第四章、Z变换和离散时间系统的Z域分析

1、第八章、Z变换和离散时间系统的Z域分析 本章要点本章要点 Z Z变换的基本概念和基本性质变换的基本概念和基本性质 利用利用Z Z变换解差分方程变换解差分方程 离散系统的系统函数离散系统的系统函数 离散系统的频率响应离散系统的频率响应 数字滤波器数字滤波器18.18.1 Z Z变换的定义变换的定义由拉氏变由拉氏变换引出换引出Z Z变换变换 有抽样信号有抽样信号 单边拉氏变换单边拉氏变换0)()()(nsnTtnTxtxsnTnstnstnsenTxdtenTtnTxdtenTtnTxsX 00000)()()()()()(2 令 , 其中 z 为一个复变量 则 广义上讲T=1sTez 0)()(

2、nnznTxzX0)()(nnznxzX单边Z变换38.28.2 Z Z变换的收敛域变换的收敛域20)2() 1 ()0()()(zxzxxznxzXnn收敛域：当收敛域：当 为有界时，令上述级数收敛的为有界时，令上述级数收敛的 的的所有可取的值的集合称为收敛域所有可取的值的集合称为收敛域1）比值判别法2) 根值判别法)(nxznnnaa1lim111nnnalim4例：)()(nuanxn010)()(nnnnnazzazX11limazaannnzazaza11limazaznnn5几类序列的收敛域（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的

3、序列2121)()(nnnznxzXnnnn收敛域为除了收敛域为除了0和和 的整个的整个 平面平面zRezImzj)(nx6（1）右边序列：只在）右边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列区间内，有非零的有限值的序列1nn )(nxnnznxzXnnn11)()(11)(lim1)(limxxnnnnnRzzRnxznx收敛半径圆外为收敛域1xRRezImzj7（1）左边序列：只在）左边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列区间内，有非零的有限值的序列2nn )(nx22)()(nnznxzXnnn22)()()(nnnmnnmmnmznxzmxzX2)(lim1)(lim1)(lim1x

4、nnnnnnnRnxzznxznx收敛半径圆内为收敛域，若 则不包括z=0点02n2xRImzjRez8（1）双边序列：只在）双边序列：只在 区间内，区间内， 有非零的有限值的序列有非零的有限值的序列n)(nxnznxzXnn)()(01)()()(nnnnznxznxzX圆内收敛圆外收敛12xxRR12xxRR有环状收敛域没有收敛域12xxRRImzjRez9例：)(31)() 1 (nunxn右边序列31311131)(101zzzzzXnn311xR31 z311xR31ImzjRez10例：) 1(31)()2(nunxn左边序列313111)3(13131)(101111zzzzzz

5、zXmmmmnmnn001311)3(lim22znRzzxnnn收敛半径圆内为收敛域，若 则不包括z=0点02n2xR31ImzjRez11例：)8()(31)()3(nununxn有限长序列)()(11)(31)(31783181318131801zzzzzzzXnn收敛域为除了收敛域为除了 0 和和 的整个的整个 平面平面zRezImzj3131283180)(82zzezezKjkj8个零点7阶极点一阶极点12例：nnx31)()4(双边序列)(3(31133131)(3138101zzzzzzzzzXnnnnnImzj331 zRez138.3 典型序列的Z变换 单位样值序列单位样值

6、序列 单位阶跃序列单位阶跃序列 斜变序列斜变序列 指数序列指数序列 正弦余弦序列正弦余弦序列14)0(1)()() 1 (0zznnZTnn)0,0() ,00()()()()2()(0zmzmzzrzmnmnZTmmrmrnn)0 (0) 1() 1()1() 3 (101zzzznznnZTnnnn15) 1(111)()(10zzzzznunuZTnn2021) 1()1 (1)()(zzzznnunnuZTnn)(11)(10azazzazzanuaZTnnnn) 1(z161cos2)cos(2/)(2/)(cos020000000000zzzzezzezzeeZTnZTezzeZT

