完全平方公式的几何背景专题训练试题精选附答案

1、完全平方公式的几何背景专题训练试题精选一. 选择题（共6小题）1-（2010丹东）图是一个边长为（肝“的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（3.如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）)D (m+n) (m - n) =m22=4mnA. (m+n) 2 - (m- n) B. (m+n)2- (m2+n2)=2mnC. ( m2+2mn=m2+n22.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如，根据图甲，我们可以得 到两数和的平方公式：（a+b） 2=a2+2ab+b2你根据图乙能得到的数学公式是（）图A. (a+b) (ab)二 a2B (a - b

2、) 2=a2 -C. a (a+b) =a2+abD. a (a - b) =a2- ab2ab+b2soA. a2 - b2= (a+b) (aB (a+b) 2=a2+2ab+b2C.( a - b ) 2=a2 - D a (a+b) =a2+ab-b)2ab+b24.如图(1),是一个长为2a宽为2b (a>b)的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪 开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图(2)拼成一个新的正方形，则中间空白部 分的面积是( )图A. abB. (a+b)C. (a - b)D. a2-b25.如图的图形面积由以下哪个公式表示()A. a2 一 b"二a (

3、a-b)B(a - b ) 2-a2 - C.(a+b) 2=a2+2ab+b2D. a2 - bz= (a+b) (a2ab+b2+b (a - b)6.如果关于x的二次三项式x2-mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（）A. 8 或-8B. 8C.-8D.无法确定二. 填空题（共7小题）7. （2014*玄式区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a b2 （a>0, b>0）的正方形.这个矩形的面积为 （用含a、b的代数式表示）8. 如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2,则另一

4、边长是（用含m的代数式表示）9. 有两个正方形A, B,现将B放在A的内部得图甲，将A, B并列放置后构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12,则正方形A, B的面积之禾1为 10. 如图1和图2,有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了 2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a （a+b） =a2+ab成立.根据图2,利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式 11. 如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为»的环形小路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为 平方米.12.如图，请

5、写出三个代数式（a+b）（a-b） ab之间的等量关系是 13.如图，长为a,宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64,中间小正方形的面积为16,则a二三. 解答题(共10小题)14 阅读学习：数学中有很多等式可以用图形的面积来表示如图1,它表示(m+2n) (m+n) =m2+3mn+2n2,图(1)观察图2,请你写出(a+b) 2, (a-b) 2, ab之间的关系 (2)小明用8个一样大的长方形，(长为a,宽为b),拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形.a2 - 4ab+4b2= ab二 .15.【学习回

6、顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说 如图1,正方形ABCD的面积二正方形EBNH的面积+ (长方形AEHM的面积+长方形HNCF 的面积)+正方形MHFD的面积.即：(a+b) 2=a2+2ab+b2.【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成.如图2,长方形ABNM的面积二长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积-长方形HNCF的面积- 的面积，即：(2a-b) (a+b) = 【尝试实践】计算(2a+b) (a+b) = 仿照上述方法，画图并说明.16阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以 得到一个数学等式

7、，例如由图1可以得到(a+2b) (a+b) =a2+3ab+2b2.请解答下列问题:(1) 写出图2中所表示的数学等式 ;(2) 利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11, ab+bc+ac二38,求 a2+b2+c2 的值；(3)图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片.若干个长为a和宽为 b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公 式：2a2+5ab+2b2= (2a+b) (a+2b)图17.如图1,将一个长为4a,宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形, 然后按图2形状拼成一个正方形.(1)图2的空白部分的边

8、长是多少(用含ab的式子表示)(2)若2a+b二7,且ab=3,求图2中的空白正方形的面积.(3)观察图2,用等式表示出(2a-b) 2, ab和(2a+b)'的数量关系.18.动手操作:如图是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方 形，然后按照图所示拼成一个正方形.提出问题：(1) 观察图，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；(2) 请写出三个代数式(a+b) 2, (a-b) 2, ab之间的一个等量关系.问题解决：根据上述(2)中得到的等量关系，解决下列问题：已知：x+y=6, xy=3.求：(x-y)'的值.19. 图是一个长为2a,宽

9、为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形.（1）将图中所得的四块长为a,宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图）.请利用图中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b） I （a-b） ab之间的等量关系是 ;（2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n二8, mn=7,则m - n=（3）将如图所得的四块长为a,宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部（如图），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4,且小长方形的周长为8,则每一个小长方形的面积为 20. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得

