高二数学小练习(12)：导数应用题

1、高二数学小练做完后：订正，整理，装订成册小练习(12)导数应用题1. 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 ?的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 ?两厂要在此岸边 A，D之间合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站 C建在何处才能使水管费用最省？2. 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60?的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E，F在AB上，是被切去的一个等腰直

2、角三角形斜边的两个端点.设？?= ?= ?(?)(1) 若广告商要求包装盒的侧面积？?(?最大，试问X应取何值？(2) 某厂商要求包装盒的容积 ？?(?最大，试问X应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.5.21导数应用题一、解答题(本大题共 2小题，共24.0分)1. 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40?的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 ?W厂要在此岸边 A，D之间合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？【答案】 解：据题意知，只有点C在线

3、段AD上某一适当位置，才能使总运费最省,设C点距D点xkm,如图所示，贝U ?= 40 , ?= 50 - ?.?= ?+ ?= 40 + ?,又设总的水管费用为 y元，由题意得？?= 3?(50- ?)+ 5?V? 40?= 4?= 8?(30- ?)= -8(? - 15)2 + 1800 ,所以当？?= 15时，S取得最大值. ? = ? = 22(-? 3 + 30?力,?= 6½(20- ?)(0 < ?< 50),5?= -3? + ?,令?= 0,解得？?= 30 , 在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际意义，函数在 ？?= 30(?处取得最小值，此

4、时？= 50 - ?= 20(?),故供水站C建立在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.【解析】 本题考查函数模型的应用，利用导数研究函数的最值，导数的运用等知识，属于中档题根据题设建立数学模型，借助图象寻找各条件间的联系，适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导，求出 最值，可确定C点的位置.2. 请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD是边长为60 ?的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A, B, C, D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E, F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设？?= ?=

5、 ?(?)(1) 若广告商要求包装盒的侧面积？?(?最大，试问X应取何值？(2) 某厂商要求包装盒的容积 ？?(?最大，试问X应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【答案】解：设包装盒的高为？(?)底面边长为？?(?)由已知得？?= 2?60-2?=2(30 - ?) 0 < ?< 30 .由？'= 0,得?= 0(舍去)或?= 20 .当? (0,20)时，?> 0 ;当？? (20,30)时，?< 0 .所以当？?= 20时，V取得极大值，也是最大值.此时?=1即包装盒的高与底面边长的比值为2.属中档题.【解析】 本题考查函数模型的应用、二次函数的性质、柱体体积、导数在解决实