7、ezzeZTjjnjnjjnjjnj余弦序列的 Z 变换:17正弦序列的 Z 变换:1cos2sin2/)(2/)(sin020000000000zzzlezzezzjeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjjnjjnj18)(cos2)cos(2/)(2/)(cos2020000000000zzzzzezzezzeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjnnjnjnjnjn例198.4 Z变换的逆变换（1）留数法）留数法（2）幂级数展开法（略）幂级数展开法（略）（3）部分分式法）部分分式法20（1）留数法）留数法 假设有一固定的围线假设有一固定的围线C，它包围原点，沿它包围

8、原点，沿围线逆时针转一圈，围线逆时针转一圈， 两边乘以两边乘以 ，然后沿着围线积分，得到：然后沿着围线积分，得到：0)()(nnznxzXCCnnCmnnmmdzznxdzznxzdzzXz00111)()()()(zX1mz21 由复变函数中的柯西定理由复变函数中的柯西定理 只有右边的只有右边的 即即 一项，一项， 于是于是 逆变换逆变换00021kkjdzzCk11mnmn CnCndzzzXjnxnjxdzzzX11)(21)()(2)(22nzznCnmzzXsdzzzXjnx)(Re)(21)(11用留数求围线积分mmzznmzznzzXzzzzXs)()()(Re11一阶极点：S

9、阶极点：mzzsmnsszzzzXdzds)()()!1(111123例?)() 1()5 . 0)(1(12)(23nxzzzZzzzX)(1nxz解必然是因果序列，右边序列mmzznnzznzzzzzzszzXsnx1231)5 .0)(1(12Re)(Re)(0, 5 . 0, 1, 10, 5 . 0, 1, 05 . 0, 1, 23214, 32121zzznzzznzzn24nznznzzzzzzzznxn) 5 . 0 (1381125 . 012)(2) 1 (5 . 0232123211386) 5 . 0 (138) 5 . 0)(1(12)(0) 2(00223zzzz

10、zznxn5 . 3) 5 . 0 (1382) 5 . 0 (138) 5 . 0)(1(12)(1) 3 (1023zzzzzznxn25（2）部分分式法）部分分式法kkkkrrrrzazazaazbzbzbbzX11101110)(000abArkkmmmpzzAAzX10)(00ArkkmmmzpAzX111)(kmmmpzAzzX1)(Am 是 在Pm 处的留数zzX)(只有一阶极点26mmpzmpzmpzzzXzzXsA)()()(Re)()()(01nAnupAnxnmkmm)(Rz )(Rz )() 1()(01nAnupAnxnmkmm27含有M个一阶S个高阶极点SjjjMm

11、mmzzBpzzAAzX110)(jzsjjsjsjzzXzdzdjsB)()()!(1SjjjjjMmmmzzCpzzAAzX110)()(部分分式为另一种形式jzSjjzXzzC)(28例双边序列?)()231(235)(2nxzzzzzX231)(zzzzzX简单的可用公式或查下册第简单的可用公式或查下册第75页的表页的表8-2，8-3，8-4：左边序列右边序列) 1(2)()()(31nununxnn298.5 Z Z变换的基本性质变换的基本性质 线性和位移性 序列线性加权（ Z 域微分） 序列指数加权（ Z 域尺度变换） 初值定理和终值定理 时域卷积和 Z 域卷积定理 帕斯瓦尔定理3

12、0Z Z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理如果则有：yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ, )()(, )()(*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.1.线性线性),min(),max(),()()()(yxyxRRzRRzbYzaXnbynaxZ31例已知 ,求其z变换。)()cos()(0nunnx1,111121)()cos(1,11)(1,11)(,11)()(21)()cos(11011100000000000zzezenunZezzenueZezzenueZazaznuaZnueenunjjjjnjjjnjnnjnj因此，解：322. 2. 序列的移位序列的

