高斯小学奥数四年级上册含答案第05讲_加法原理与乘法原理

1、第五讲加法原理与乘法原理“加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了， 今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法先举 个例子：餐厅里有4种炒菜和2种炖菜，4种炒菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清 炒虾仁和三鲜豆腐，2种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式也就是说，可以点： 红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有 4 2 6种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜这就是加法原理.加法原理：如果完成一件事有几类方式，在每

2、一类方式中又有不同的方法, 那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一 个点菜组合，点炒菜是一第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可炒菜选红 烧鱼块的点菜方法有2种：（红烧鱼块，土豆炖牛肉）、（红烧鱼块.萝卜炖排骨）. 类似地，选滑溜里脊的也有2种：（滑溜里脊，土豆炖牛肉）、（滑溜里脊，萝卜炖排骨）;选清炒虾仁的也有2种：（清炒虾仁，土豆炖牛肉）、（清炒虾仁，萝卜炖排骨）；选三鲜豆腐的也有2种：（三鲜豆腐，土豆炖牛肉）、（三鲜豆腐，萝卜炖排骨）合在一起就有4 28种点菜方法，其中4代表4种炒菜.2代表2种炖菜这就是乘法原理乘法原理

3、：如果完成一件事分为几个步骤在每一个步骤中又有不同的方法, 那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数.例题1小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机经 过网上查询，出发的那一天中火车有4班 汽车有3班 飞机有2班.任 意选择其中一个班次，有多少种出行方法？分析选择不同的交通工具是分类还是分步？是用加法原理还是乘法原理呢？练习1书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本 书，有多少种不同的取法？例题2用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、门、 窗四个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共 有多少种不同的染色方法？分析要给四个部分染色，我们很容易想到要依

4、次染每个 部分，这是分类还是分步呢？只染一个部分能完成这件事 情吗？练习2用红、黄两种颜色给图中鸭子的眼睛、嘴巴、身子 三个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少 种不同的染色方法？分案指完成一件事情有几棊同方法，从中任意跣一捷可，它创阿以相互替代，任意遞一第可以完成性事輕情况下一般要用到加法原理分步是指完成一件事情有几步不同步骤 每一步都必痢它焰痢可以相互替代, 少一步都不能完成建事毬情况下一般要用到乘法原理例题从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路,从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路如果要求所走路绒能重复，那么从甲地到 丙地共有多少条不同的路线分析要从甲地到丙地，就必邇径

5、乙、丁两地之一甲f乙I丙与呷T丙"遠董銭有多少条呢？练习任意两地之曲路线已在下图标出来，如果要求所走路统能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线通道面逑个例题我创结下加法原理与乘法原理之的区别加法原理下列要求：I-只能辭中媒啖而不能几圈遊2类案阿以相互替代，只需要嫁離可以满要求比如例题扎稅、火戟汽垂可以随意撞的，小高一家人飓中一种交通工具，就能到达目的地了-乘法原理步与步之满足下5厦求:1- 每步都只是整件事情的一个部分，必须部完成才能满纶2- 步骤前有先后的廉I先确定好一步，再做下一步， I直到比如例题2中，衣服和帽子都要选择，只是可以有先后的步骤关系.在这里， 衣服和帽子先选

6、哪种都可以但有的时候却不能随意安排顺序，这种问题稍微难 些，我们在曰后会接触到加法原理与乘法原理的混合有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系这时应该分清主次关系， 弄清楚到底是“分类中含有分步”，还是“分步中含有分类”.如果是某一大类里 面又可以再分为几小步，那么应该这一类里用乘法原理进行计算，最后再用加法 原理把各类中的情况加在一起，比如例题 3.当然我们以后也会碰到某一大步里 面又可以再分为几小类的情况，这就要先用加法原理算出每一大步中有多少种情 况，再用乘法原理把总数算出来在本讲的最后，我们来介绍标数法标数法是解决路径条数问题的重要方法如下图所示，我们要计算蚂蚁从A点沿箭头的方向爬到

7、B点的不同路线有多 少条由于蚂蚁只能向上走或者向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有一种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论（特别地，我们把A点处标上1,表示蚂蚁从A点出发到达A点，只有原地不动这一种方式）我们用标数法标出蚂蚁到达每个点的路线数，已经得到的结果如下图所示-容易看出，蚂蚁可以从C点或者D点到达E点，而且只有这两类不同的方 式，那么我们可以在E点处标上数字1 1 2 （把C点与D点的数字相加），表示蚂蚁到达E 点有两条路线同样道理，蚂蚁可以从 E点或者F点到达G点，那么蚂蚁到达G点就有2 1 3条路线（把E点与F点的数字相加）最后可以得到蚂蚁到达B点有4条路线，

8、如下图所示.例题4在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只 能向上或向右走一步，共有多少种不同走 法？分析标数法其实就是要找到前一步可能在的所有点，把它们的方法数加起来.练习4在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？B例题老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数, 减数必须是两位数请问墨莫共有多少种不同的写法？分析被减数与减数都有很多种写法，只写其中一个能完成这个减法算式吗？写被减数和写减数是写出减法算式的两类还是两步？例题6书架上有三层书，第一层放了"5本小说，第二层放了 2本漫画，第三层放了 5本科普书，并且这些书都各不相同

