高考数学(文)命题热点三角函数的图像与性质中的易错点(解题技巧+注意事项+考点要求)

1、专题11三角函数的图像与性质中的易错点一.学习目标1. 理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性.2. 会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期.3. 理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题.二.方法总结1. 三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：(1) 首先看定义域是否关于原点对称；(2) 在满足(1)后，再看f(-x)与/(x)的关系另外三角函数中的奇函数一般可化为J=ASin 3或J=Atan皿,偶函数一般可化为J=Acos ,v+的形式2. 三角函数的单调性(1) 函数J=ASilI(+)(A>

2、0, >0)的单调区间的确定，其基本思想是把处+卩看作一个整体，比如：由 Ikn-IL<x+<2kn+kZ)解出X的范围，所得区间即为增区间.2 2若函数J=ASin(.v÷)中A>0, GV0,可用诱导公式将函数变为y = Asin( -),则J=ASin(w.v 一U)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.对函数J=ACOS('+?), J=Atan单调性的讨论同上.(2) 三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：先判断正负；利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；再利用单调性比

3、较.3. 求三角函数的最值常见类型：(1 )y =Asin('÷)-B 或 J=Atai()+B,(2) )=A(Sin xdp+B,(3) y=A(Sinx±cosx)÷sinXCOSx(其中 A, B, a, R, A0, 0).三.函数图象与性质需妾掌握的题型(一) 三角函数图象平移(二) 三角凿数的零点(三) 函数的单调性(四) 函数的解析式(五) 三角函数图象综合(六) 三角函数的奇偶性（七）三角函数的对称性（）三角函数的最值（九）三角凿数与数列的综合（十）三角函数的周期性四.典例分析（一）三角函数图象平移y = sinf2x 一 R例.为了得到

4、函数' "丿 的图象，只需将函数y = 2图象上所有的点（）33A.向左平行移动E个单位长度B.向右平行移动E个单位长度C.向左平行移动©个单位长度 D.向右平行移动©个单位长度【答案】B【分析】根抿诱导公式将函数丁 = com变対正弦函数，再减去乎得到丁 = Sin（2x - ）.【解析】函数 y = CQS2 兀= Sini（2x + ） = sin 2 （X - ） +f = SiE 2x - ）,故将函数图像上的点向右平移討个电位得到厂金O - ）o故答秦为;B.【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题.首先保证三角函数同爼，不是同劣通过诱导公式化为

5、同名, 在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将X的系数提岀来，针对X本身进行加减和伸缩. 练习1.为了得到y=-2co血的图像，只需把函数y = xf3si2x-cox的图像（）IrA.向左平移空个单位长度B.向右平移空个单位长度C.向左平移&个单位长度D.向右平移&个单位长度【答案】D【解析】【分析】逆用两角和的余弦公式，胪=褂血益YaS2r=2mp（x + £再分析两个函数图象的变换.【详解】因为要得到函数y =- 2cos2x ,只需将y = 3sE2KYaS2上的图象向右V移个单位长度即可.故选d.【点睛】本题考査了三角函数的图象与变换，考查了两角和

6、的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换 问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.(二)三角函数的零点f(x) = Sin(X + !Hcosfx 十 耳 + COSiX - log2x -例2函数I4丿I 4丿2的零点个数为A. 1 B. 2 C. 3 D 4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0转化为两个函数的图彖交点个数问令fd) = 0,即咖2龙=呵2凶在同一坐标系中画出函数y = cos2x和y = S02的图象,如图所示，两个函数图象有两个不同的交点.所以函数f(x)的零点个数为2个，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根

7、据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化 为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考査了转化思想 和数形结合思想的应用.练习1.设函数/G)为定义域为R的奇函数，且/'3=(2r),当XGO,1时，/(x) = SinXt则函数 曲)=I阪(切I 一心)在区间-3,5±的所有零点的和为A. 10 B. 8C. 16 D. 20【答案】B【解析】根据函数是宦义在R上的奇函数得函数f(x)图像关于原点对称，又由 = (2-)f得函数“町图 像关于直线尤=1对称，故而得岀函数f(Q是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。【详解】因为