13、移位xxmRzRzXzmnxZ;)()(如果则有：xxRzRzXnxZ, )()(例2-8 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。1,111)(1,11)3(1,1)(22223zzzzzzzznxZzzzzzznuZzzznuZ333. 3. Z Z域尺度变换域尺度变换( (乘以指数序列乘以指数序列) )xxnRazRaazXnxaZ;)()(xxRzRzXnxZ, )()(如果，则证明：xxxxnnnnnnRazRaRazRazXaznxznxanxaZ即;)()()()(344. 4. 序列的序列的线性加权线性加权( (Z Z域求导数域求导数) )如果xxRzRzXnxZ, )

14、()(，则xxRzRzXdzdznnxZ, )()(证明：dzzdXznnxZznnxzznnxzdzdnxznxdzddzzdXznxzXnnnnnnnnnn)()()()()()()()(,)()(11即，对其两端求导得355. 5. 共轭序列共轭序列的共轭序列。为其中，)()(;)()(*nxnxRzRzXnxZxx如果xxRzRzXnxZ, )()(，则证明：;)()()()()(*xxnnnnnnRzRzXznxznxznxnxZ，366. 翻褶序列xxRzRzXnxZ11;)1()(如果xxRzRzXnxZ, )()(，则证明：xxxxnnnnnnRzRRzRzXznxznxznx

15、nxZ11)1()()()()(11即，37。，则对于因果序列)(lim)0()(zXxnxz7. 7. 初值初值定理定理证明：) 0 ()(lim,) 2 () 1 () 0 ()()()()(210 xzXzxzxxznxznunxzXznnnn显然388. 终值定理11)(Re)()1(lim)(lim1)()()(zznzXszXznxznxZzXnx阶极点，则有处有一单位圆上在单位圆内，且只允许的极点，且对于因果序列证明：（接下页）得：为因果序列这一特性可利用nmmnnnnnzmxmxznxnxzXznxznxnxzXznxnxZ11)()1(lim)()1()()1()()()1(

16、)()1()()1(39 又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z 1的极限。 z1)(lim)() 1(lim)(lim)1(lim)() 1()0 () 1 ( 0) 0 (lim1 )() 1(lim)() 1(lim111nxzXznxnxnxnxxxxmxmxzXznznnnnmmnz409. 9. 有限项累加特性有限项累加特性nmxxRzzXzzmxZRznxZzXnx0 1 ,max),(1)(,),()()(则，且对于因果序列证明：，交换求和次序，得的取值范围分别为可知，令, 0,)()()(),(

17、)(0000 nmmnmnzmxmxZnyZmxnynnmnnmnm41例已知 ,求其z变换。)()cos()(0nunnx1,111121)()cos(1,11)(1,11)(,11)()(21)()cos(11011100000000000zzezenunZezzenueZezzenueZazaznuaZnueenunjjjjnjjjnjnnjnj因此，解：4210.10.序列的卷积和序列的卷积和( (时域卷积定理时域卷积定理) ) ,min,max)()()()(,)()(,)()()()()()()(hxhxnnxxmRRzRRzHzXnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXmnhm

18、xnhnxny则有：，而且如果43证明：,min,max),()()()()( )()( )()()()()()()(hxhxmmlmlmnnmnnmnnRRzRRzHzXzHzmxzzlhmxzmnhmxzmnhmxznhnxnhnxZ4411.11.序列相乘序列相乘( (Z Z域卷积定理域卷积定理) )其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。 （证明从略）nxnxccnnxxRRzRRdvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXnhnxny;)()(21)()(21)()(),()(;),()(),()()

