特殊平行四边形提高训练

1、特殊平行四边形提高训练特殊平行四边形提高训练一 选择题（共16小题）1. （2016?灵璧县一模）如图所示，矩形 ABCD 中，AE 平分/ BAD 交 BC 于 E, / CAE=15 ° : 则下面的结论：厶ODC是等边三角形；BC=2AB ;/ AOE=135 ° S"=S COE ,其中正确结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. （2016?鄂州一模）如图，在矩形 AOBC 中, 点A的坐标（-2, 1）,点C的纵坐标是4,则B、C两点的坐标分别是（）7XA（£言）、（寺，4)B.(即 3)、（-知4)C（号，3）、（一1，4)D

2、.（舟，9、（1，4)3. （2016?石峰区模拟）矩形 ABCD中，AB=2 , AD=1，点M在边CD上，若AM平分/ DMB , 则DM的长是（）A 亨B*C. Q号D .卩皿4. （2016?姜堰区校级模拟）矩形 ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边,EF=a，CE=2a，连接 BD、BF、DF，则 BDF 的面积是（）A. 32 B. 16 C. 8 D. 16+a25. （2016?灯塔市二模）如图，在矩形ABCD 中, AB=3，DC=2，O 是 AD 的中点，连接 OB、OC， 点E在线段BC上（点E不与点B、C重合）， 过点E作EM丄OB于M，EN丄O

3、C于N，贝V EM+EN的值为（）A 6 B. 1.5 C. # 1 D. t-.'i6. （2016?肥城市二模）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4: 3,则这个菱形的 面积是（）A 12cm2 B 96cm2C 48cm2 D 24cm27. （2015?丹东）过矩形ABCD的对角线AC的 中点O作EF丄AC ,交BC边于点E,交AD边 于点F，分别连接AE、CF .若AB=:；,/ DCF=30。，贝V EF 的长为（）A. 2 B. 3 C. ； D.& （2016?天津一模）如图，菱形 ABCD的对角 线AC、BD相交于点O, AC=8 , BD=6，过

4、点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的 距离OH等于（）A 2 B. -C 一 D.亍4359. （2016?和县一模）如图，菱形 ABCD中，点 O对角线AC的三等分点，连接 OB、OD，且OB=OC=OD .已知AC=3，那么菱形的边长为（ ）A. ； B. 2 C./ D.10. （2016?丹东模拟）如图，在菱形 ABCD 中, 对角线AC，BD相交于点O,点E为BC的中 点，则下列等式中一定成立的是（）A. AB=BE B . AC=2AB C. AB=2OED. AC=2OE11. （2015?西城区二模）如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A

5、的坐标为（1，如），则点C的坐标为（ ）A （:，1） B （ 1,） C （：；,1）D（-，-1）12. （2015?桐庐县模拟）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC=6，点P是对角线AC上的一点, 过点P作PF丄AD , PE丄CD，贝V PF+PE的值 为（ ）A. 3 :B. 3 C. 2 D. 613. （2015?本溪二模）如图，在矩形 ABCD中, AD=2AB , E、F分别是AD、BC的中点，连接 AF与BE、CE与DF分别交于点M、N两点， 则四边形EMFN是（ ）A .正方形B.菱形C .矩形D .无法确定14. （2015春？石林县期末）如图，在正方形ABCD 的外

6、侧，作等边三角形ADE，连接CE，与对角线BD交于F，则/ BFC为（ ）C. 65° D. 6015（ （2015?铁力市二模）如图，点 P是正方形 ABCD的对角线BD上一点，PE丄BC于点E; PF丄CD于点F，连接EF，给出下列五个结论： AP=EF : AP 丄 EF;/ PFE= / BAP ;PD=EC;PB2+PD2=2PA2,正确的有（）个.A （ 5 B （ 4 C （ 3 D （ 216. （2015?陕西模拟）如图，E是边长为1的正 方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC ,P为CE上任意一点，PQ丄BC于点Q,PR丄BE于点R，则PQ+PR的值是（）A