8、函数f(Q为左义域为R的奇函数，所以心力-fM,又因为w=(2r,所以-*) = (2-),可得/d + 4) =(x),即函数f()是周期为4的周期浙认 ny=fM 图像关于直线 = 对称。g)=ICOS(rt)-JT(X)区间-3,5止的零点，即方程 ICoSg)I=心)的根,分别画出y = ICoS(TDC)卩Jy = f (刃的函数图像,因为两个函数图像都关于直 = I对称，因此方程ICOS(TrX)I =代工)的零点关于直线兀=1对称,山图像町知交点个数为8个，分别设交点的横坐标从左至右依次为®力也心乜也，则勺+ 6=>f2+jvs = r3 + r4 = 2所以所有

9、零点和为&故选B.练习2.=PA.有极值 B有零点 C.是奇函数 D.是增函数【答案】D【解析】由x<0,求得导数判断符号，可得单调性：再由三次函数的单调性，可得x0的单调性，即可判 断正确结论【详解】由 XVO, f(X)=X - sinx导数为 f(X)=1 cosx, 且 f (X) 0, f (X)递增 f (X) >0： 又 x0, f (x) =x3+1 递增，且 f (O) =l>0-SinO, 故f (X)在R上递增：f(X)无极值和无零点，且不为奇函数.故答案为：D练习3.已知*) =+若函数W = A(X)-rn在XG(O刀)上有两个不同零点伏则C

10、OS(Cr + )=1【答案】2【解析】通过两角和的正弦公式得到函数的解析式，再通过换元结合正弦函数的图像得到两根之和，进而得到结果.【详解】亍进而得到÷x2 = jGs(+/?)=-.函数"(/) = /V) - m在X (0,Tr)上有两个不同零点, 即函数f(x)和y=n两个图像有两个不同的交点， 做出函数y=sint,和y=m的图像， 通过观察得到 ta ÷ C2 =>x1 ÷ X2 ÷ 3"=肝+ X故答案为：2.(五) 三角函数图象综合例5.函数；'-YI=X2在心兀上的图象大致为()A.BC.练习1.函数的

11、图像大致是(【答案】D【解析】由题易得函数/W是奇函数,所以其图象关于原点对称,排除选项B、C,当O VjVVTr时，.心)>0, 排除选项A故选D.AZLn V【答案】AOi Y2x"SlX【解析】伙I为函数 円=叮化简为几g 可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C:4xsinx +2cosx+2x2coSX 2x (2SinX +osx + xcosx同时有yr=(x)=' 丿=''故函数存v(0 )>OJJlj-(O, 2)上单调递增，排除答案B和D' 22故选：A.点睛：识图常用的方法(1) 宦性分析法：通过对问题进行定性的分析

12、，从而得岀图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决 问题;(2) 定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题：函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.练习2函数l=2x-tanx在一 一 |上的图像大致为() (22丿1)【答案】C77f【解析】试题分析：因为函数/()的定义域为关于原点对称，且2 1)f-x =-2x+tanx = -(x) J所以函数/(%)的图像关于原点对称，排除A、B选项，在同-N角坐标(E系中，作出函数y = 2x, y = tanx在(一_,_J的图像，山图可知故在x>0时，靠近y轴的部分满足2x > ta

13、nv ,比较选项C、D可得答案C正确.;Li;- 3-2(六) 三角函数的奇偶性例6l己知函数/(x)=sin(2r+«)在X=I 2时有极大值，且/(-0)为奇函数，则4獅一组可能值依次为()H 6 12B. H?12 C. 3' 6D.Jl ?6【答案】D料KP<z=2+ 3 » Z< Af B均不正确.由代x_B)是奇函数得人一 X【解析】依题意得2×l2÷=21÷T.=0, sin(20)=0.¾5-=畑n bZ,结合选项C, D 取=3 得B= 2+G 2Z,故选 D.-B'= 一代Xm 即戏一-