10、到一些有用 的式子，或可以求出一些不规则图形的面积.(1)如图1,是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方 形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来.(2) 如图2,是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直 线上，连接BD和BF,若两正方形的边长满足a+b=10, ab=20,你能求出阴影部分的面 积吗21 阅读材料并填空: 我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式样也可以用这种形式表示，如：(2a+b) (a+b) =2a2+3ab+b2,就可以用图(1),或图(2)等图形的面积表示

11、.图所表示的代数恒等式请你写出图(3)所表示的代数恒等式图22. 图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小 长方形，然后按图2所示拼成一个正方形.(1) 你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 (2) 试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.方法1: ; 方法2 ：(3) 根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗代数式：(x+y) 2, (x - y) 2, 4xy (4) 根据(3)题中的等量关系，解决如下问题：若 x+y二4, xy二3,则（x-y） J 23. 已知图甲是一个长为2m,宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长 方形，然

12、后按图乙的形状拼成一个正方形.(1) 你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少 (2) 请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积.方法一： ; 方法二： .(3) 观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗(m+n) I (m - n)1 mm(4) 根据(3)题中的等量关系，解决如下问题：若a+b二8, ab二5,求(a-b) ?的值.图完全平方公式的几何背景专题训练试题精选 参考答案与试题解析一. 选择题（共6小题）1. （2010*丹东）图是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图中的阴影部分拼成图的形状，由图和图能验证的式子是（） 图A. (m+n) 2 - (m - n)B.

13、(m+n) 2 - (m2+n2)C.( m)D. (m+n) (m - n) =mz2=4mn=2m n2+2m n 二 m'+r?考点：完全平方公式的几何背景.专题：计算题；压轴题.分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2,即为对角线分别是2m, 2n的菱形的面积.据此即可解答.解答：解：（m+n） 2 - （m2+n2） =2mn.故选B点评：本题是利用几何图形的面积来验证(m+n) 2- (m2+n2) =2mn,解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式.2. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我

14、们可以得到两数和的平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2你根据图乙能得到的数学公式是()图A. (a+b) (a - b) =a2B.( a - b ) 2=a2 - C. a (a+b) =a2+ab D. a (a - b) =a2 - ab-b22ab+b2考点：完全平方公式的几何背景.分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积.解答：解：大正方形的面积二(a-b) 2, 还可以表示为a2-2ab+b2, (a-b) 2=a2-2ab+b2.故选B.点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全

15、平方公式的理解能力.3. 如图，你能根据面积关系得到的数学公式是()A. a2 - b2= (a+b) (aB (a+b) Ja'+Zab+t/C (a - b) 2=a2 - D. a (a+b) =a2+ab-b)2ab+b2考点：完全平方公式的几何背景.分析：根据图形得出阴影部分的面积是(a-b) $和負 剩余的矩形面积是(a-b) b和(a-b) b,即大阴影部分的面积是(a-b) 2,即可得出选项.解答：解：从图中可知：阴影部分的面积是(a-b) $和b；剩余的矩形面积是(a-b)b 和(a - b) b,即大阴影部分的面积是(a-b) 2, (a-b) 2=a2-2ab+b

16、2,故选C点评：本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度.4.如图（1）,是一个长为2a宽为2b （a>b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪 开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部 分的面积是（ ）图A. abB. (a+b) 2C. (a-b)D. a2-b2考点：完全平方公式的几何背景.分析：先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积二正方形的面积-矩形的面积即可得出答案.解答：解：由题意可得，正方形的边长为（a+b）,故正方形的面积为（a+b） 2,又.原矩形的面积为4ab,中间空

17、的部分的面积二（a+b） 2-4ab= （a - b） 2.故选C点评：此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般5.如图的图形面积由以下哪个公式表示（）2ab+b2A. a2 - b2=a (a-b)B(a-b) 2=a2 - C. (a+b) 2=a2+2ab+b2D. a2 - b2= (a+b) (a+b (a - b)考点：完全平方公式的几何背景.分析：通过图中几个图形的面积的关系来进行推导.解答：解：根据图形可得出：大正方形面积为：（a+b） 2,大正方形面积二4个小图形的面积和二 a'+b"+ab+ab,可以得到公式：（a+b）