7、D/QCA.二 B - -C 叮 D. f二.解答题（共11小题）仃.（2016?咸阳模拟）如图，矩形 ABCD , E、F在AB、CD上，且EF II AD , M为EF的中点, 连接 AM、DM，求证：AM=DM .18. （2016?市南区一模）已知：如图，在矩形 ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC 上, 且AE=CF ,作EG II FH，分别与对角线 BD交 于点G、H，连接EH , FG .（1）求证： BFH DEG ;（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是 什么特殊四边形？证明你的结论.19. (2016春？南京校级月考)已知：如图，BE、 BF分别是/ ABC

8、与它的邻补角/ ABD的平分 线，AE丄BE，垂足为点E, AF丄BF，垂足为 点F, EF分别交边AB、AC于点M和N .求证:(1) 四边形AFBE是矩形；20. (2016?安徽模拟)如图，在 ABC中，D 是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线 上的点，CF / BE,连结BF，CE .(1) 求证：四边形BFCE是平行四边形；(2) 当边AB、AC满足什么条件时，四边形 BECF是菱形？并说明理由.21. (2016?十堰模拟)已知：如图，在菱形ABCD 中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于 点M，过M作ME丄CD于点E，/仁/2(1) 若CE=2，求BC的长；(2) 求证

9、：ME=AM - DF .22. (2016?东平县一模)如图，在 ABC中， / ABC=90 ° , BD为AC的中线，过点 C作 CE丄BD于点E,过点A作BD的平行线，交 CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取 FG=BD，连接 BG、 DF .(1) 求证：BD=DF ;(2) 求证：四边形BDFG为菱形；(3) 若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长.23(2016?南岗区模拟)如图，在正方形ABCD 中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连 接BE、DF ,DF交对角线AC于点G,且DE=DG(1) 求证：AE=CG ；(2) 试判断BE和DF的位置关系，并

10、说明理由.24. (2016?景德镇校级二模)如图，在四边形ABCD 中，AB=BC，对角线 BD 平分/ ABC , P 是BD上一点，过点P作PM丄AD , PN丄CD , 垂足分别为M , N .(1) 求证：点A与C关于直线BD对称.(2) 若/ ADC=90 °,求证四边形 MPND为正方形.25. （2015?滕州市模拟）已知：如图，正方形 ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC, BD于F，G,点H为EF的中点. 求证：（1）Z DAG= Z DCG ;（2） GC 丄 CH .26. （2016春？丹阳市校级月考）如图，已知正 方形ABCD的对角线AC、BD

11、相交于点O, E 是AC上的一点，过点A作AG丄BE，垂足为G， AG交BD于点F.（1）试说明OE=OF ;（2）当AE=AB时，过点E作EH丄BE交AD 边于H，找出与厶AHE全等的一个三角形加以 证明，（3）在（2）的条件下若该正方形边长为1,求 AH的长.27. （2015?荆州）如图1,在正方形 ABCD中， P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线 上，且 PA=PE，PE 交 CD 于 F.（1）证明：PC=PE ;（2）求/ CPE的度数；（3）如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD， 其他条件不变，当/ ABC=120。时，连接CE， 试探究线段AP与线段CE的数量关系，

12、并说明特殊平行四边形提高训练参考答案与试题解析一 选择题（共16小题）1. （2016?灵璧县一模）如图所示，矩形 ABCD 中，AE 平分/ BAD 交 BC 于 E, / CAE=15 ° : 则下面的结论：厶ODC是等边三角形；BC=2AB ;/ AOE=135 ° S®=S COE ,其中正确结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】根据矩形性质求出OD=OC，根据角求 出/ DOC=60。即可得出三角形DOC是等边三 角形，求出AC=2AB，即可判断，求出/ BOE=75 °，Z AOB=60。，相加即可求出/ AOE，根据等底

13、等高的三角形面积相等得出AOE =ScOE .【解答】解：四边形ABCD是矩形，/ BAD=90 ° , OA=OC , OD=OB , AC=BD , OA=OD=OC=OB , AE平分/ BAD ,/ DAE=45 ° ,/ CAE=15 ° ,/ DAC=30 ° , OA=OD ，/ ODA= / DAC=30 ° ,:丄 DOC=60 ° , OD=OC ，:, ODC是等边二角形，.正确；四边形 ABCD 是矩形， AD II BC，/ ABC=90 °/ DAC= / ACB=30 ° , AC=2