14、b)+y(X 0)=0,函数用)的图象关于点(一艮0)对称n=Q, sin(2尸+) 开k2f (x) = SifI (DX+) + COS(O)X>0z<）2的最小正周期为兀且f(rx)=fx)练习设函数 则（）A. /（X）在（0,也2【答案】AKMtfil 试题分析：由丁 =兀得 0=2,八 *) = Siil (2x+0 + cs(2x+ 卩)= Jisin : 2尤+卩 + 寸 j, 又 j<-=（-） = （）?则卩=彳，即 wf（x） =dsinj 2x+彳+ 彳 j = Vicos2x 当 KWa守吋， 2x （OS f /（乂）递减，故选 A.考点：函数几刃

15、"叭敛+妙的解析式，函数的奇偶性，单调性.（七）三角函数的对称性 nn/匕丰刃-G-r)/(-)例7函数fix)=2cos(x+)(Q)任意X都有4°,贝J 4等于()A. 2 或() B 2 或 2 C. 0 D. 2 或 0练习1.已知函数"丿J叫处F对任意X都有【答案】B【解析】由 斤ILGT得 X=T是函数.的一条对称轴，所以.h）=±2,故选B. z+zk6丿（鬲等于A. 2 B. 0 C. 一2或2D. -2【答案】C/茫+_ _x 【解析】因为函数几刃=2皿近+卩）对任意X都有JJ .所以/0）关于宜线X=空对称*G) =2siO+

16、69;的最大值或最小值，即-2 .或 2."U丿 故选C.(八) 三角函数的最值2例8.已知函数f(X)=Asin(x÷)(A, , 均为正的常数)的最小正周期为Tn当X = 一 时，函数f(X)取得3f(-2)<f(0)B. f(0)<f(2)<f(-2)最小值，则下列结论正确的是()A. f(2)VC f(-2)<f(0)<f(2) D f(2)<f(0)<f(-2)【答案】A【解析】I人伪函数x)=sin(ear+)的显小II：.'Ajyj为兀，所以Q=2' Z-Ix= %1. J(X)取3_ 2 _ 彳川小值

17、,则X=2L是经过函数/(x)最小值的一条对称,x=T-2 = 6是经过函数/G)最大值的一312-兀65-126条对称轴，因为2.-2,0 且,所以f(2)5-2)50),心5-2)5°)；故选 A.点睛：本题考査三角函数的性质：比较三角函数值的大小时，往往将角转化到冋一个单调区间上，而本题 中 将2, -2,0难以转化到同一个单调区间上，而是利川对称性和开口方向进行比较.练习1.已知函数/(X=4sin- cos-(>0)在区间_匹吾上是增函数，且在区间o,同上恰好 I 23 I取得一次最大值，则"的取值范围是()A. (0,l B.(0,和 C. l,+) Dr

18、I 31 可诃【答案】D【解析MG)=4sin学-cos=2Sin处，又函数/(x)1区间彳NI I- M函数，“任区间,刃 'I 23 2兀一 1 2< -X34©'1 2 5 2兀X 7<-× 4少4Q,解得:上恰好取得一次垠大值,24故选：D练习2.已知函数几刃F"Qc°'g (Q 0),若存在实数无，使得对任意的实数,都有 /()(a-), + 2016j7"'恒成立，则溺最小值为()I2016;T03NA, 2016B* 4052 D.【答案】BC4【解析】CH)=CMXCOSOr=才加2q

19、(“>0，所以周期J,存在实数x ,使得对任意的实数x, 0T 冗都有 f( )()( + 2016>t)恒成立，则2016-=-懈得：CI丄，故选 B04032(九) 三角函数与数列的综合Sn =Sin-÷sin + - + sin一+sin fw /V*'） C 例9若5'55,则19 2s ' 2is中值为O的有（）A. 200 B. 201 C. 402 D. 403【答案】C【解析】不难发9"屛+册岂+十“空=氐=気齢血竺+劲竺=O在10个位组里而仃两个值为0,那么在¾¾=-=8 IlI冇201X2 = 40