18、 2=a2+2ab+b2.故选:C.点评：本题考查了完全平方公式的推导过程，运用图形的面积表示是解题的关键.6.如果关于x的二次三项式x2-mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（）A. 8 或-8B. 8C. -8D.无法确定考点：完全平方公式的几何背景.分析：根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可.解答：解：*/x2 - mx+16是一个完全平方式,-mx=±2X4» x,解得m=±8.故选A.点评：本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解.二. 填空题（共7小题）

19、7. （2014*玄式区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为孑、b2 （a>0, b>0）的正方形.这个矩形的面积为（a+b） 2 （用含a、b的代数式表示）考点：完全平方公式的几何背景.分析：求出大正方形的边长为a+b,再利用正方形的面积公式求解.解答：解；两个小矩形的长为a,宽为b,.正方形的边长为：a+b它的面积为:（a+b） 2故答案为：（a+b） 2点评：本题主要考查完全平方公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键.8. 如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又 剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2

20、,则另一边长是 2m+2_.（用含ni的代数式表示）考点：完全平方公式的几何背景.专题：几何图形问题.分析：由于边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又 剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余 部分的面积，而矩形一边长为2,利用矩形的面积公式即可求出另一边长.解答：解：依题意得剩余部分为（m+2） 2 - m2-m2+4m+4 - m2=4m+4,而拼成的矩形一边长为2,/.另一边长是（4m+4） r2=2m+2.故答案为：2m+2.点评：本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则.9. 有两个正方形A, B,现将B放在A

21、的内部得图甲，将A, B并列放置后构造新的正 方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12,则正方形A, B的面积之 和为 13分析：设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,由图形得出关系式求解即可. 解答：解：设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,由图甲得 a2 - b2 - 2 (a - b) =1 即 a2+b2 - 2ab=1,由图乙得(a+b) 2-a2-b2=12, 2ab=12,所以 a2+b2=13,故答案为：13.点评：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关10. 如图1和图2,有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了 2块不同的

22、卡片，拼 成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a (a+b) =a2+ab 成立.根据图2,利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式(a+b) (a+2b)=a2+2b2+3ab图 专题：计算题.分析：表示阴影部分的面积有两种方法：大长方形的面积二(a+b) (a+2b),3个正 方形的面积加上3个矩形的面积a2+ab+ab+ab+b2+b2,推出即可.解答：解：由图2可知：阴影部分的面积是：(a+b ) ( a+2b ), a2+ab+ab+ab+b2+b2=a2+2b2+3ab,(a+b) (a+2b) =a2+2b2+3ab,故答案为：(a+b) (a+2b)

23、=a2+2b2+3ab.点评：本题考查了完全平方公式的几何背景的应用，关键是检查学生能否正确表示图形 中阴影部分的面积，题目具有一定的代表性，考查了学生的理解能力、观察图形 的能力等门.如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽 度为 口口弋的环形小路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为 a? - mo4ab+4b或(a-2b) ?平方米.考点：完全平方公式的几何背景.专题：几何图形问题分析：根据图示计算出中央正方形的水池的边长，然后根据正方形的面积公式来计算水池的面积.解答：解：水池的边长是：a-2b,所以，正方形水池的面积是(a-2b) (a - 2b)

24、-a2 - 4ab+4b2或(a-2b) (a-2b)二(a-2b) 2.故答案是：a2 - 4ab+4b2 或(a - 2b) 2.点评：本题考查对完全平方公式几何意义的理解解题时，主要围绕图形面积展开分析12.如图，请写出三个代数式(a+b) I (a-b) ab之间的等量关系是a+b) J (a-b) 2+4aba®考点：完全平方公式的几何背景.分析：通过观察图形知：(a+b) 2, (a-b) 2, ab分别表示的是大正方形、空白部分的正 方形及小长方形的面积.解答：解：由图可以看出，大正方形面积二阴影部分的正方形的面积+四个小长方形的面 积，即：(a+b) 2= (a -

25、b) 2+4ab,故答案为：(a+b) 2= (a-b) 2+4ab.点评：此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，关键是通过观察图形找出 各图形之间的关系.13.如图，长为a,宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64,中间小正方形的面积为16,则a二6, b二2考点：完全平方公式的几何背景.分析：先求出大正方形的边长为：a+b,小正方形的边长为：a-b,再列出方程组求解.解答：解：大正方形的边长为：a+b,小正方形的边长为：a-b解彳站* rt K故答案为：6, 2.点评：本题的关键是求出大正方形的边长和小正方形的边长.列出方程组.三. 解答题(共10小题)14