19、(11则有：，且如果45 12.12.帕塞瓦定理帕塞瓦定理( (parsevalparseval) )其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）dHxjnhnxcn1*)1()(21)()(.1;,)()(;,)()(nxnxhhxxRRRRRzRnhZzHRzRnxZzX且如果则有:468.6 Z Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系（一）从（一）从 S 平面到平面到 Z 平面的映射平面的映射（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换 的关系的关系（三）连续信号的拉氏变换与（三）连续信号的拉氏变换与Z变换的关变换的关 系系47（一）从（

20、一）从 S 平面到平面到 Z 平面的映射平面的映射TjTjTTjsTezeeezjsez)(4810) 1 (Tezjs10) 2 (zjs10)3(z0)4( constent0)5( constent111 Rz1 rzRrRezImzj49s0)6(0)7( constent21)8(012RezImzjT)9(Tk20)10(多圈50jSRezImzj12312121j2j3j4j5j2TT322TT235413123452e1e2e1eZ51（二）连续信号与抽样信号的拉（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系氏变换的关系nTsnTtnTxttxtx)()()()()(sTnsnTTe

21、etLT11)(0dpepXjtxtLTsXjjTpsTs)(11)(21)()()(52ippiTpssepXssX)(1)(Re)(iiippApX)(iiiippiTpsippiiTpsiiseAppeppAsX)()(1)(11)(Tkjspk2kjTpsTpseee2)()(101or53（三）连续信号的拉氏变换与其（三）连续信号的拉氏变换与其Z变换的关系变换的关系 抽样信号的拉氏变换与抽样信号的拉氏变换与 Z 变换的关系变换的关系 连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系)()(sXzXsezsT)(1)(Re1)(Re)(1)(zXezpXsepXss

22、XiippipTppiTpss54 连续信号的拉氏变换与连续信号的拉氏变换与 Z 变换的关系变换的关系若若 只含一阶极点只含一阶极点则则iiippApX)()(pXiTpiiezAzX11)(558.7 用单边用单边Z变换解差分方程变换解差分方程解差分方程的方法：解差分方程的方法：（1）时域经典法）时域经典法（2）卷积和解法）卷积和解法（3）Z变换解法变换解法56（一）复习（一）复习Z变换的位移特性变换的位移特性若若x(n)分别分别是双边序列、双边左移序列、是双边序列、双边左移序列、双边右移序列时，它们的双边和单边双边右移序列时，它们的双边和单边Z变变换是不同的：换是不同的：（1）双边序列的双

23、边）双边序列的双边Z变换变换(p79-p83)()()()()()()(zXzmnxZTzXzmnxZTznxzXnxZTmmnn57（2）双边左移序列的单边）双边左移序列的单边Z变换变换nnznunxzX0)()()(100100)(0)()()()()()()()()(mkkmkmkkkmmkkmnmnmnnzkxzXzzkxzkxzzkxzzmnxzzmnxnumnxZT58（3）双边右移序列的单边）双边右移序列的单边Z变换变换nnznunxzX0)()()(1010)(0)()()()()()()()()(mkkmkmkkkmmkkmnmnmnnzkxzXzzkxzkxzzkxzzmn

24、xzzmnxnumnxZT因果序列是右移序列59（4）对于因果序列）对于因果序列x(n)()()(zXznumnxZTm0)(1mkkzkx10)()()()(mkkmzkxzXznumnxZT60（二）用单边二）用单边Z变换解差分方程的变换解差分方程的步骤和思路步骤和思路 x(n-r),y(n-k)均为右移序列均为右移序列 两边取单边两边取单边Z变换变换)()(00rnxbknyaMrrNkkMrrmmrrNkkllkkzmxzXzbzlyzYza0101)()()()(初始状态若因果信号此项为零61例：?)(2) 1()()()() 1()(nyynuanxnxnbynynbzbzbzbz