14、AB , AC > BC ,2AB >BC,错误； ADI BC，/ DBC= / ADB=30 ° , AE 平分/ DAB，/ DAB=90 ° ,/ DAE= / BAE=45 ° , ADI BC，:丄 DAE= / AEB ,/ AEB= / BAE , AB=BE ,四边形ABCD是矩形，/ DOC=60 ° , DC=AB , DOC是等边三角形， DC=OD , BE=BO ,/ BOE= / BEO号(180°-/ OBE ) =75/ AOB= / DOC=60 ° ,/ AOE=60 ° +

15、75° =135°,.正确； OA=OC ,根据等底等高的三角形面积相等得出SaAOE =ScOE ,正确;故选C.2. （2016?鄂州一模）如图，在矩形 AOBC 中, 点A的坐标（-2, 1）,点C的纵坐标是4,则 B、C两点的坐标分别是（）A.給,）、（乙，4）B -（% 3）、（C.（三，3）、（-2，4）D. G，（弋，4）-,4）【分析】如过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M 过点C作y轴的垂线交FA、根据 AOF CAE , AOFBCN , ACE BOM解决问题.【解答】解：如图过点A、B作x轴的垂线垂足 分别为F、M .过点C作y轴的垂线交FA、 点

16、A坐标（-2, 1）,点C纵坐标为4, AF=1 , FO=2 , AE=3 ,/ EAC+ / OAF=90 ° , / OAF+ / AOF=90 ° , / EAC= / AOF ,/ E= / AFO=90 ° , AEC OFA ,EC列，二点C坐标（-/ 4）, AOFBCN , AEC BMO , CN=2, BN=1 , BM=MN - BN=3 , BM=AE=3 ,OM=EC=二点B坐标G, 3）,故选C N3. （2016?石峰区模拟）矩形 ABCD中，AB=2 , AD=1，点M在边CD上，若AM平分/ DMB , 则DM的长是（）A21L

17、二DCA 曾B后号D .卩皿【分析】由矩形的性质得出CD=AB=2 ,AB II CD , BC=AD=1，/ C=90 °,由平行线的 性质得出/ BAM= / AMD，再由角平分线证出 / BAM= / AMB ,得出MB=AB=2 ,由勾股定理 求出CM，即可得出DM的长.【解答】解：四边形ABCD是矩形， CD=AB=2 , AB II CD , BC=AD=1 , / C=90 ° : / BAM= / AMD , AM平分/ DMB ,:丄 AMD= / AMB ,/ BAM= / AMB , BMB=AB=2 ,.CM=、,二 DM=CD - CM=2 -;

18、故选：D.4. （2016?姜堰区校级模拟）矩形 ABCD中，AB=4 , BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a, CE=2a，连接 BD、BF、DF，则 BDFA. 32 B. 16 C. 8 D. 16+a2【分析】根据两个矩形面积之和加上三角形DGF面积，减去 ABD面积与 BEF面积，求 出厶BDF面积即可.【解答】解：根据题意得: BDF 的面积=8X 4+2a?a+r X 2a (4- a)-詳 8X 4-事(2a+8)=32+2a2+4a - a2 - 16 - a2 -4a=16;5. （2016?灯塔市二模）如图，在矩形ABCD中， AB=3 , DC=2 , O

19、 是 AD 的中点，连接 OB、OC , 点E在线段BC上（点E不与点B、C重合）， 过点E作EM丄OB于M , EN丄OC于N，贝VA. 6 B. 1.5 C.十丨 D. 一 I【分析】连接OE ,由矩形的性质得出CD=AB=3 , AD=BC=2，/ A= / D=90。，由勾股定理得出 OB=OC= 叫 由厶OBE的面积+ OCE的面积 = OBC的面积，即可得出结果.【解答】解：连接OE，如图所示：四边形ABCD是矩形， CD=AB=3，AD=BC=2，/ A= / D=90°，V O是AD的中点， AO=DO=1 ，. OB=OC= ：= Ih, OBE的面积+ OCE的面

