高一秋季讲义-第六讲-对数函数(含答案)

1、第六讲对数函数15一、对数与对数运算1. 对数的概念若ax= N(a> 0 ,且a 1),则数X叫做以a为底N的对数，a叫做对数的_底数_, N 叫做_真数_,记作X= IogaN_.知识点拨对数式IogaN可看作一种记号，表示关于X的方程ax= N(a>0,且a 1)的 解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a>0,且a 1),幕为N,求幕指数的运算，因此，对数式IogaN又可看作幕运算的逆运算.2. 常用对数和自然对数(1) 常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把og10N记为IgN .(2) 自然对数：在科学技术中常使用以无理数e= 2.71828-为底

2、数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把IogeN记为_InN_ .3. 对数与指数的关系当 a>0,且 a 1 时，ax= N? X=IogaN_.4. 对数的基本性质(1) _零和负数没有对数.(2) Ioga1 = _0_(a>0,且 a 1).(3) Iogaa= _1_(a>0,且 a 1).5. 对数的运算性质条件a>0,且 a 1, M > 0, N > 0性质Ioga(MN)= IogaM + IogaNMIlogaN =IogaM IogaNlogaMn=nIogaM (n R)知识点拨一般情况下，当 a>0,且 a 1 ,M &g

3、t;0,N>0 时，1Oga(MN) (IogaM)(IogaN), M IogaMloga(M+ N) IogaM + IogaN ,Ioga IOgaN.6 换底公式Iogab = _-LCa_（a>0,且 a 1； c>0,且 c 1; b>0）.知识拓展(1)可用换底公式证明以下结论:1m1Iogab= ioga: Iogab Iogc oa = 1 : Ioganbn= Iogab: Ioganbm= logab: Iogab=Iogab.(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意, 原底加底变分母，真数加底变分子.二、对数函数的图像与性质1.对数

4、函数的定义一般地，我们把函数y = 一IogaX (a>0,且a 1)叫做对数函数，其中_X_是自变量， 函数的定义域是 _(0 ,+ )_.知识点拨(1)由于指数函数 y= ax中的底数a满足a > 0,且a 1,则对数函数 y = Iogax中的底数a也必须满足a>0,且a 1.(2)对数函数的解析式同时满足：对数符号前面的系数是1;对数的底数是不等于1的正实数(常数);对数的真数仅有自变量x.2.对数函数的图象和性质一般地，对数函数 y= Iogax(a>0,且a 1)的图象和性质如下表所示:a> 10v a V 1图象JfI yJpTm非*性质定义域：(0

5、,+ )值域：R图象过定点(1,0),即当X= 1时，y= 0在(0, + )上是增函数在(0, + )上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y= ogax(a> 0,且a 1)和指数函数y = ax(a>0,且a 1)互为反函数，它们的图象关于直线 y= X对称.考点一 对数与指数的关系【例题1.1】若Xog23= 1 ,则3x+9x的值为()【解答】解：由题意X=LOe 2?所以3x =心盹2= 2,所以9x= 4,所以3x+9X= 6故选：B.【例题1+1IDn1.2】若 4m= 9n= 6,则【解答】解：由 4m= 9n= 6,得 m = log46, n= log96,

6、即4,=og69,所以一+m n=log64+log69= log636= 2,故答案为:A . 3B . 6C. 2【变式1.1】设35x= 49,若用含X的形式表示log535 ,则log535=2-K3E21pL21gs72Clog535-l)=log536log 535lg535【解答】解：I 35x= 49,Iogs 49X= log3549=1 g 5 35I 2解得og535=-,故答案为:2-X【变式 1.2】若 3a= 2, b= log23,则 ab=1, 2b+2b=U"【解答】解：3a= 2 ,贝U a= log3210b = log23, ab= log32

7、?log23= 1,. 2b+2 "=叫？ +严叫3) = 3+寺= ,故答案为:考点二对数的运算性质【例题2.1】计算下列各式的值：Ig 27+ Ig8 3lg 10 Ig127 Iog 535 2log 53+ Iog 57 Iog5l.8;(3) 2(lg ,2)2+ Ig .2 Ig+Ig 2 2 Ig2 + 1.解析(1)原式=1 1Ig 33 2 + Ig23 3lg102 = 3× 22=lg 102 Ig3 + 2lg2 1Ig3 + 2lg2 132.原式=Iog5(5 × 7) 2(log 57 Iog53) + Iog57 Iog 55=Io

8、g55+ Iog 57 2log 57+ 2log53 + Iog 57 2log53 + Iog55= 2log 55= 2.(3)原式=Ig ,2(2lg .2 + Ig5) + . Ig . 2 1 2=Ig 2(lg2 + Ig5) + 1 Ig 2 = Ig 2+ 1 Ig 2 = 1.【例题2.2】计算下列各式的值：(1) log89 Iog32;(2) log927;1 1 1(3) log225 Iog32 q.”丄Lg9 Ig32 Ig32 Ig25 2lg3 5lg2 10解析(I)IOg 89 log32=g8 g27 = g23 g33= 3lg2 3lg3 = 9 .