25、azazbabzbyzXzYbyzXzYbzzXzyzYbzzY211) 1()()() 1()()(1 )()1()()(111)(2)(1)()(1111nubbabazYZTnynnn完全解里面已含有初始条件62例：?)(6)2(4) 1()(10)2(02. 0) 1(1 . 0)(nyyynunynyny110)1() 2()(02. 0)1()(1 . 0)(221zzzyyzzYzzyzYzzY28. 008. 0110)()02. 01 . 01 (121zzzzYzz1111 . 012 . 002. 0166. 0126. 9)(zzzzY)() 1 . 0( 2 . 0)

26、 2 . 0(66. 026. 9 )(nunynn完全解638.8 离散系统的系统函数离散系统的系统函数一、定义：一、定义：（1）系统零状态响应的）系统零状态响应的Z变换与输入的变换与输入的Z变换之比变换之比（2）系统单位样值响应）系统单位样值响应h(n)的的Z变换变换NkkMrrzpzzGzXzYzH1111)1 ()1 ()()()(0)()(nnznhzH64（1）定义一：系统零状态响应的）定义一：系统零状态响应的Z变换与输入的变换与输入的Z变换之比变换之比 若若x(n)是因果序列是因果序列, 则在系统零状态下：则在系统零状态下：)()(00rnxbknyaMrrNkkNkkkMrrr

27、MrrrNkkkzazbzXzYzHzbzXzazY0000)()()()()(请注意这里与解差分有何不同？因果！零状态65（2）定义二：系统单位样值响应）定义二：系统单位样值响应h(n)的的Z变换变换 激励与单位样值响应的卷积为系统零状激励与单位样值响应的卷积为系统零状态响应态响应 由卷积定理由卷积定理)(*)()(nhnxny)()()(zHzXzY)()()(zXzYzH0)()(nnznhzH66二、对系统特性的影响二、对系统特性的影响 由极点分布决定系统单位样值响应由极点分布决定系统单位样值响应 由极点分布决定系统稳定性由极点分布决定系统稳定性 由零极点分布决定系统决定系统频率特由零

28、极点分布决定系统决定系统频率特性（性（8.9)67（1）由极点分布决定系统单位样）由极点分布决定系统单位样值响应值响应)()()()1 ()1 ()()(10101111111nupAnApzzAAFTzpzzGFTzHFTnhnNkkkNkkkNkkMrr一般 为复数它在 平面的分布位置决定了系统 特性kpZ)(nh68极点分布对极点分布对h(n)的影响的影响RezImzj113p69（2）由极点分布决定系统稳定性）由极点分布决定系统稳定性 系统稳定的充要条件是单位样值响应绝系统稳定的充要条件是单位样值响应绝对可和。即：对可和。即： 因果稳定因果稳定系统的充要条件为系统的充要条件为 ：h(n

29、)是单是单边的而且是有界的。即：边的而且是有界的。即：因果因果稳定稳定nnh)(nnhnunhnh)()()()(非因果也可以稳定70)(nx)(nhkknxkhnhnxny)()()(*)()( Mnx)(kkkhMknxkhny)()()()(kkh)(离散系统稳定的充是要条件为离散系统稳定的充是要条件为h(n)绝对可和绝对可和7100)()()(1nnnnhznhzHzfor对稳定的因果系统收敛域为：对稳定的因果系统收敛域为：1z全部极点位于单位圆内全部极点位于单位圆内对于非因果系统，收敛域并不是在圆外区域，极点不限于单对于非因果系统，收敛域并不是在圆外区域，极点不限于单位圆内位圆内。7

30、2例：已知因果系统的系统函数如下：例：已知因果系统的系统函数如下：试说明该系统是否稳定？试说明该系统是否稳定？解：解：21111)(zzzzH)() 1()(23212321jzjzzzzH12, 12321223211pjpjp临界稳定73例：已知系统函数如下，试说明分别在（例：已知系统函数如下，试说明分别在（1）（2）两种情况下系统的稳定性：）两种情况下系统的稳定性： （1） （2）解：（解：（1） 因果系统，右边序因果系统，右边序列列 z10105 . 0 z z10)10)(5 . 0(5 . 9)(zzzzH10105 . 05 . 0)(zzzH)()10()5 . 0()(11n