9、请问：（1）如果从所有的书中任取 4本，共有多少种不同的取法？（2）如果从每一层中各任取 4本，共有多少种不同的取法？（3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？分析从第一层取1本书、从第二层取1本书、从第三层取1本书，这三件事 对于前两问来说是分类还是分步？课堂内外加减乘除的由来加减乘除（+、-、X、÷ ）等数学符号是我们每一个人員熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们别看它们这么简单，直到17世纪中叶才全部形成法国数学家许凯在1484年写成的算术三篇中，使用了一些编写符号，如用 D 表示加法，用M表示减法这两个符号最早出现在德国

10、数学家维德曼写的商业速算 法中，他用“十”表示超过，用“一”表示不足.到仮4年，荷兰的赫克首次用“十” 表示加法，用“一”表示减法.1544年，德国数学家施蒂费尔在整数算术中正式用“十”和“一”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用以符号“X ”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的他于 1631年岀版的数学之 钥中引入这种记法据说是由加法符号“ + ”变动而来，因为乘法运算是从相同数的 连加运算发展而来的后来，莱布尼兹认为“X ”容易与“ X"相混淆，建议用“ ?'表 示乘号，这样，“ ?也得到了承认除法符号“÷ ” I最初这个符号是作为减号在欧洲大陆

11、流行，奥屈特用“：”表示 除或比，也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了 “÷ ” 瑞士的数 学家拉哈的著作中正式把“÷ ”作为除号符号“÷ ”是英国的瓦里斯最初使用的，后 来在英国得到了推广除的本倉是分，符号“÷ ”的中间的横线把上、下两部分分开， 形象地表示了 “分” 至此，四则运算符号齐备了 l +l×课堂内外加减乘除的由来加减乘除（+、-、X、÷ ）等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们别看它们这么简单，直到17世纪中叶才全部形成法国数学家许凯在14

12、84年写成的算术三篇中，使用了一些编写符号，如用D表示加法，用M表示减法-这两个符号最早出现在徳国数学家维徳曼写的商业速算 法中，他用“ + ”表示超过，用“一”表示不足.到讪4年，荷兰的赫克首次用“ + ” 表示加法，用“ 一”表示减法 1544年，徳国数学家施蒂费尔在整数算术中正式用“ + ”和“ 一”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用以符号“X ”代表乘是英国数学家奥特雷徳首创的他于1631年出版的数学之钥中引入这种记法-据说是由加法符号“ + ”变动而来，因为乘法运算是从相同数的 连加运算发展而来的后来，莱布尼兹认为“X ”容易与“,相混淆，建议用“ ?表法国数学

13、家许凯在1484年写成的算术三篇中，使用了一些编写符号，如用D表示加法，用M表示减法-这两个符号最早出现在徳国数学家维徳曼写的商业速算 法中，他用“ + ”表示超过，用“一”表示不足.到讪4年，荷兰的赫克首次用“ + ” 表示加法，用“ 一”表示减法 1544年，徳国数学家施蒂费尔在整数算术中正式用“ + ”和“ 一”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用以符号“X ”代表乘是英国数学家奥特雷徳首创的他于 1631年出版的数学之 钥中引入这种记法-据说是由加法符号“ + ”变动而来，因为乘法运算是从相同数的 连加运算发展而来的后来，莱布尼兹认为“x ”容易与“,相混淆，建议用

14、“ ?表法国数学家许凯在1484年写成的算术三篇中，使用了一些编写符号，如用D表示加法，用M表示减法-这两个符号最早出现在徳国数学家维徳曼写的商业速算 法中，他用“ + ”表示超过，用“一”表示不足.到讪4年，荷兰的赫克首次用“ + ” 表示加法，用“ 一”表示减法 1544年，徳国数学家施蒂费尔在整数算术中正式用“ + ”和“ 一”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用以符号“X ”代表乘是英国数学家奥特雷徳首创的他于1631年出版的数学之钥中引入这种记法-据说是由加法符号“ + ”变动而来，因为乘法运算是从相同数的 连加运算发展而来的后来，莱布尼兹认为“X ”容易与“,相

15、混淆，建议用“ ?表法国数学家许凯在1484年写成的算术三篇中，使用了一些编写符号，如用D表示加法，用M表示减法-这两个符号最早出现在徳国数学家维徳曼写的商业速算 法中，他用“ + ”表示超过，用“一”表示不足.到讪4年，荷兰的赫克首次用“ + ” 表示加法，用“ 一”表示减法 1544年，徳国数学家施蒂费尔在整数算术中正式用“ + ”和“ 一”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用以符号“X ”代表乘是英国数学家奥特雷徳首创的他于 1631年出版的数学之 钥中引入这种记法-据说是由加法符号“ + ”变动而来，因为乘法运算是从相同数的 连加运算发展而来的后来，莱布尼兹认为“x ”容