9、og 327 log 333 3log33 3(2) og927= log 39 = log 332 = 2log33= 21 1 1(3) og2125 og2 o3 5 IIg5 Ig2 Ig3=og25 3 log> 5 Io53 1 = 3log25 5log32) log53) = 15 访诂肃=仮【变式 2.1 】设 Ig2 = a, Ig3= b,则 Iog 125 =(A .a+2bC.)1+白a÷2b【解答】解：Tg2= a, Ig3 = b,则 Iog 125 =1-l-3.l3÷21g2 a+bl+¾D. '_1_故选：A.【变

10、式2.2】设P =I + I +Iog2II- 1吕 qll 1 口 5 11,则()A . OV PV 1C. 2 V PV 3【解答】解：W=log 112+log 113+log Ii4+logii5 = Iogii (2 × 3× 4× 5) = log 1112O.log11ii = i V log ii 12Ov logii121 = 2.故选:B.【变式 2.3】已知 2lg (X- 2y)= lgx+lgy,则 -=2V-2y>0J-2y) 2=y,解得旦二q.Vlog【解答】 解： 2lg ( X- 2y)= lgx+lgy,=2.故答案为

11、2.考点三 对数函数的定义域、值域、最值【例题3.1函数lg(2-l)的定义域是(B .+8)A .【解答解：由题意得,3x-2>02-l>0,解得C.P +)则函数的定义域是【例题3.2已知函数f( x) = lg (ax2 - 2x+a)的值域为R ,则实数a的取值范围为()A . - 1 , 1B . 0 , 1C. (-,- 1)( 1, +)D. (1, +)【解答解：函数f (X)= Ig (ax2 - 2x+a)的值域为R,设g (X)= ax2 - 2x+a ,则g (x)能取边所有的正数，即(0, + )是g (x)值域的子集，当a= 0时，g (x)=- 2x的

12、值域为R,满足条件.当a0时，要使(0, + )是g(x)值域的子集,fa>0Jra>o则满足Q得=4-4a2>0t-lal此时OV a 1 ,综上所述，0 a 1,故选：B.【例题3.3】函数y= (lc営X)2TIi -. x2+5 在 2 x 4 时的值域为y、【解答】解：令t=l°g : ,因为2 X 4,所以-1 t-，'厶4则y=1隅小'-21叫：+5 =( t- 1) 2+4,又因为函数在-1,-寺单调递减,当t=-丄是函数有最小值 竺，当t=- 1时函数有最大值 8;2 4故答案为：y I胚E【变式3.1】函数y=J死为沉一引的定义域

13、是(C. (-, 1D . 1 , + )【解答】解：要使原函数有意义，则Iog0.5 (4x- 3) 0,即0 V 4x- 3 1,解得所以原函数的定义域为(P 1.故选：B.【变式3.2】若定义运算f (a? b)且，ab b ab,则函数 f (log2 (1+x) ? log2 (1 - X)的值域是()A . (- 1 , 1)B . 0 , 1)C. 0 , + )D. 0 , 1【解答】解：由题意得f(a*b) = a, & ,LbJ a<b. y= f (log2 (1+x) *log 2 (1 - x)0x<l-l<2<0当 OXV 1 时函数

14、为 y= l0g2 (1+x)因为y= l0g2 (1 + x)在0 , 1)为增函数，所以y0, 1)当-1v XV 0 时函数为 y = l0g2 (1 - x)因为y= log2 (1 - x)在(-1, 0)为减函数，所以y (0, 1)由以上可得y0, 1)故选：B.【变式3.3】若函数y= loga (x2- ax+1)有最小值，则 a的取值范围是1V av 2 .【解答】解：令 g (X)= x2 - ax+1 (a>0，且 a 1), 当a> 1时，y= log ax在R+上单调递增，要使 y= Ioga (x2- ax+1)有最小值，必须 g (X) min>