31、unhnn1105 . 0221zzz因果系统但极点在单位圆外，不稳定发散74（2） 非因果系统，非因果系统， 右序右序 左序左序 有界有界所以，该所以，该非非因果系统，但是，是因果系统，但是，是稳定稳定的的) 1()10()()5 . 0()(11nununhnn105 . 0 z10758.8 离散系统的频率响应离散系统的频率响应一、什么是离散系统的频率响应？一、什么是离散系统的频率响应？定义一：单位样值响应的傅定义一：单位样值响应的傅立叶变换立叶变换定义二：离散系统在正弦序定义二：离散系统在正弦序 列作用下的稳态响应列作用下的稳态响应二、系统的频率响应的几何确定二、系统的频率响应的几何确

32、定76定义一：序列的傅立叶变换定义一：序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换：序列的傅立叶变换：由由S_Z的映射来看，当的映射来看，当 ，则，则 ，于是相当于自变量沿着于是相当于自变量沿着z=1单位圆周变化，单位圆周变化，则：则：0js jTTjsTeeez1)()()()(jnnjnneXenxznxzXnnjjenxeX)()(序列的傅立叶正变换077序列的傅立叶反变换序列的傅立叶反变换deeXnxedeeeXjdzzzXjnxjnjjzjjnjzn)(21)()()(21)(21)(111序列的傅立叶逆变换78连续信号和离散序列的傅立叶变换的连续信号和离散序列的傅立叶变换的比较比较 连续连续

33、离散离散dtetxjXtj)()(dejXtxtj)(21)(nnjjenxeX)()(deeXnxnjj)(21)(79定义一：系统频率响应即系统单位样定义一：系统频率响应即系统单位样值函数的傅立叶变换值函数的傅立叶变换 当当h(n)已知时，下列表达式表示系统频已知时，下列表达式表示系统频率响应函数，率响应函数， 是以是以 h(n) 为加权系数，对各次谐为加权系数，对各次谐波进行加权或改变的情况（物理意义）。波进行加权或改变的情况（物理意义）。nnjjenheH)()()(jeH)(n)(nh)()()(*)(nhnrnhn80 系统的激励是系统的激励是 时，它的频谱覆盖了时，它的频谱覆盖了

34、 的的 范围范围 于是系统的单位样值响应于是系统的单位样值响应 可以看可以看成对各次的谐波的滤波的总的效果成对各次的谐波的滤波的总的效果 )(n)(nh)()(nnx)(jeX1n)(nh)(jeH)()(jjeHeY反映了系统对整个频带的滤波作用81定义二：正弦序列及其作用下系统的定义二：正弦序列及其作用下系统的稳态响应的傅立叶变换之比稳态响应的傅立叶变换之比)(sin)(1nAnx)(nh)(sin)(2nBnyss)(sin)(1nAnx)(sin)(2nBnyss1282)()()()()()(12)()()(12ABeHeABeeHeHjjjjj)()()(jjjeXeYeHje因为

35、因为 是周期的，所以是周期的，所以 也是周期的，也是周期的，其周期为重复频率其周期为重复频率 。)(jeHTs283定义二的物理意义把把 看成无数个窄带滤波器，每个滤看成无数个窄带滤波器，每个滤波器的幅频特性是波器的幅频特性是 ，且对信号有，且对信号有相移作用相移作用 。)(jeH)(jeH)()()(12840s2sLPBPHPBSAP85二、系统的频率响应的几何确定二、系统的频率响应的几何确定)(1111)()()()()()(jjNkkjMrrjNkkMrreeHpezepzzzzHkrjkkjjrrjeBpeeAzeNkkMrrjBAeH11)(NkkMrr11)(86系统的频率响应的

