高中数列知识点总结与讲解含习题

1、高中数列知识点总结1.等差数列的定义与性质定义：an1 an d (d 为常数)，an a n 1 d等差中项:x. A, y成等差数列2A X y前n项和:a1 a n nn n 1Sn-na1d2 2性质：(1)右 m n P q ,则 ama.ap aq； (2)an 为等差数列Sn an2 bn （ a, b为常数，是关于n的常数项为O的二次函数）定义:nq （ q 为常数，q O ），a.2. 等比数列的定义与性质等比中项：X、G、y成等比数列G2 xy ,或Gg（q 1）前-项和：Sna 1 qn(要注意公比q)(q 1)1 qa1q性质：an是等比数列(1)若m - P q ,则

2、ara. ap aq3. 求数列通项公式的常用方法、公式法 例1已知数列an满足an 1 2an 3 2n , a 2 ,求数列a.的通项公式例2已知数列%满足ani an 2n 1, a 1 ,求数列an的通项公式。例3已知数列an满足an 13an 2 3n1, ai 3,求数列an的通项公式。三、累乘法丑 f(n)an 1例4已知数列an满足a1i 2(n 1)5nan, a 3 ,求数列an的通项公式。例 5 (2004年全国 I 第 15题，原题是填空题)已知数列 an 满足a1 1， an2a2 3a3 L(n 1)an (n 2),求a.的通项公式。四、待定系数法 (重点)例 6

3、 已知数列 an 满足 an 12an 3 5n，a1 6 ，求数列 an 的通项公式例 7 已知数列 an 满足 an 13an 5 2n 4，a1 1，求数列 an 的通项公式例 8 已知数列 an 满足 an 122an 3n 4n 5，a1 1，求数列 an 的通项公式五、对数变换法7,求数列an的通项公式例9已知数列an满足an 1 2 3n a5 , a六、换元法例12已知数列an满足an I 公式。1(1 4an . 1 24an),印1 ,求数列a.的通项164. 求数列前n项和的常用方法、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法3、1、等差数列求和公式：S

4、n2、等比数列求和公式：Snn(a1 an)n(n1)dnad22na1(q 1)a1(1qn)a1a.q(q 1)1 q1qnnSn kk 11n(n 1)24、Sn丄n(n 1)(2 n 1)65、 Snn k3彳n(n 1)2k 12例1求X 2 3Xn 的前n项和.n 的最大值.(n 32) Sn 1(2n1)xn 1例 2设 Sn= 1+2+3+ +, n N*,求 f(n)二、错位相减法（等差乘等比）例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3例 4求数列j,4r,r, ,n,前n项的和.、倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排 列（反序），再把

5、它与原数列相加，就可以得到 n个（a1 an）.1 2n 5Cn例 5求证：C0 3Cn 5C(2n V)Cnn(n 1)2n2 2Sin 88 Sin 89 的值2 2 2例 6求 Sin 1 Sin 2 Sin 3四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1 1 1例7求数列的前n项和：1 1,4,- 7, , n7 3n 2，a aa例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.、五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合

6、，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:(1)anf(n 1)f(n)(2)Si n1CoS n CoS(n1)tan(n 1)tan n(3)an1n(n 1)(4)an(2n)2(2n 1)(2 n 1)2 (2n 1(5)ann(n1)(n2)2n(n 1)(nn ann(n 1)2(n1) n 1n(n 1)2n1(n 1)2n1例9求数列 'II12 23的前n项和.例10在数列an中，anU，又 bn2an an 1,求数列bn的前n项的和.例11求证:1CoSo cos11cos1 cos 21cos12cos88 cos89 Sin 1六、合并法求和

7、针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此,在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 12求 cos1° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° 的值.2,an 2 an 1 an ，求 S2002. 例 14在各项均为正数的等比数列中，若例 13数列an: a1 1, a?3忌a5a69,求 log3a1log3 a2log3a10 的值.七、利用数列的通项求和然后再利用先根据数列的结构及特征进行分析， 找出数列的通项及其特征， 数列的通项揭示的规律来求数列的前 n

8、项和，是一个重要的方法 .例 15求 1 11 1111111之和.n个1例16已知数列an: an8(n 1)(n 3)(n1)(anan 1）的值.数列练习一、选择题21. 已知等比数列an的公比为正数，且33 39 =2as , a2=1 ,则a1 =1 42厂A.B.C. 2D.22 2I 匕；，、， 闵 +<3-> +如二 IeIH场 +«< +t3r 二 99十2. 已知为等差数列，贝U亠等于A. -1B. 1C.3D.73. 公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn若a4是a3与a7的等比中项S 32,则Si0等于A. 18B. 24C. 60D. 9

9、0 .4设Sn是等差数列an的前n项和，已知23 ,a611 ,则S7等于A. 13B. 35C. 49D. 635.已知an为等差数列，且a7 2 a4 1,a3 0,则公差d(A)- 2(B)- 21(C) 2(D)6.等差数列 an的公差不为零，首项a1 1, a2是和a5的等比中项，贝擞列的前10项之和C.145D.A. 90B. 100am 0，S2m 1 38 ,则 m(A) 38(B) 20(G) 10(D ) 9 .8.设an是公差不为0的等差数列,2且印43,比成等比数列,an的前n190 7.等差数列an的前n项和为Sn ,已知am 1 am 1项和Sn =2nA.47n4

10、2nB. 一35n3n2 3n C.242D. n n9.等差数列 an的公差不为零，首项a1 1, a2是和a§的等比中项，贝擞列 的前10项之和是A. 90B. 100 C.145 D. 190.二、填空题1设等比数列an的公比q ,前n项和为Sn ,则$ .2a42.设等差数列an的前n项和为Sn ,则S4 , S8 S4 , S12 S8 , S16 S2成等差数 列.类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn ,则T4 ,成等比数列.T123. 在等差数列a.中,as 7忌 a2 6,则a6.4. 等比数列a.的公比q 0,已知a2=l, a. 2 a. 1 6a.,则a.的前4项和S4三、大题1.等比数列a.的各项均为正数，且2a 3a2 I,a32 9a2a61).求数列a.的通项公式2)设 bn log 3 alog3a21log3 a.,求数列一的前项和.b12.已知等差数列。门满足a2=0, a6+a8=-10(I)求数列an的通项公式；2n 1(II )求数列2 的前n项和.2*.已知正项等差数列an的前n项和为Sn ,若S3 12 ,且2a1, a2,a3 1成等比数求an的通项公式；")记h 3的前n项和为Tn，求Tn.3.已知数列a满足 a=1,a2=3,a+2=3a+-2a (n N)(1)证明：数列a+-a