15、;0,< 0,解得-2v aV 21v av2; 当0v av 1时，g( x) = x2- ax+1没有最大值，从而不能使得函数 y= Ioga (x2- ax+1)有最小值，不符合题意综上所述：1 V a V2;故答案为：1 V av 2.考点四对数值大小的比较【例题4.1】设A . aV bV C)J , C=IO召2寺，则b, C的大小关系是(D. CV aV bB . aV CV bC. CV bV a则a, b, C的大小关系是CV aV b.故选：D.【例题4.2】已知a= ln3, b= log310, C= lg3,则a, b, C的大小关系为()A . CV bV a

16、B . av CV bC. bV CV aD. CV av b【解答】 解： In臣一-,Lg>-一-，且 log310>l0g3e>0,l3eIog3IOlg3 V In 3v ln e2= 2,又 log310 > log39= 2, C V av b.故选:D.【变式4.1】下列关系式中，成立的是()A .18340, 3Iilog0 3l0B .LogO 3100. 31' i>log 34C.Log34> l g O JO。. 3，丫D .LOgQ jlO>lo也4>0. gLTIogo.3l0v logo.3l = 0,【解答

17、】解：T0g34> Iog33= 1, OV 0.31'7< 03°= 1,1- - _一 .一：1 .- 1' 1 _ Il-一 I 故选：A.【变式 4.2】设 a = I0g3 b= log, C= log /2，贝U （）A . a> b> CB. a> c> bC. b>a>CD . b> c> a解析a= Iog3> 1,1111b= Iogz, 3 = 20g23 （2, I）, C= 0g3,2= 20g32 （0,），所以 a>b> c,故选 A.考点五对数函数的图像与性质

18、【例题5.1】当0< a< 1时，在同一坐标系中，函数y= a 与y= IogaX的图象是（）【例题5.2】对任意实数X,都有-es+3)>l (a > 0且a 1),贝U实数a的取值范围3.是()A 0,吉) B (1, 3【解答】解:'.Toga (ex+3) 1 = Iogaa,C. (1, 3)D. 3 , + )若 a> 1 ,贝U ex+3 a 恒成立， ex+3 > 3,二此时 1 V a 3,若0V av 1,贝U ex+3 a恒成立，'ex+3 > 3,此时a无解， 综上所述，1v a 3 ,即实数a的取值范围是(1,

19、 3 故选：B.【例题5.3】已知函数f (X)= In (x+1) + .：，则使得f (x)> f (2x- 1)的X的取值范围是()C. (1, + )B. 一一匚亠 I I 1 I 1D .-J 二【解答】 解：函数f (X)= In(XI+1) +.- 为定义域R上的偶函数,且在x0时，函数单调递增，f (x)> f (2x- 1)等价为 f (x)> f (|2x- 1|),即|x|> |2x - 1,两边平方得x2>V XV 1 ；(2x - 1) 2, 即卩 3x2- 4x+1 V 0,1).故选:A.使得f (x)> f (2x- 1)的X

20、的取值范围是(【变式5.1】已知a>0, b>0,且ab= 1, a 1 ,则函数f (X)= ax与函数g (X)=-IogbX在同一坐标系中的图象可能是()【解答】故选：B.【变式5.2】设偶函数f (X)= IogalX- b在(-, 0)上是增函数，则f (a+1)与f (b+2) 的大小关系是()A . f (a+1 )= f ( b+2)B. f (a+1 )> f ( b+2)C. f (a+1 )v f ( b+2)D .不能确定【解答】解： f (X)= loga|x - b|为偶函数，. b= 0 f (X)= loga- b|在 ( -, 0)上是增函数

21、， 0V aV 1f (X)= loga-b|在(0, +)上单调递减， 0V a+1 V b+2 f ( a+1 )> f ( b+2).故选：B.【变式5.3】已知对数函数f (x)的图象过点(4,- 2),则不等式f (X- 1)- f (X+1 )> 3 的解集?)_【解答】解：令f (X)= IogaX,函数 f (X)的图象过点(4,- 2) , Ioga4=- 2, f (X)=任引彳,T不等式 f (X- 1)- f (X+1)> 3 可化为：1鸭1 (_1)-1鸥1 (芷+1)>3 ,TT回Y斗K+l2gg垃_1>0 ,解得：X (1.),故答案

22、为：(1,)÷l>0考点六反函数【例题6.1】下列说法正确的是()A .函数y= ax与y=(丄)X图象关于X轴对称aB .函数y= logax与y=lp图象关于y轴对称7C .函数y= ax与y= IogaX图象关于直线y = X对称D .函数y= ax与y= logax图象关于y轴对称【解答】解：令a = 2,分别作出对应的图象，由图象可知对于选项A,函数y= ax与y=(丄)X图象关于y轴对称，故不正确,对于选项B ,函数y= log ax与y= I图象关于X轴对称，故不正确，1对于选项C, D 函数y= ax与y= IogaX图象关于直线y= X对称，故C正确，D不正确

