定积分笔记共10

1、第三节定积分第2页一、定积分的定义设函数.汉在一一上有界，在'-中任意插入若干个分点盘=% < xL < Xj < - * <=3把区间”二分成咛个小区间，各小区间的长度依次为：.-J：，：】亠.，在各小区间上任取一点J丄-），作乘积-' -.'并作为 L，记- '- ' -1-，如果不论对"怎样的分法，也不论在小区间-上点 匚怎样的取法，只要当m时，和雷总趋于确定的极限我们称这个极限匚为函数E在区为：二、定积性质1:上的定积记-彼和表広式OinlA -311A -二/分的性质/（X）土畧（和必二必±£

2、;（芹）必性质2：iQ *（二为常数）性质3：假设俣3為，如）加J丁必+ J：/E必 性质4：性质 5：在区间 -上L，则L' 1性质6：设養及喇分别是函数-I在区间"-一上的最大值及最小值，则性质7（定积分中值定理）如果函数二在闭区间-上连续，贝y在积分区间宀二上至少存在一个点】，使积分中值公式的几何解释：在区间-.上至少存在一个点：，使得以区间一一为底边，以曲线 门为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积。三、微积分的基本公式i原函数存在定理：如果-'在"二上连续，则变上限积分的函数在二可导，还是八在宀二上的一个原函数。2.微积分基本公式

3、（牛顿一莱布尼茨公式）如果是连续函数八二在区间上的一个原函数，则场o微积分基本公式表明：一个连续函数在区间- 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间L二上的增量。求定积分问题转化为求原函数的问题。第四节定积分的积分方法与无穷区间上的广义积分一、定积分的积分方法1、定积分的换元积分法4 dx求01解一dx1 、：x2tdt1 t1(1厂灿2(tIn 1t)2JX In 1、.x|于是4 dx01；x2.X ln(12ln3解二设-x t，即 x t2(t0)当x 0时，t0；当时，t 24_dx_22tdt0 1 二 02于是 01.x 01 t 2 °(12(t ln|1 t) 22

4、(2In 3)般地，定积分换元法可叙述如下，设f(x)在a,b上连续,而X(x)满足下列条件:(1) x (x)在，上有连续导数;(2)( ) a, ( ) b,且当t在,上变化时,x(t)的值在a,b上变化，则有换元公式:1dx设ex 1x ln(t2 t，即1),dxFdt换积分限：当x 0时，t 0,当x ln2时，t 1,于是例3设 x asect，贝y dx asect tantdt .换积分限:当 x a 时，t 0； x 2a 时,7t于是2ax axdx3 ata nt044 asecttantdta sec t冗乜I2丄/ 2 sin t costdt0 a2第5页dxsin

5、 x解一(换元法)xtan- ,sin x22t12dt1t2，所以,当x 0时,x0 ；当n2时,I于是1-2dt01 2t t21 dt解二(凑微分法)注意:求定积分一定要注意定积分的存在性2、定积分的分部积分法设u(x),v(x)在a,b上有连续导数，则有budv uvabvdua a,b该公式称为定积分分部积分公式，使用该公式时要注意，把先积出来得那一部分代 上下限求值，余下的部分继续积分.这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便 一些n2 x2 cosxdx例5 求0nx2 cosxdxo2 x2d(s in x)2 x sinx20o22xsinxdxIn x dx1In x dx

6、 1eInxdx 1In x dx1.因为e1时，Inx 0,这时In x In x ；x> 1 时，Inx > 0,这时 InxInx.于是In x dx111n xdxeeIn xdx1分别用分部积分求右端两个积分得In xdx 2 - e二、无穷区间上的广义积分设函数f (x)在区间a ,)上连续，取b >a,如果极限imbafE存在,则称此极限为函数f (x)在无穷区间a,)上的广义积分，记作f (x)dxa即 a f(x)dxlim=bbf (x)dx a这时也称广义积分a f(x)dx收敛如果上述极限不存在，此时称广义积分f (x)dxa发散。例题1计算广义积分:

7、1 解dx=arc tan第五节 定积分的应用x|第7页微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求 的量表示为定积分的形式 .可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量 U (总量 )表示为定积分的方法 微元法 ，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元 根据具体问题， 选取一个积分变量， 例如 x 为积分变量， 并确定它的变化区间a,b，任取a,b的一个区间微元x,x dx，求出相应于这个区 间微元上部分量U的近似值，即求出所求总量 U的微元(2)由微元写出积分根据dU f(x)dx写出表示总量U的定积分二、平面区域的面积1、直角坐标的情形由曲线y f(x

8、)(f(x)0)及直线 x a与x b ( a b )与x轴所围成 的曲边梯形面积 A。bA f(x)dx 其中： f(x)dx 为面积元素。a由曲线 y f(x) 与 y g(x) 及直线 x a， x b( a b ) 且f (x) g(x)所围成的图形面积 A。其中： f (x) g(x)dx 为面积元素。例1计算抛物线y选择积分变量并定区间旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定 直线称为旋转轴 2x与直线y x 4所围成的图形面积。解：1、先画所围的图形简图2解方程 y 2x , 得交点： (2, 2) 和 (8,4) 。y x 4选取x为积分变量，则0x

9、8dA . 2x ( 一 2x)dx2 2xdxdA . 2x (x 4)dx(4. 2x x)dx3. 给出面积元素在0 x 2 上,在2 x 8 上,4. 列定积分表达式另解：若选取y为积分变量，则2 y 4显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。2、极坐标情形设平面图形是由曲线r ()及射线 ，所围成的曲边扇形。取极角为积分变量，则，在平面图形中任意截取一典型的面积元素它是极角变化区间为,d 的窄曲边扇形。A的面积可近似地用半径为r，中心角为d的窄圆边扇形的面积来代替,而得到了曲边梯形的面积微元为dA丄r( )2d2从而面积为例2计算心脏线r a(1 cos ) (a

10、0)所围成的图形面积。解：由于心脏线关于极轴对称，三、求体积1、旋转体的体积计算由曲线y f(x)直线x a , x b及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转 一周而生成的立体的体积。取x为积分变量，则x a,b，对于区间a,b上的任一区间x,x dx，它所对应的窄 曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以f(x)为底半径，dx为高的圆柱体体积。即：体积微元为所求的旋转体的体积为例3求由曲线y - x及直线x 0，x h(h 0)和x轴所围成的三角形绕x轴旋转而h生成的立体的体积。解：取x为积分变量，则x 0, h2、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法)由旋转体体积的计算过程可

11、以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。取定轴为x轴，且设该立体在过点x a， x b且垂直于x轴的两个平面之内，以A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积。取x为积分变量，它的变化区间为a,b。立体中相应于a,b上任一小区间x,x dx的一薄片的体积近似于底面积为A(x)，高为dx的扁圆柱体的体积。即：体积微元为dV A(x)dxb于是，该立体的体积为V A(x)dxa2 2例4计算椭圆笃占1所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积。a b解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆y b a2 x2及x轴所围成的图形绕x轴旋转a所生成的立体。在x处(

12、a x a)，用垂直于X轴的平面去截立体所得截面积为四、平面曲线的弧长 1直角坐标情形设函数f(x)在区间a,b上具有一阶连续的导数，计算曲线y f(x)的长度S。取x为积分变量，则x a, b,在a,b上任取一小区间x,x dx，那么这一小区间所 对应的曲线弧段的长度s可以用它的弧微分ds来近似。于是，弧长元素为弧长为3例5计算曲线y x2(a x b)的弧长。3解：ds 1(、x)2dx , 1 xdx2、参数方程的情形 若曲线由参数方程给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成的形式，从而有例6计算半径为r的圆周长度。解：圆的参数方程为 极坐标情形若曲线由极坐标方程给出，要导出它的弧长计算

13、公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数 方程下的弧长计算公式即可。曲线的参数方程为此时 变成了参数，且弧长元素为 从而有例7 计算心脏线r a(1 cos ) (02 )的弧长。解：ds . a2(1 cos )2( a sin )2d五、变力作功例8半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为1 ，现将这球从水中取出，需作多少功？解：建立如图所示的坐标系将高为r的球缺取出水面，所需的力F(x)为：F(X)G F浮43其中：G1 g是球的重力，F浮表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分3球缺所受的浮力。由球缺公式Vx2(r -)有3从而 F(x) x2(r -)g ( x 0, 2r)。3从水中将球取出所作