第四章平面的投影

1、4-1 4-1 平面的表示法平面的表示法4-2 4-2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性4-3 4-3 属于平面的点和直线属于平面的点和直线一、以几何元素呈现的平面 用几何元素表示平面有五种形式：不在同一直线上的三点；直线及外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形本身。二、以迹线呈现的平面 平面的迹线为空间平面与投影面的交线。特殊位置平面其具有积聚性的投影具有积聚性的投影与其同面迹线同面迹线是一致的。 一、用几何元素表示平面aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd二、平面的迹线表示法VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQPVPHaabbccm1m2

2、n1n2一般位置平面的迹线求法一般位置平面的迹线求法1、平面迹线的定义、平面迹线的定义 平面的迹线是平面与投影面的交线。平面P与H投影面的交线称作平面的水平迹线，用PH表示；平面P与V投影面的交线称作平面的正面迹线，用PV表示。（平面名称的大写字母加右下标注相应投影面名称）。 PH、 PV是平面是平面P的两条直线，不是一直线的两投影。的两条直线，不是一直线的两投影。2、迹线的空间位置特点、迹线的空间位置特点 平面迹线既属于平面，又属于投影面。3、迹线的投影特点、迹线的投影特点 迹线的一个投影即其本身，其余投影在投影轴上。4、平面迹线的作图、平面迹线的作图 先作出平面内任意两直线的迹点，再连接其

3、同名迹点即平面的同面迹线，注意利用迹线共点。特殊位置平面用具有积聚性的特殊位置平面用具有积聚性的迹线表示。迹线表示。 PxPx 迹线集合点PVPH迹线平面与几何平面的转换迹线平面与几何平面的转换baccabPx一、投影面的垂直面1铅垂面2正垂面3 侧垂面二、投影面的平行面1水平面2 正平面3 侧平面三、一般位置平面VWHPPH投影特性：1、 abc积聚为一条线 2 、 abc、 abc为ABC的类似形 3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小 ABCacbababbacccVWHPHPPHVWHQQV投影特性：1、 abc 积聚为一条线 2 、 abc、abc ABC的类似形 3

4、、 abc与OX、 OZ的夹角反映、 角的真实大小 ababbacccAcCabBVWHQQVQVVWHSWS投影特性：1、 abc积聚为一条线 2 、 abc、 abc为 ABC的类似形 3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映、角的真实大小 CabABcabbbaacccVWHSHSZXOYSHYVWH投影特性： 1、 abc、 abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性 2 、 水平投影abc反映 ABC实形 CABabcbacabccabbbaaccVWH投影特性： 1、abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 2 、正平面投影abc反映 ABC实形 c abba cbcabacab

5、cbcaCBA投影特性： 1、 abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 2 、 侧平面投影abc 反映 ABC实形 VWHabbbacccabcbacabcCABa投影特性：1、abc、abc 、abc 均为 ABC的类似形 2、不反映、 的真实角度 abcbacababbaccbacCAB一、属于一般位置平面的点和直线二、属于特殊位置平面的点和直线三、属于平面的投影面平行线四、属于平面的最大斜度线1 平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：通过平面上的两点；通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。2 平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。 在平面上取点、直线的作

6、图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。 利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。ABCEDabcabcddeeFffddabcabcee例题2 已知点D在 ABC上，试求点D的水平投影 。ddabcabceededabcabce二、属于特殊位置平面的点和直线 1 取属于垂直面的点和直线 2 过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1) 几何元素表示法 (2) 迹线表示法 3 过特殊位置直线作平面 (

7、1) 过正垂线作平面 (2) 过正平线作平面 1 取属于垂直面的点和直线（1）abcabc几何元素表示平面 k k123123 g gfeefnmmnEF属于ABCK属于ABCG不不属于MN不不属于PHbb1 取属于垂直面的点和直线aaeffeRVVHabbaSVHbaabAB2 过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线AB作H面的垂直面PH过一般位置直线AB作V面的垂直面SHPPHSVAB(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面(几何元素表示法)meffeffeen(m)(n)babaabSVQWPH(1) 过正垂线作平面 (迹线表示法)m（n）mnm （n ）mnm （n）mnm（n