23、.故选：C.【例题6.2】函数f (X)=二x2+1 (x> 2)的反函数是()2A . y=：(1 XV 3)B. y= _':一 二(x> 3)C. y=- 一、_ (1 XV 3)D. y=-.二：(x> 3)【解答】解：由y =丄X2+1得X=二(y> 3) f-1 (X)=.：L , (x>3)故选：B.【例题6.3】设方程2-X=IlgXl的两个根为x, x2,则下列关系正确的是()A . OV X1X2V 1B . X1X2= 1C . X1X2> 1D . X1X2V 0【解答】解：T方程2X=|lgx|的两个根为X1和X2,由题意知

24、，Ov X1 v 1,x2> 1 .jV根据y= 2 X是减函数，可得 2 >2 S即Igx1>gx2,- Igx1 > Igx2,>x2, Ov x1x2v 1,故选： A .SI【变式6.1】函数y= f(x)是y= ax( a>0,且a 1)的反函数，则下列结论错误的是 ()A. f (X2)= 2f ( X)B . f (2x)= f ( X) +f (2)C . f (工)=f (X)- f (2)D . f (2x)= 2f (X)【解答】解：T函数y= f (x)是y= ax ( a>0,且a 1)的反函数， f (X)= logax,

25、f ( 2x)= Ioga2x= Ioga2+logax= f (x) +f (2), f (x2)= IogaX2= 21OgaX= 2f (x), f ( X)= Ioga X)= log ax - Ioga2= f ( X)- f (2),故 D 是错误的，故选： D .【变式6.2】已知函数f(x) = log2X,若函数g(x)是f(x)的反函数，则f(g(2)=()A . 1B . 2C . 3D . 4【解答】解：由函数y= f (X)= log2x,得X= 2y,把X与y互换，可得y= 2x,即卩g (X)= 2x, g (2)= 22 = 4,则 f ( g (2) = f

26、(4)= log24= 2.故选:B .【变式6.3】函数y= 2X|logo.5x|- 1的图象与X轴的交点个数为（）A . 1B . 2C. 3D. 4【解答】解：函数y= 2xogo.5- 1的图象与X轴的交点个数，就是f （X）= 2xlog0.5-1的零点个数，即方程2xlogo.5X- 1 = 0的根，即2xlogo.5X= 1, log0.5x=（丄）x,由图象知这两个函数图象有2个交点，即函数f （X）= 2xogo.5X- 1的图象与X轴的交点个数为2,故选：B.【作业1】利用对数的换底公式化简下列各式:(1) logac?logca；(2) Iog23?log34?log4

27、5?log52;(3) (log43+log83) (log32+log92).【解答】解：(1) ogac?IogCa=(2) Iog23?log34?log45?log52 =(3) (log43+log 83) (Iog32+log92) = (（二亠）£1匪？可酩61g2 '21g3【作业2】对数式log (a-2) ( 5- a)中实数a的取值范围是()A .(-,5)B.(2,5)C .(2, 3)(3, 5)D .(2,+)【解答】解：要使对数式b= log (a-2) (5- a)有意义，ra-2>0则 5-a>0 ,解得 a (2, 3)( 3,

28、 5),故选：C.La-21【作业3】已知函数.1-.1.-在.| I内恒有y>0,那么a的取值范围是A . a> 1B. 0 V av 1C. av - 1 或 a> 1D.或 IG<£【解答】解：令t = 2x+1 , X J二，I ,则0Vtv 1,2尸1%2-D (石+1)在区间(今，0)内恒有y>0， 0V a2- 1 V 1,即 1v a2v 2,解得，- 一：.：.故选：D.【作业4】若实数a, b满足loga2v logb2 ,则下列关系中不可能成立的是()A . 0v bV av 1B . 0v aV 1 V bC. a> b> 1D. 0V bv 1 v a【解答】解：根据题意，实数 a, b满足loga2v logb2,对于A,若a, b均大于0小于1,依题意，必有 0v bV av 1,故A有可能成立；对于B,若logb2>0> loga2 ,则有0v aV 1 v b,故B有可能成立；对于C,若a, b均大于1 ,由loga2v Iogb2,知必有a> b> 1,故C有可能成立；对于 D ,当 0v bv 1v a 时，Ioga2>0, Iogb2v 0, Ioga2v Iogb2 不能成立，故选：D.【作业5】已