20、积= OBC的面积，丄 OB?EM+ 丄 OC?EN=丄 BC?AB 2 2 2(EM+EN )X = X 2X 3,解得：EM+EN= '故选：D.6. （2016?肥城市二模）已知一个菱形的周长是 20cm，两条对角线的比是4: 3,则这个菱形的 面积是（A. 12cm2 B. 96cm2C . 48cm2 D. 24cm2【分析】先求出菱形的边长，然后设菱形的两对 角线分别为8x, 6x,根据菱形的对角线垂直平 分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求 出x，从而得到对角线的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解.【解答】解：菱形的周长是20cm,边长为

21、 20-4=5cm,两条对角线的比是4: 3,设菱形的两对角线分别为8x, 6x,根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平 分,则对角线的一半分别为4x, 3x,根据勾股定理得，（4x） 2+ （3x） 2=52,解得x=1 ,所以，两对角线分别为8cm, 6cm,所以，这个菱形的面积 X 8X 6=24cm2.故选：D.7. （2015?丹东）过矩形ABCD的对角线AC的 中点O作EF丄AC ,交BC边于点E,交AD边 于点F，分别连接AE、CF .若AB=,Z DCF=30 °，贝V EF 的长为（）A. 2 B. 3 C. / D.【分析】求出/ ACB= / DAC，然后利

22、用“角角 边”证明厶AOF和厶COE全等，根据全等三角 形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相 垂直平分的四边形是菱形得到四边形 AECF是 菱形，再求出/ ECF=60 °，然后判断出 CEF 是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等 可得EF=CF，根据矩形的对边相等可得 CD=AB，然后求出CF，从而得解.【解答】解：；矩形对边AD/ BC，/ ACB= Z DAC，/ O是AC的中点，AO=CO ，在厶AOF和厶COE中，ZACB=ZDAC二 X ，Zaof=Zcoe AOFCOE (ASA )， OE=OF，又 EF丄AC，四边形AECF是菱形， Z DCF=30

23、°， Z ECF=90 ° - 30° =60°，第23页(共58页) CEF是等边三角形， EF=CF , AB=, CD=AB=打二,/ DCF=30 ° , CF二;+亠2,二 EF=2.故选A.8 （2016?天津一模）如图，菱形 ABCD的对角 线AC、BD相交于点O, AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的 距离OH等于（）A 2 B. D. t【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形 的四边相等，根据面积相等，可求出 OH的长.【解答】解：四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6， BO=3，AO=4

24、，AO 丄 BO，二 AB二寸 a* 十 bo?=5. OH 丄 AB , _AO?BO壬AB?OH ,OH7,故选D9. （2016?和县一模）如图，菱形 ABCD中，点 O对角线AC的三等分点，连接 OB、OD，且OB=OC=OD .已知AC=3，那么菱形的边长为（ ）A. B. 2 C./ D. /【分析】由菱形的性质得出AB=BC，得出/ BAC= / ACB，由已知条件得出 OB=OC=AC=1，由等腰三角形的性质得出 BOCABC，得出对应边成比例 耳，即 可求出菱形的边长.【解答】解：四边形ABCD是菱形， AB=BC， / BAC= / ACB， 点O对角线AC的三等分 点，

25、OB=OC»AC=1，/ BAC= / ACB= / OBC， BOCsABC ,所以牛,即一丄，0B_BCBAAC BA2=3,BA=;故选：A.10. （2016?丹东模拟）如图，在菱形 ABCD 中, 对角线AC , BD相交于点O,点E为BC的中 点，则下列等式中一定成立的是（）A. AB=BE B . AC=2AB C. AB=2OED. AC=2OE【分析】由菱形的性质以及三角形中位线定理逐 项分析即可.【解答】解：点E为BC的中点， CE=BE=£BC, AB=BC , AB=2BE，故选项A错误；在菱形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O, AO=CO=

26、：AC ,OE是厶ABC的中位线， OE=：AB，故选项C正确； AC 半 AB 半 BC ,AC半2AB半2OE，故选项B, D错误，故选C.11. （2015?西城区二模）如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A 的坐标为（1，0），则点C的坐标为（）A计/,O1工A. （ ，1） B （ 1，） C. （ ；， 1）D. （ -，- 1）【分析】作AD丄轴于D，作 CE丄x轴于E，贝M / ADO= / OEC=90。，得出/ 1 + Z 2=90°，由 正方形的性质得出 OC=AO，/ 1 + / 3=90°，证 出/3=Z 2,由 AA