26、阅读学习：数学中有很多等式可以用图形的面积来表示.如图1,它表示(m+2n)(m+n) =m2+3mn+2n2,(1) 观察图2,请你写出(a+b)； (a-b)2, ab之间的关系 (a+b)?- (a-b)J4ab(2) 小明用8个一样大的长方形，(长为a,宽为b),拼成了如图甲乙两种图案，图 案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形.孑-4ab+4bJ 4ab二 60 考点：完全平方公式的几何背景.专题：数形结合.分析：根据图形的面积公式来进行分析即可得到.解答：解：(1) (a+b) 2 - (a - b) 2=4ab:(2)4 ab二60点评：该题目

27、考查了利用图形的面积来得到数学公式，关键是灵活进行数学结合来分析.15.【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说如图1,正方形ABCD的面积二正方形EBNH的面积+ (长方形AEHM的面积+长方形HNCF的面积)+正方形MHFD的面积.即：(a+b) 2=a2+2ab+b2.【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成.如图2,长方形ABNM的面积二长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积-长方形HNCF的面积- 正方形MHFD 的面积,即：(2a-b) (a+b)二2a? - ab -【尝试实践】计算(2a+b) (a+b) = 2a2+3

28、ab+b2.仿照上述方法，画图并说明.考点：完全平方公式的几何背景.分析：(1)利用长方形ABNM的面积二长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积-长方形HNCF的面积-正方形MHFD的面积计算.(2)利用长方形ABCD的面积二正方形GBHF的面积+正方形FHQN的面积+长方形AGFE的面积+长方形EFNM的面积+长方形NQCO的面积+正方形MNOD的面积计算. 解答：解：(1)长方形ABNM的面积二长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积-长方形HNCF的面积-正方形MHFD的面积，即：(2a - b) (a+b) =2a2 - ab - b2故答案为：正方形MHFD, 2a2-ab-b

29、2.(2) (2a+b) (a+b) =2a2+3ab+b2如图，图©故答案为：2a2-ab-b2点评：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解释.16阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以 得到一个数学等式，例如由图1可以得到(a+2b) (a+b) =a2+3ab+2b2.请解答下列问 题：(1) 写出图2中所表示的数学等式 (a+b+c) Ja2+b2+c2ab+2ac+2bc ;(2) 利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11, ab+bc+ac二38,求 a2+b2+c

30、2 的值;(3) 图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片.若干个长为a和宽为 b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公 式：2a2+5ab+2b2= (2a+b) (a+2b)图考点：完全平方公式的几何背景.分析：(1)根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式.(2)根据利用(1)中所得到的结论，将a+b+c二11, ab+bc+ac二38作为整式代入即可求出.(3)找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件.解答：解：(1)根据题意，大矩形的面

31、积为：(a+b+c) (a+b+c)二(a+b+c)各小矩形部分的面积之和二a2+2ab+r+2bc+2ac+M,：等式为(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.(2) a2+b2+c2 二(a+b+c) 2 - 2ab - 2ac - 2bc二门 2-2X38二 45.(3)如图所示点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答.17.如图1,将一个长为4a,宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形, 然后按图2形状拼成一个正方形.(1) 图2的空白部分的边长是多少(用含ab的式子

32、表示)(2)若2a+b二7,且ab=3,求图2中的空白正方形的面积.(3)观察图2,用等式表示出(2a-b) 2, ab和(2a+b)'的数量关系.考点：完全平方公式的几何背景.分析：(1)观察由已知图形，得到四个小长方形的长为2a,宽为b,那么图2中的空 白部分的正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽.(2) 通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和.图2中空白部 分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积.(3) 通过观察图形知：(2a+b) 2 (2a-b) 2 8ab.分别表示的是大正方形、空 白部分的正方形及小长方形的面积.解答：解：(1)图2的空白

33、部分的边长是2a-b(2)由图21-2可知，小正方形的面积二大正方形的面积-4个小长方形的面积,大正方形的边长二2a+b二7,大正方形的面积二(2a+b) 2=49,又.4个小长方形的面积之和二大长方形的面积二4a X 2b二8ab二8 X 3=24,.小正方形的面积二(2a-b) 2=49 - 24=25(3)由图2可以看出，大正方形面积二空白部分的正方形的面积+四个小长方形 的面积即：(2a+b) 2 - (2a-b) 2=8ab.点评：此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，以及对列代数式、代数式 求值的理解与掌握.关键是通过观察图形找出各图形之间的关系.18.动手操作：如图是一

