %2. X22y22-，(xi-X2)2(yi- y?)2(xi,yi,x2, y2R).4二维形式

48、的柯西不等式：(a2b2)(c2d2)一(ac bd)2(a,b,c,d R).当且 仅当ad二be时，等号成立.5三维形式的柯西不等式：2 2 2 2 2 2 2(aia2a3)(0b?d ) - (ab a?b2asd).6一般形式的柯西不等式：(ai2a22. an2)(bi2d2. bn2)2-(aibia?b2.a.m).7向量形式的柯西不等式：设扌卫是两个向量，贝i科斗即石,当且 仅当是零向量，或存在实数k，使叫二时,等号成立.8排序不等式(排序原理)：f( Xi+X2) f(Xi) + f (X2)2 _ 2 2 _ 2则称f(x)为凸(或凹)函数.4、不等式证明的几种常用方法常

49、用方法有：比较法(作差，作商法)、综合 法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构 造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：i ik2k(k -i)i ik2k(k i)i2佔(k i)等.-22 -四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大 于取两边.6高次不等式的解法：穿根法分解因式， 把根标在数轴上， 从右上方依次 往下穿(奇穿偶切)，结合原式不等号的方向， 写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化,则f (x)0 = f(x) g(x) - 0g(X)(。或 时同f(x)门f(x)g(x)_

50、o0二g(x).g(x)=o理)规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解、.硕a(a gf(x)-2f(x)0g(x)_0或2g(x)：0 f(x)g(x)2f(x)_0g(x) 0f(x)订g(x)2f(x)Z0 x)K0(x)g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式， 诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当a 1时，af(x)- ag(x)二f(x) g(x)当0：a：1时,af (x)- ag(x f(x)：g(x)规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法当a 1时f(x)0loga f (x) loga

51、g(x)= g(x) . 0f (x)g(x)当0：a :：: 1时f(x)0 loga f(x) logag(x)= g(x) . 0.f (x)：g(x)规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法: 平方法：f(x) g(x)二f2(x)兰g2(x).同解变形法，其同解定理有：1xa= aExa(aX0);2x Xa= xa或xWa(aK0);f(x) Mg(x)u g(x)兰f(x)Mg(x) (g(x)2 0)f (x) _g(x)u f(x) _g(x)或f(x)_g(x) (g(x)_0)规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式

52、 的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如ax2 bx c 0且含参数的不等式 时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准 有：讨论a与0的大小；讨论厶与0的大小； 讨论两根的大小.14、恒成立问题不等式ax2bx c 0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a= 0时=b =0,c 0;、f (x) a(a 0)=f(x)一0f(x) a2而g(x)二而：g(x) U-23 -当a时=a 0A 0.不等式ax2bx c：0的解集是全体实数（或 恒成立）的条件是：1当a= 0时=b = 0, c : 0;2当a“时二.b

53、0 ） a b2 2yx,Y2+2=1（ab:0） a b第一定义到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a，即IMF+IMFzZa(2| F1F2|)第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即 =e (0 c e c1)d范围a兰x a且一b兰yEbb兰x兰b且一ay兰a顶点凡（-a,0卜A2（a,0）E1（0T卜B2（0,b）AN。,a卜理2（0,a）IM-b,0卜E2（b,0）轴长长轴的长=2a短轴的长=2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦占八、八、斤(弋0)、F2(C,0)F1（0,-c卜F2（0,C）焦距|F1F2=2C（c2=a2-b2）-2 -离心率a a

54、准线方程2aX = c2a y =c焦半径M (Xo,y)左焦半径：MFi右焦半径：MF；| = a +ex)21 = a _ exo下焦半径：MFi=a + ey）上焦半径：|MF2| =a-eyo焦点三角形面积S曲吋2=btan( =-F1MF2)通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：|HHa（焦点）弦长公式A(x1,y1),B(X2,y2)，AB = Ji + k2为x2= Ji十k2J(xix2)24x2焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形十7标准方程2 2务-占=1(a O,bO) a b2 2yx召-弋=1(a0,b0) a b第一定义到两定点 Fi疋的距离之差的绝对值等于常数 2a