27、S 证明 OCE AOD , OE=AD= ；, CE=OD=1，即可得出结果.【解答】解：作AD丄轴于D，作CE丄x轴于E , 如图所示: 贝ADO= / OEC=90 ° ,/ 1 + / 2=90°,点A的坐标为（1,：-；）,/. OD=1 , AD=,T四边形OABC是正方形， / AOC=90 ° , OC=AO , / 1 + / 3=90°,/ 3=/ 2,在厶OCE和厶AOD中， OCEAOD （AAS）,. OE=AD= , CE=OD=1 ,点C的坐标为（-：；,1）; 故选：C.12. （2015?桐庐县模拟）如图，在正方形ABC

28、D 中，对角线AC=6，点P是对角线AC上的一点, 过点P作PF丄AD , PE丄CD，贝V PF+PE的值 为（ ）A. 3 :B. 3 C. 2 D. 6【分析】由正方形的性质得出 / PAF= / PCE=45。，证出厶 APF 和厶 CPE 是 等腰直角三角形，得出PF= jAP , PE=fPC，即 可得出结论.【解答】解：四边形ABCD是正方形， / BAD= / BCD=90 ° , / PAF= / PCE=45 PF 丄 AD , PE 丄 CD , APF和厶CPE是等腰直角三角形,PF+PE=(AP+PC) = . AC=3故选：A.13（2015?本溪二模）如

29、图，在矩形 ABCD中， AD=2AB , E、F分别是AD、BC的中点，连接 AF与BE、CE与DF分别交于点M、N两点， 则四边形EMFN是（ ）A 正方形B.菱形C 矩形D 无法确定【分析】利用矩形的性质与判定方法得出四边形EMFN是矩形，进而利用等腰直角三角形的性质 得出 AM=ME , BM=MF=AM ，贝V ME=MF，进 而求出即可.【解答】解：四边形ABCD为矩形， AD II BC，AD=BC，/ EAB= / ABF= / BCD= / CDA=90 °，又T E，F分别为AD，BC中点，AD=2AB， AE II BF，ED II CF，AE=BF=DE=CF

30、=AB=DC ，/ ABE= / AEB= / DEC= / DCE= / DFC=45/ BEN=90 °， 又 DE BF，AE FC，四边形EMFN是矩形，AM丄BE , BM丄AF , AM=ME , BM=MF=AM , ME=MF ,四边形EMFN是正方形.14. （2015春？石林县期末）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE，连接CE，与对角线BD交于F，则/ BFC为（ ）C. 65° D. 60【分析】由于四边形ABCD是正方形， ADE 是正三角形，由此可以得到 CD=DE，接着利用 正方形和正三角形的内角的性质即可求解.【解答】解：四边形

31、ABCD是正方形,/ ADC=90 ° , AD=DC ,又 ADE是正三角形， CD=DE，/ ADE=60 ° , CDE是等腰三角形，/ CDE=90 ° +60° =150°,/ ECD= / DEC=15 ° ,/ BDC=45 ° ,/ CFD=180 ° - 15°- 45° =120°,/ BFC=60 ° ,故选D15. （2015?铁力市二模）如图，点 P是正方形 ABCD的对角线BD上一点，PE丄BC于点E; PF丄CD于点F，连接EF，给出下列五个结论

32、：AP=EF : AP 丄 EF;/ PFE= / BAP ;PD=EC;PB2+PD2=2PA2,正确的有（ ）个.C 3 D . 2【分析】根据正方形的性质与正方形关于对角线 对称可得所给选项的正误.【解答】解：正确，连接PC,可得PC=EF ,PC=PA，二 AP=EF ; 正确；延长AP，交EF于点N，贝V/ EPN= / BAP= / PCE= / PFE,可得 AP 丄 EF ; 正确；/ PFE= / PCE= / BAP ; 错误，PD= PF= CE :正确，PB2+PD2=2PA2 故选B.16. （2015?陕西模拟）如图，E是边长为1的正 方形ABCD的对角线BD上一点