34、个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方 形，然后按照图所示拼成一个正方形.提出问题：(1) 观察图，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；(2) 请写出三个代数式(a+b) 2, (a-b) 2, ab之间的一个等量关系.问题解决：根据上述(2)中得到的等量关系，解决下列问题： 已知：x+y=6, xy=3.求：(x-y)'的值.考点：完全平方公式的几何背景.专题：几何图形问题.分析：(1)第一种方法为：大正方形面积-4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴 影部分正方形的面积；(2) 利用(a+b) (m+n) 2 - 4mn= (m - n)问题解决：

35、(x - y) 2= (x+y) 2 - 4xy* xy=:6y xy=3.(x-y) J36-9二25.- 4ab= (a - b) ?可求解.解答：提出问题：解：(1) (a+b) 2 - 4ab 或(a - b)点评：本题考查了完全平方公式的几何背景.解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系.本题更需注意要根据所找到的规律做题.19. 图是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形.图(1) 将图中所得的四块长为a,宽为b的小长方形拼成一个正方形(如图).请利 用图中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式(a+b)彳、(a-b)彳、ab之间 的等量关系

36、是 (a-b)彳二(a+b) 2-4ab ;(2) 根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n二8, mn=7,则m - n二 ±6;(3) 将如图所得的四块长为a,宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部 (如图)，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示.若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4,且小长方形的周长为8,则每一个小长方形的面积为3 考点：完全平方公式的几何背景.分析：(1)利用大正方形的面积减4个小长方形的面积等于小正方形的面积求解；(2)利用公式(m - n) 2= (m+n) 2 - 4mn求解即可； (3)由左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4

37、,得出-8b+4a=4,由小长方 形的周长为8,得出2 (a+b) =8,联立得出a, b的值即可求出小长方形的面积.解答：解：(1) (a - b) 2= (a+b) 2 - 4ab.故答案为：(a-b) 2= (a+b) 2-4ab.(2) Tm+n二8, mn=7,/. (m - n) 2= (m+n) 2 - 4mn-64 - 28=36,：m - n二 ± 6故答案为：±6.(3) 设长方形BC为m, CD为n,右上角部分的阴影周长为：2 (n-a+m-a)左下角部分的阴影周长为：2 (m-2b+n-2b)左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4,/. - 8b+4

38、a=4,又T2 (a+b) =8,解得a二3, b=1,每一个小长方形的面积为ab二3X1=3.故答案为：3.点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系解决问题.20. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用 的式子，或可以求出一些不规则图形的面积.(1) 如图1,是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方 形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来.(2) 如图2,是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直 线上，连接BD和BF,若两正方形的边长满足a+b二

39、10, ab=20,你能求出阴影部分的面 积吗考点：完全平方公式的几何背景.分析：(1)此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式(a+b+c) 2=a2+bz+c2+2ab+2bc+2ac,(2)利用S砲二正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积- 三角形ABD的面积求解.解答：(1) (a+b+c) 2-a2+bz+c2+2ab+2bc+2ac(2) Va+b=10, ab二20,S wfj=a2+b2 - Jl (a+b ) b - J a耳 la2+ -b2 - ab 二(a+b)2

40、-: ab 二 tX 102 - Jix 20=50- 30=20.点评：本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积.21 阅读材料并填空：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式样也可以用这种形式表示，如：(2a+b) (a+b) =2a2+3ab+b2,就可以用图(1),或图(2)等图形的面积表示.图请你写出图(3)所表示的代数恒等式 (x+y) 2=x2+2xy+y2.请你写出图(4)所表示的代数恒等式 (2a+b) (a+2b) =2a2+5ab+2b2图考点：完全平方公式的几何背景.分析：求出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式求出即可.解答：解：图(3)所表示的代数恒等式是(x+y) (x+y) = (x+y) 2=x2+2xy+y2, 图(4)所表示的代数恒等式是(2a+b) (a+2b) =2a2+5ab+2b2, 故答案为：(x+y) 2=x2+2xy+y2, (2a+b) (a+2b) =2a2+