实数知识点题型归纳

1、第六章实数知识讲解+题型归纳知识讲解一、实数的组成1实数又可分为正实数，零，负实数2.数轴：数轴的三要素原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数对应二、相反数、绝对值、倒数1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数 a的相反数是-a。正 数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零 .性质：互 为相反数的两个数之和为0。2. 绝对值：表示点到原点的距离，数 a的绝对值为|a|13倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为-.0没有倒a数。4相反数是它本身的数只有0 ;绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）； 倒数是它本身的数是土 1.三、平方根与立方根1. 平方根：如果一

2、个数的平方等于 a,这个数叫做a的平方根。数a的平 方根记作< a（ a>=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。 开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。2. 立方根：如果一个数的立方等于 a，则称这个数为a立方根。数a的 立方根用3a表示。任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的 立方根，零的立方根是零。开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。四、实数的运算有理数的加法法则：a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b）异号两

3、数相加。绝对值相等时和为 0;绝对值不相等时，取绝对值较 大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加 等于原数。2. 有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。h - a+ （一五）3. 乘法法则：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都 得零.b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数 的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c）几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为04. 有理数除法法则：a）两个有理数相除（除数不为0 ）同号得正，异号得负，并把绝对值相 除。0除以任何非0实数都得0。b）除以一个数等于乘以这个数

4、的倒数。5. 有理数的乘方：在an中，a叫底数，n叫指数a） 正数的任何次幕都是正数；负数的偶次幕是正数，奇次幕是负数；0 的任何次幕都是0b）a0=1（ a 不等于 0）6. 有理数的运算顺序：a）同级运算，先左后右b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。五实数大小比较的方法1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数2）比差法：若 a-b>0 则 a>b; 若 a-b<0 则 a<b; 若 a-b=0 则 a=b3） 比商法：A.两个数均为正数时，a/b>1则a>b; a/b<1则a<bB.两个数均为负数

5、时，a/b>1贝U a<b; a/b<1贝U a>bC一正一负时，正数 >负数4） 平方法：a、b均为正数时，若a2>b2，则有a>b;均为负数时相反5）倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）题型归纳经典例题F面几个数:0.23类型一有关概念的识别,3 n,，其中，无理数的个数有 （ ）A、1B、2C、3D、4，3冗，是无理数故选C举一反三：【变式1 下列说法中正确的是（）A、的平方根是土 3B、1的立方根是土 1 C、-1的立方根是1,± 1 D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，=9, 9的平

6、方根是土 3, A正确.是5的平方根，二B、C、D都不正确【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是（）A、 1B、1.4C、D、对应的关系 正【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的 方形的边长为1,对角线为,由圆的定义知,故选C.【变式3 【答案】冗=3.1415,9 < 3< 103 20 vO因此3冗-9>0,类型二.计算类型题2.设,则下列结论正确的是（）B.A.D.c.解析：(估算)因为以选B方根是 227举一反三：【变式11 1)1.25的算术平方根是立方根是) 3.2)

7、 -3. 3)【变式 2】求下列各式中的(3)(2)【答案】（1）(2) x=4或 x=-2 (3) x=-4类型三.数形结合3.点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A, B两点的距离为解析：在数轴上找到 A、B两点,举一反三【变式1】如图，数轴上表示1,的对应点分别为 A, B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是（）.A.-1 B. 1-C. 2-D2【答案】选 C 变式 2 已知实数在数轴上的位置如图所示：化简类型四.实数绝对值的应用(1)4.化简下列各式:-1.4 |-3.1421I(4) |x-|x-3| (x <3)(5) |x 2+6x+10|分析：要正

8、确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、 负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值解：= 1.414-1.4-1.4|=1.4(2) v =3.14159< 3.142a |-3.142|=3.142-冗|=(4) / x< 3, x-3 < 0, |x-|x-3|=|x-(3-x)|=|2x-3|说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。(5) |x 2+6x+10|=|x 2+6x+9+1|=|(x+3) 2+1|. (x+3)2>0, a (x+3)2+1 >0 |x2+6x+

9、10|=x 2+6x+10举一反三：【变式1 化简:答案】类型五实数非负性的应用5.已知:=0,求实数a, b的值分析：已知等式左边分母能为0,只能有>0,则要求a+7>0,分子+|a2-49|=0 ,的和的性质知：3a-b-0且a2-49-0 ,由此得不等式组从而求出a, b的值由非负数解：由题意得由得 a2 =49 a=±7由侍a>-7, a-7不口题意舍去。只取a=7把a=7代入得b=3a=21.a=7, b=21 为所求。举一反三：【变式1已知(x-6)2 +|y+2z|=0 ,求(x-y) 3-z3 的值。+|y+2z|=0解：v (x-6)2+且(x-6

10、) 2> 0,> o, |y+2z|>0,几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0解这个方程组得 (x-y) 3-z3=(6-2) 3-(-1)社64+仁65那么a+b-c的【变式2已知值为【答案】初中阶段的三个非负数:a=2,b=-5,c=-1 j a+bc=2类型六.实数应用题6.有一个边长为 11cm的正 方形和一个长为13cm ,宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积 之和的正方形，问边长应为多少cm。解：设新正方形边长为 xcm ,根据题意得 x2=112+13X8x2=225.x= ± 15边长为正，二x=-15不合题意舍去， 只取 x=15

11、(cm)答：新的正方形边长应取 15cm o举一反三：【变式11拼一拼，画一画： 请你用4个长为a,宽为b的矩形拼成一个 大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。(4个长方形拼图时不重叠)(1) 计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么(2) 当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2,求中间小正方形的边长.解析：(1)如图，中间小正方形的边长是:大正方形的面积，所以面积为一个长方形的面积所以,答：中间的小正方形的面积（或发现的规律是:大正方形的边长:小正方形的边长:，即又积比小正方形的面积多大正方形的面24 cm2所以有,化简得:代入，得:cm答：中间小正方形的边长 2.5 emo类型七.易错题7.判断下列说法是否正确(1)的算术平方根是(2)的平方根是土 15.-3;(3)当x=0或2时,(4)是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数故(2)表示225的算术平方根，即求15的平方根,"5实际上，本题是的平方根是(3)注意到，当x=0时,显然此式无意义,发生错误的原因是忽视了 “负数没有平方根”，故x工0,所以当x=2时，x(4)错在对实数的概念理解不清形如分数，但不是分数，它是无理数.类型八.引申提高8.(1