20、2故答案选C/(x) = 2sin' 2x÷- ；g(x)练习1 函数亠WCOS 2x- -2w÷3(w> 0)7t在学卜使得 貞坷）=门花）成立，贝恢数 7的取值范围是（a"B.D.、5,若对任意A-I |_0, -J ,存【答案】D刃【解析】 'bpo,訂时,2x + -371 57136U)1,2,对于刃 2r-f = 当汽0,訂时， 6Ti 65*S-.cos 2x-j： 61g()3w + 3.-w + 32g(x= WCOS 2x- -2/ + 36丿刃T 对任 U： -1 |_0, -J -W+3 < 2.一診+ 3 21

21、解得实数m的取值范阳是if.故选：D.点睛：函数中的方程有解问题：（1）若为一元方程，通常有两个方法：要么画函数的图象，研究图象与X轴的交点即可；要么将方程整理成两个函数相等，画两个函数的图象求解即可：（2）若为二元方程，通常是转成研究方程左右两边的函数的值域的包含关系即可.f （） = ASi nx +练习2.函数'&丿<>0）的图象与辆正半轴交点的横坐标构成一个公差为2的等差数列,若要得到函数"（刃=AS,rW图象，只要将几兀）的图象（）个单位TrTTnrA.向左平移S B.向右平移& C.向左平移12D.向右平移12【答案】D【解析】正弦函数

22、图象与啪相邻交点横坐标相怎为丫个网期即2 0,又因为 2 ,所以=2 ,f(tx) = Si n (r + ?) s 2(x ÷ £)则6 =12,所以只要将函数门兀)的图象向右平移12个单位就能得到gx) = sinx的图象，故选A.考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角函数图象的平移变换.(十)三角函数的周期性例10.函数)= I血co闵的最小正周期为()3A. 2 B. 2 C. n D【答案】C【解析】化= inX-COSX)2 = l-SinZX I利用周期公式研肘：壮【详解】因为函数fM=sinx-cx【解析】利用三角函数周期公式，奇偶性以及图像即可得出结果.

23、【详解】若M均为第一象限角，且心亿如2 5+了 3 =2Tre但杲沁丄引叩 > 因此不正确.若函= 2cosx-7,;的最小正周期杲"，则*=",解得Q = ±因此不正确 由函数）=空W 可知SiW -1 = 0,而sir.,r= 1,得到龙=2.÷fft e 7）可知此函数的定义域关于原点不对称同此不是奇函数:故不正确;若函数故函数1y = SinX 2的周期是几由周期怎义知1y = SinX-2的周期不是心故不正确.2snxrr 0 （UVo炉20时.SinX-1,1,可知函数的值域为-2,2故仆加:©都不正确.f (tx + ) =

24、 Sln(Jf ÷)-iy = SinX + SinIXI = 综上可知:<)资讯站 WhJ I 官网站 WWW故选：D./W= tgnr-r练习2. （2018年全国卷In文）函数 1 ÷rz X的最小正周期为B.2 C.兀 D. 2r【答案】f tanx2【解析】将函数1 ÷c X进行化简即可SiTIX.IanXCOSX1/ (H) = = SinXCoSJC = -5frr2r1 + B2jr 十(WZ2详解：由已知得 的最小正周期 2T = = 2 雌UCOSXJ练习3下列函数的周期为兀的是（） y = 2x÷2m2h y""*A. B. (D©C【答案】D【解析】利用V 12) 12) I y = sin2x的周期不是J 可排除选项EC ；利用曲)=1 + 3sn2x + J,排除4从而可得结果【详解】设f(Q=酗I纠,则 (1 二"用2刘的周期, 不合题意,排除BGff(x) = 1 + 3sin VZX +&(* + Jr) = 1 + 35in 2x资讯站 WhJ I 官网站 WWW故兀是9(刃的周期，符合题总，排除儿 故选D.【点睛】用特例代替题设所给的一般性条