实数的计算技巧拓展课

1、课程主题:实数的计算技巧拓展课课程目标：1、了解实数计算的常用方法：公式法、裂项相消法、因式分解法、整体换元法、构造2 、能较好地在解题时运用上述方法，提高数学计算的能力。课时安排：1课时教具准备：教学过程：数从自然数、分数扩展到有理数、实数后，数的运算从内涵到法则都发生了 变化，需重新建立，这种数的运算的变化主要是增加了负数，无理数。而且实数 的运算也是代数式四则运算的重要基础，因此在初一教学中的地位是至关重要 的。实数的运算主要包括：实数的相反数、绝对值和倒数的运算，实数的加、减、 乘、除、乘方混合运算以及新概念、新运算律的计算。然而实数的计算题型复杂 多样，解题方法灵活多变，远不止这些运

2、算法则，常用的方法有公式法、裂项相 消法、因式分解法、整体换元法、构造法等等。特别补充：（1） 数列：若干个数按照一定的顺序排列起来就是一个数列。例如：123,4,5 ；1,4,9,16,25 ；3,5,7,9,11,13。（2）等差数列：任意相邻的数之间的差都相等，我们就把这个数列称为等差数 列。（3）等比数列：任意相邻的数之间的比都相等，我们就把这个数列称为等比数列。典型例题一、公式法之求和公式 ：（1）1 2 3 n n（n 1）（n为正整数）若是差不为1的等差数列求和则是：（首项+尾项）*项数/2，这些公式其实已 经在小学就掌握了。例1:电影院有28排座位，后一排都比前一排多 2个座位

3、，最后一排有100个 座位，这个电影院共有多少个座位？分析：因为后排都比前排多2个座位，所以第2排比第1排多2个座位，第 3排比第1排多4 （2*2）个座位，第4排比第1排多6（ 3*2）个座位，依次类 推，第n排就比第1排多（n-1）*2个座位，所以最后一排比第一排多54（27*2） 个座位，已知最后一排100个座位，那么第一排是100-54=46个座位。所以总座 位数为：（46+100）*28/2=2044（个）反思：利用求和公式可以快速地计算出等差数列的和，从而提高计算的效率。n 1 （2）a aq aq2 aqn 1q （n为正整数）1 q除了等差数列的求和经常计算以外，我们还会经常碰

4、到等比数列的求和， 上就是等比数列求和的通用公式。例2:计算1 1丄丄丄丄3323334351分析：本题就是等比数列的求和，其中a 1,q - ,n 6，将它们代入公式即可算出结果。（3）122232n2 n(n 1)(2n 1)(n为正整数)36这是从1开始的连续平方数的求和公式。该公式往往跟之后要介绍的裂项相 消法结合到一起解题，所以这里暂不举例。二、裂项相消法 常用的拆项公式:1m n1 m1-(m, n为正整数);nmn211 1（n为正整数）;n(n1)n n131丄1)(m, n为正整数);n(nm)m nn m4211丄丄（n为正整数）;n(n1)(n2)n(n 1) (n 1)

5、(n 2)例3:设A 48 (J/1)，则与A最接近的正整数是()34441004A.18B.20C.24D.25分析：解决本题的关键是观察分母的特点，找出一般规律，根据规律化简。括号中各项的一般规律是：21 1 1( 1 1 )， n 4 (n 2)(n 2)4 n 2 n 2A 48 (1114)32442410021111111 148(1 -)(-)(-)( )452637981021 1111112(1)(-)2 398561021 111111121一 2 34991001011021111251299100101102所以A最接近25,故选D.反思：在进行实数运算时，先把题中的分

6、数拆成两个分数之差 （即裂项相消法）， 再利用加法结合律可达到化繁为简的目的。我们应善于观察，抓住特点，将推 理与计算有机结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度。49例4:设S97 9999则与S-T等于（）249.249249 .A.B. 1C.1999999D.24999分析：此题关键在计算S,而S中的每一项都可按照常用拆项公式分成两项:2 1 197 999799,这样此题的解答可化难为易S(1111、2 111）2(-)2 (-3557112222472483579799故ST1248，应选B.99解:反思：实数的有关计算方法灵活多变，常用到前面叙述过的拆项计算公式、 求和公式和有关

7、等量关系，使实数计算获得巧解。三、整体换元法该方法指的是把某一部分看做一个整体，并用一个字母替换的方法。分析：观察被减数与减数中因式之间的联系,适当换元，可将复杂的数值计算化例5:计算1 1丄231 1 1 111丄丄231 1 1 112007234200820082342007为简单的式的运算 解:11 1a2 32007、i11原式(1 a)(a)(1 a)a2008 2008 2008反思：换元法是初中阶段解决复杂问题的重要手段，应用较为广泛，通过换元可使复杂问题简单化，给解题带来方便。（四）构造法该方法涉及到之后的内容，所以当做了解即可。 例5:计算200920082007132 _

8、 3 12 3 12008分析：观察到题目中,3 1多次出现，因此可设,3 1 x，则x 1 ，两边 同时平方构造一元二次方程即可求得最终结果。反思：本题奇思妙想构造一元二次方程使复杂 问题得到了巧妙解决，当然这道 题还可以给前三项直接提公因式，再计算化简，同学们课下不妨可以去尝试一下。拓展性作业：（一）基础题：、(-2) 2-(2 )1996,o 1996/11995“丨 2 (- ) |=372、( 2 5)( V-)(93、1 2 3 4 5 6 , 1 1 14、1 22 33 46、111200120002000115、( 2004)2005 64120063(12007)=2111

9、1999199920013)2 ( -1)2 ( 0.1)340.12007=11999 2000 =7、 某班有51个同学，毕业时每人都要和其他同学握一次手，那么这个班共握了 手.（二）提高题8、 6+ 7 + 8 + 9 + + 74+ 75=.9、 2+ 6+ 10+ 14+ 122+ 126=.10、1+ 2一 3 + 4+ 5 6+ 7+ 8 9+ 58+ 59 60=(2+ 4+ 6+ 2000) ( 1 + 3+ 5+ 1999) =11、12、计算55 ( 93)64198 10031174( 3213、有一个数列：6、10、14、18、22,这个数列前100项的和是1.2003. 200419、计算120、表示一种运算，x1xy(x 1)(ya) 如果1 2213，计算111 114、 计算 1- 2 3(100f).238210015、 一个家具厂生产书桌，从第二个月起，每个月增加10件，一年共生产了 1