36、几何确定法系统的频率响应的几何确定法RezImzj1p2pje1z2z1122NkkMrrjBAeH11)(NkkMrr11)()()()(jjeeHzH87由几何法可以看出：由几何法可以看出：（1）z=0处的零极点对幅频特性处的零极点对幅频特性 没有没有影响，只对相位有影响影响，只对相位有影响（2）当）当 旋转某个极点旋转某个极点 附近时，附近时，例如在同一半径上时，例如在同一半径上时， 较短，则较短，则 在该点应当出现一个峰值，在该点应当出现一个峰值， 越短，越短， 附近越尖锐。若附近越尖锐。若 落在单位圆上，则落在单位圆上，则 ，则，则 处的峰值趋于无穷大。处的峰值趋于无穷大。（3）对于

37、零点则其作用与极点的作用正好）对于零点则其作用与极点的作用正好相反相反。jez ipiBiB)(jeH)(jeHipip0iBip881pje低通1p1zje高通)(jeH)(jeH00891p2p带通)(jeH01p2p1zjeje)(jeH0带阻901p2prrr1r11z2z)(jeH全通T2T20)(jeHjeje靠近单位圆周的极点附近有尖峰91例：（8-34）)(nx1z1z1z)cos(2N1)cos(22N)(ny?)()4(?)3(?)()2(?)() 1 (jrkeHzpzHnh解)2() 1()cos(2) 1()cos()()(22nynynxnxnyNN92)()cos

38、()cos(21)cos()cos(21)cos(1)(222212221212NNjjNNNNNezezzzzzzzzzzzH)(cos)(2nunhNnNNjjNepepzz2221221)cos(01z2zRezImzj)(jeH02N2IIRDF93例:(8-23)因果系统的系统函数如下,试说明这些系统是否稳定?因果系统的极点必须在单位圆内3282)() 1 (2zzzsH解)34)(12(2)(zzzsH432121pp极点在单位圆内, 系统稳定。432121ppRezjImz1942121252)1 (8)()2(zzzzsH解)2)(12() 1(8)(2zzzzsH22121p

39、p有一个极点在单位圆外，所以系统不稳定。jImz21212ppRez19521111)()3(zzzsH解)231)(231()1(1)1()(2jzjzzzzzzzsH2312, 1jp有一对共轭极点在单位圆上，所以系统临界稳定。jImzRez1p2p196例：（8-29）求如下一阶离散系统的暂态和稳态响应) 1()()(naynxnyjnenxnunx)()2()()() 1 (解)(1)1(111)(azzaazzazzazzzY1)() 1 ()()()1)(1zzzXazzzHzXazzY已知：)(11)(1)(nuanuaaanyn暂态解稳态解97jnenx)()2(jezzzX)

40、(jjjjezeazazeaezzazzzY1)()()()()()(nueeaenuaeaanynjjjnj暂态解稳态解98例：（8-31）已知系统函数如下：kzzzH)(求：（1）写出对应的差分方程； （2）画出系统结构图 （3）求系统的频率响应，并画出k=0, 0.5 , 1 三种 情况下系统的幅度响应和相位响应解)() 1()(nxnkyny)(11)()()()(1zXkzzXkzzzXzHzY)(nx1z)(nyk991)(1)(0) 1 (jeHzHk5 . 0)(5 . 0)2(jjjeeeHk1)(1)3(jjjeeeHkHHH)()(1008.10 数字滤波器的基本原理和构成数字滤波器的基本原理和构成)()()(jjjeHeXeY)(jeX)(jeH)(jX)(1)(kssjkXTeXksjskXeHGTY)()()(1)(周期频谱连续频谱非周期连续频谱周期频率特性滤波结果加矩形窗101)(X)(jeX)(jeHsmmcc)(G1ksjskXeHGTY)()()(1)()(jeYmmmm102数字滤波器的构成数字滤波器的构成 一般差分方程一般差分方程 系统函数系统函数)()(00rnxbknyaMrrNkkNkkkMrrr