55、 ,即|MFi1-MF?| = 2a（0c2a0)by =一x(p 0)( p 0ay= 一x(p A0)与- 定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨拓亦叫做抛物线（定点F不、在定直线l定X上）丄左焦：|MFi=ex0+a,”左焦：MF1=ey + a焦半径(0,(）仕右（右焦：MF2ex0 aM在上支飞在右焦：MF2ey aM (Xo,y)离心率e =左焦：|MFj| =-ex（）a1M在左支右焦:一左焦：|MFM在下支亠“ey az*，八、11 v 112| _ _人0 ci11八、|IVI12|cy a焦点轴角形面一b2co芒（。一y轴积2-2-|2丿-范围活仅x 0、汁住片冃壬舌斗x兰

56、0上命fi白白戶方m丨4革y Z 0彳b2y兰0丿、认】、1.I13?JUTkU H J JS厂1 ALLilL*- Illia2双曲线3.抛物线13 =1i =1n上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函 数f (x)在区间a b上的定积分.记作-4 -焦占八、八、F护F 3,0】1 2丿F0,上1V 2丿F0,丄I 2丿准线方程px =2px =2py一刁py飞焦半径M (xo,yo)MF =Xo+号MF=-冷+R2MF =y0+卫2MF =-y0+卫2通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH = 2p焦点弦长 公式AB=咅+ x2+ p参数p的几何意义参数p表示焦点到准线的距离

57、，p越大，开口越阔关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB为过抛物线y= 2 px ( p - 0)焦点的弦，A(Xi,yJ、B(x2, y2)，直线AB的倾斜角为二，2p2x2,yiy2=-p;4 以AB为直径的圆与准线相切;TT焦点F对A、B在准线上射影的张角为-；专题三：定积分14 ibbn人af(x)dx，即L f(x)dx = 5：(i，这an - j mn1、定积分的概念如果函数f (x)在区间a,b上连续，用分点a = x0:x-i：x4N：xn= b将I区I、可ab等分成n个小区间，在每个小区间 以口必上任取一点j(i = 1厂2,，作和式nnbLnf ()汶-f (j),，当n时,

58、里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式.说明：(1) 定积分的值是一个常数，可正、可负、 可为零；(2) 用定义求定积分的四个基本步骤：分 割；近似代替；求和；取极限.2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)如果F (x)二f (x)，且f (x)在a,b上可积,AB2psin2r-2 -则bbL f(x)dx=F(x)a=F(b)-F(a),【其中F(x)叫做f (x)的一个原函数，因为F(x) C =F(x)= f(x)】3、常用定积分公式b定积分f（x）dx表示在区间a,b上的曲线*ay =f（X）

59、与直线X =a、X = b以及x轴所围成的 平面图形（曲边梯形）的面积的代数和，即bf（x）dx = Sx轴上方一Sx轴下方.（在x轴上方的面积a取正号,在x轴下方的面积取负号）6求曲边梯形面积的方法与步骤画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线 的大致图像；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；写出定积分表达式；求出曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值 的和.7、定积分的简单应用定积分在几何中的应用：几种常见的曲边梯形面积的计算方法：（1） x 型区域：由一条曲线 y = f （x）（其中 f （x） _ 0 与直线x =a,x =b（a：b）以及 x 轴所围成的曲边梯形的面

60、积：S=f（x）dx（如图（1）;图（1）由一条曲线 y = f（x） （其中 f（x） 0与直线 x =a,x=b（a ： ： ：b） 以及x 轴所围成的曲边梯形的面积:babS= J f (x)dx=J f (x)dx (如图(2);图（2）物体沿着与F(x)相同的方向从x二a移动到-3 -3由一条曲线y = f(x)c【当aEXme时，f(x)_O= f(x)dx_O;Ja_ b当e辽x辽b时，f(x)乞0二f(x)dx O.】与直线 x =a,x=b(a : b)以及 x轴所围成的曲边eS=f (x)dxaeb= f (x)dx - f (x)dx.(如图(3);ae1恣b一0r图(3)4由两条曲线y=f(x), y=g