33、，且BE=BC ,P为CE上任意一点，PQ丄BC于点Q,PR丄BE 于点R，则PQ+PR的值是（）A.【分析】连接BP,利用面积法求解，PQ+PR的 值等于C点到BE的距离，即正方形对角线的一 半.【解答】解：连接BP，过C作CM丄BD ,I Sa BCE = SBPe + Sa BPC=BC x PQg+BE x PR=bcx（pq+pr）x-=be x cm X-,bc=be, pq+pr=cm ,be=bc=i，且正方形对角线 bd= bc=:, 又 bc=cd , cm 丄 bd , M为BD中点，又 BDC为直角三角形， CM=-BD=,2 2 ?即pq+pr值是，故选：DADz!夕

34、、.o C】解答题（共11小题）17. （2016?咸阳模拟）如图，矩形 ABCD , E、F在AB、CD上，且EF II AD , M为EF的中点， 连接 AM、DM，求证:AM=DM .【分析】由矩形的性质得出AE II DF ,/ BAD=90 °,再由EF II AD，证出四边形 AEFD 是矩形，得出 AE=DF，/ AEM= / DFM=90 ° , 由SAS证明 AEM DFM ,得出对应边相等 即可.【解答】证明：四边形ABCD是矩形， AE II DF，/ BAD=90 ° , EF II AD ,四边形AEFD是矩形， AE=DF，/ AEM=

35、 / DFM=90 ° , M为EF的中点， EM=FM，AE=D?M=FM AEM BA DFM (SAS)， AM=DM .18(2016?市南区一模)已知：如图，在矩形 ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上， 且AE=CF ,作EG II FH，分别与对角线 BD交 于点G、H，连接EH，FG .(1) 求证： BFH DEG ;(2) 连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是 什么特殊四边形？证明你的结论.【分析】(1)由平行四边形的性质得出 AD II BC , AD=BC , OB=OD，由平行线的性质得出/ FBH= / EDG，/ OHF= / OGE，得出/

36、 BHF= / DGE，求出 BF=DE，由 AAS 即可得 出结论；(2)先证明四边形EGFH是平行四边形，再由 等腰三角形的性质得出EF丄GH，即可得出四边 形EGFH是菱形.【解答】(1)证明：四边形ABCD是平行四 边形， AD II BC，AD=BC，OB=OD，/ FBH= / EDG， AE=CF , BF=DE , EG II FH ,/ OHF= / OGE ,/ BHF= / DGE ,在厶BFH和厶DEG中，ZPBH=ZEDGZBHF=ZDGE ,BF 二 DE BFH DEG (AAS );(2)解：四边形EGFH是菱形；理由如下: 连接DF，如图所示：由(1)得：BF

37、H DEG , FH=EG ,又 EG II FH ,四边形EGFH是平行四边形， BF=DF , OB=OD ,EF丄BD ,EF丄GH ,四边形EGFH是菱形.Enl_r5F19. (2016春？南京校级月考)已知：如图，BE、 BF分别是/ ABC与它的邻补角/ ABD的平分 线，AE丄BE，垂足为点E, AF丄BF，垂足为 点F, EF分别交边AB、AC于点M和N .求证:(1)四边形AFBE是矩形；【分析】(1)由BE、BE是角平分线可得/ EBF 是90°，进而由条件中的两个垂直可得两个直 角，可得四边形AEBF是矩形；(2)由矩形的F质可得/ 2=7 5进而利用角平 分

38、线的性质可得/仁7 5,可得ME / BC,进而 可得N为AC中点，根据三角形中位线性质求出 即可.【解答】证明：(1)v BE、BF分别是 ABC 中7 B及它的外角的平分线，7 1 = 7 2，7 3=7 4，7 1 + 7 2+ 7 3+7 4=180°,/ 2+Z 3=90 AE丄BE , E为垂足，AF丄BF, F为垂足， :丄 AFB= / AEB=90 °四边形AEBF为矩形;(2)四边形AEBF为矩形，BM=MA=ME ,/ 2=Z 5,/ 2=Z 1,/仁/5, ME II BC , M是AB的中点, N为AC的中点, MN=-BC .D BC20. (2