8、）mnPVSVQVRVeffe(2) 过正平线作平面effeeffeeffePHSHgg（a ）题目（c）作正垂面（ b）作正平面（d）作一般位置平面平面上投影面平行线：属于平面并平行于投影面的直线。 在一般位置平面上，对三个投影面都有相应的投影面平行线。这些投影面平行线既具有投影面平行线的投影特点，又与所属平面保持从属关系，并且与平面的同面迹线平行。VHP属于平面的水平线和正平线PVPHabcbacmnnmXabcbacmnmnrsrs1015ee 例题例题 ababcc1一般位置平面2过Z轴的平面3正平面3铅垂面判断题：指出正确答案。ZO 例题例题 1一般位置平面2过X轴的平面3正平面3侧

9、垂面判断题：指出正确答案。ababccOX1 平面上的最大斜度线平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。2 平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对相应投影面的平行线相互垂直。3 同一平面上的最大斜度线有三组，即分别对V面、H面及W面各有一组。（1）平面上对 H H 面的最大斜度线（2）平面上对 V V 面的最大斜度线（3）平面上对 W W 面的最大斜度线 AB雨水的流向AB/H，则雨水总是沿着与AB垂直的方向流下 属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线，即为该平面的最大斜度线；最大斜度线对投影面的倾角最大。最大斜度线的几何意义:用来确定平面对投影面的

10、倾角（二面角）。HPCDaSAEVHW（1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF AB平行于 H， EF垂直于 ABPBAEFVHW（2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD AB平行于V， CD垂直于 ABPCDBAVHW（3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN AB 平行于W， MN垂直于ABPBAMNddeeabcabc作图步骤作平面上的水平线过平面上任意点作与平面上水平线垂直相交的直线be BEddeeabcabc作平面的水平线作平面对H面的最大斜度线求对H面最大斜度线的ddabcabcebee BE作平面的正平线作平面对V面的最大斜度线求对V面最大斜度线的例题例题 已知直线已知直

11、线EFEF为某平面对为某平面对H H面的最大斜度线，试作出该平面。面的最大斜度线，试作出该平面。effeffeeaa给题effe已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，求该平面的ggkk注意：题目的条件是对H面的最大斜度线，可以通过EF直接求角，但不能直接求出角。该题的第一个条件实际上只是给你一个平面。作图步骤：作出水平线FG。得到FGE平面。画出该平面的正平线，得到该平面对V面的最大斜度线FK。根据直角三角形法求平面的倾角。ad badcb c abab30cc分析 过已知点作的平面上的正平线与对V面的最大斜度线是一对垂直相交的直线。投影作图步骤 以直角边 YAB 、=30作直角三角形，获对

12、V面的最大斜度线的V投影长。以b为圆心，上述投影长为半径画圆。过a向此圆作切线，获切点C的V、H投影。连接AC、BC，完成作图。综合练习综合练习2 abacdOXdcbeeabacdOXdcbeeffabcdab分析：这是一个共面问题。解决这种问题的实质是根据平面的表达方法确定一个平面。这里AB和CD显然很难确定交点，因此可以根据两平行线确定平面的办法来解决。根据直角三角形法，可以求得CD直线的Y值。再根据平行线的投影性质，完成该平面图形。cda b bac综合练习4 以水平线AB为边作正三角形与水平投影面H的夹角成 30。以ab为边作正三角形c30熟练掌握平面的空间七种位置及其投影特征。充分

13、理解平面的迹线概念,了解平面的迹线作法。熟练掌握平面上的各种线的概念求法。最大斜度线为本章的难点。 abababcdcdcd(2)23(3)作业讲评作业讲评习题习题3-15关于交叉二直关于交叉二直线重影点的可线重影点的可见性判别（其见性判别（其中一直线为侧中一直线为侧平线）平线） （）111abcabc45bac212121习题4-7求作属于ABC与投影面H、V等距离点的轨迹。与投影面与投影面H、V等等距离点的集合为距离点的集合为V、H的角平分面的角平分面ee例题3 过D作直线DE和ABC平行，且使DE线上所有点与投影面H、V等距。ddabcabc第二种解法2121利用关于轴对称abab 已知AB为平面P对V面的最大斜度线，求作该平面的投影和对H面的倾角。注意AB为平面P对V面的最大斜度线，不能用来求平面的对V面的最大斜