定义证明二重极限

1、定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(xO,yO)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝 对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种： 定义 1设函数在点的某一邻域内有定义 (点可以除外 )，如果对于任意给定的正数。，总存 在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X, y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点 儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a,使得对

2、D内适合不等式0<户几卜8的一切点P,有不等式V(P)一周 <。成立，则称A 为函数人P)当PP。时的极限.定义3设函数X 一人工，”的定义域为D,点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8,使得对于适合不等式的一切点P(X,ED都有成立，则称 A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数 的前提假设不尽相同定义1要求人X,在点P入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而 定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X, y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P) 一 A卜利用极限存在准则证明：(1) 当x趋近

3、于正无穷时，(Inx/xA2)的极限为0;(2) 证明数列Xn,其中 a>0, Xo>0,Xn=(Xn-1)+(a/Xn-1)/2,n=1,2,收敛，并求其极限。1) 用夹逼准则 :x 大于 1 时,Inx>0,xA2>0,故 Inx/xA2>0且 Inx1),lnx/xA2v(x-1)/xA2. 而(x-1)/xA2 极限为 0故(Inx/xA2)的极限为02) 用单调有界数列收敛 :分三种情况,x0= Va时，显然极限为Vax0>Va 时,Xn-X(n-1)=-(Xn-1)+(a/Xn-1)/2<0,单调递减且 Xn=(Xn-1)+(a/Xn-1)

4、/2> Va, Va 为数列下界 , 则极限存在 .设数列极限为 A,Xn 和 X(n-1) 极限都为 A.对原始两边求极限得 A=A+(a/A)/2. 解得 A=Va同理可求x0<Va时，极限亦为Va综上,数列极限存在,且为"（ 一） 时函数的极限：以 时 和 为例引入. 介绍符号 : 的意义 , 的直观意义 .定义 （ 和 . ）几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数 . 然后用这些邻域语言介绍几何意义例1验证例2验证例3验证证（ 二） 时函数的极限：由 考虑 时的极限引入 . 定义函数极限的“ ”定义 .几何意义 . 用定义验证函数极限的基本思路 .例4 验证 例

5、5 验证 例 6验证 证 由 =为使 需有 为使 需有 于是 , 倘限制 , 就有例 7 验证 例 8 验证 （ 类似有 （ 三） 单侧极限 :1. 定义：单侧极限的定义及记法 .几何意义 : 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义 .例 9 验证 证 考虑使 的 2. 单侧极限与双侧极限的关系 :Th 类似有 : 例 10证明: 极限 不存在.例11 设函数 在点 的某邻域内单调 . 若 存在, 则有= §2 函数极限的性质 （3 学时 ） 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运 算性等。教学重点：函数极限的性

6、质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限 : , . 以下以极限 为例讨论性质 . 均给出证明或简证 . 二、讲授新课：（ 一） 函数极限的性质 : 以下性质均以定理形式给出 .1. 唯一性 :2. 局部有界性 :3. 局部保号性 :4. 单调性 （ 不等式性质 ）:Th 4 若 和 都存在 , 且存在点 的空心邻域 , 使 ， 都有 证 设 = （ 现证对 有 ） 註:若在 Th 4 的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明.5. 迫敛性 :6. 四则运算性质 :（ 只证“ +”和“ ”）（ 二 ） 利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）这些极限可作为公式用 . 在计算一些简单极限时 , 有五组基本极限作为公式用 , 我们 将陆续证明这些公式 .利用极限性质，特别是运算性质求极限