39、016?安徽模拟)如图，在 ABC中，D 是BC边的中点，F, E分别是AD及其延长线 上的点，CF / BE,连结BF , CE .(1) 求证：四边形BFCE是平行四边形；(2) 当边AB、AC满足什么条件时，四边形 BECF是菱形？并说明理由.【分析】(1)由已知各件，据AAS很容易证得： BDECDF ;(2)连接BF、CE，由AB=AC，D是BC边的 中点，可知AD丄BC,易证得 BFDCFD， 可得BF=CF ;又因为(1)中厶BDE CDF 得ED=FD，所以EF、BC互相垂直平分，根据 菱形的性质，可得四边形 BECF是菱形.【解答】(1)证明：在 ABC中，D是BC 边的中点

40、， BD=CD， CF / BE，/ CFD= / BED , 在厶CFD和厶BED中，ZCFD=ZBEDCD=BDZFDC=ZEDB CFD BED (AAS ), CF=BE , 四边形BFCE是平行四边形；(2)解：当AB=AC时，四边形BECF是菱形; 理由如下： AB=AC，D是BC边的中点，AD丄BC ,EF丄BC ,四边形BECF是菱形.21. (2016?十堰模拟)已知：如图，在菱形ABCD 中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于 点M，过M作ME丄CD于点E，/仁/2.(1) 若CE=2，求BC的长；(2) 求证：ME=AM - DF .£D【分析】（1）根据菱

41、形的性质可得 CB=CD ， AB /CD ,然后再证明/ 2=Z ACD ,根据等角对 等边可得 MC=MD ，根据等腰三角形三线合一的 性质可得 CD=2CE=4 ，进而可得 BC=4（2）延长DF , BA交于G,首先证明 CEMCFM可得ME=MF，然后再证明 CDFBGF可得DF=GF ,然后证明/仁/ G,根据等角对等边可得 GM=CM ,利用 线段的和差关系可得结论【解答】(1)解：四边形ABCD是菱形, CB=CD , AB / CD ,/仁/ACD ./仁/2,/ 2二/ACD , MC=MD . ME 丄 CD , CD=2CE=4 ,. BC=CD=4 ;(2)证明：如图

42、，延长 DF，BA 交于 G， 四边形 ABCD 是菱形，/ BCA= Z DCA . BC=2CF , CD=2CE , CE=CF .CM=CHZBCZDCACE=C? CEM CFM (SAS), ME=MF . AB II CD ,/ 2=Z G，/ GBF= / BCD , F为边BC的中点， CF=BF ,fZG=Z2在厶CDF和厶BGF中，zgbfn眈， bf=ct CDF BGF (AAS ), DF=GF ./ 仁/2,Z G= / 2,/仁/G, AM=GM=MF+GF=DF+ME ,22. (2016?东平县一模)如图，在 ABC中， / ABC=90 ° ,

43、BD为AC的中线，过点 C作 CE丄BD于点E,过点A作BD的平行线，交 CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取 FG=BD，连接 BG、 DF .(1) 求证：BD=DF ;(2) 求证：四边形BDFG为菱形；(3) 若AG=13 , CF=6，求四边形BDFG的周【分析】(1)先可判断四边形BGFD是平行四 边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半， 可得BD=FD ;(2) 由邻边相等可判断四边形 BGFD是菱形；(3) 设 GF=x，贝V AF=13 - x，AC=2x，在Rt ACF中利用勾股定理可求出x的值.【解答】(1)证明：/ ABC=90 °，BD为AC 的中线，

44、 BDAC， AG II BD , BD=FG ,四边形BGFD是平行四边形， CF 丄 BD ,CF丄AG ,又点D是AC中点，- DFAC , BD=DF ;(2) 证明：I BD=DF ,四边形BGFD是菱形，(3) 解：设 GF=x，贝V AF=13 - x, AC=2x , 在 Rt ACF 中，/ CFA=90 ° , AF2+CF2=AC2,即(13-x) 2+62= (2x) 2,解得：x=5,四边形BDFG的周长=4GF=20 .23. (2016?南岗区模拟)如图，在正方形ABCD 中，点E在对角线AC上，点F在边BC 上,连 接BE、DF ?DF交对角线AC于点G,且DE=DG(1) 求证：AE=CG ;(2) 试判断BE和DF的位置关系，并说明理由.