2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题41直线、平面垂直的判定及其性质(教学案)(解析版)

1、考情解读1以立体几何的相关定义、公理和定理为出发点，理解和理解空间中线面垂直、面面垂直的相 关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2能使用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1 .直线与平面垂直(1) 直线和平面垂直的定义如果一条直线 I 与平面a内的任意直线都垂直，就说直线I 与平面a互相垂直.(2) 判定定理与性质定理文字语言图形语言付号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直EI 丄aI?3 J? 1 丄a性质定理如果两条直线垂直于冋一个平 面，那么这两条直线平行r r(2.(2.Z7a 丄ab 丄a亡 a /

2、 b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的 角.4.二面角的相关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线 所成的角叫做二面角的平面角.高频考点一直线与平面垂直的判定与性质 例 1、(1)如图， ABC 和厶 BCD 所在平面互相垂直，且 AB=BC = BD = 2，/ ABC=ZDBC =120 E, F

3、 , G 分别为 AC, DC , AD 的中点.A求证：EF 丄平面 BCG;求三棱锥 D BCG 的体积.1附：锥体的体积公式 V= 3Sh,其中 S 为底面面积，h 为高.证明 由已知得厶 ABCDBC , 所以 AC = DC.又 G 为 AD 的中点，所以 CG 丄 AD.(2)线面角B的范围:同理EG丄的，yBGCCG-G,yBGCCG-G,因此 血丄平面GC又EFIIAD,EFIIAD,所以EF丄平面BCG.BCG.解在平面MC内，作A01BC,A01BC,交CBCB的延长线于0,如图又G为九D中点因此G G到平面BDCBDC的距离hAOhAO长度的一半在心0!5中，上0=48血

4、160=寸5=討妙EC siiil2(r=秒1如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB 上一点，且 AD = DB，点 C 为圆 O 上一点，且 BC= 3AC, PD 丄平面 ABC , PD = DB.求证：PA 丄 CD.证明 因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AC 丄 CB ,在 Rt ABC 中，由 3AC= BC 得，/ ABC = 30 设 AD = 1 ,由 3AD = DB 得，DB = 3, BC= 2 3,由余弦定理得 CD2= DB2+ BC2 2DB BCcos30= 3,A所以 CD2+ DB2= BC2,即卩 CD 丄 AO.因为 PD 丄平

5、面 ABC, CD?平面 ABC,所以 PD 丄 CD，由 PDAAO= D 得，CD 丄平面 PAB ,又 PA?平面 PAB,所以 PA 丄 CD.【感悟提升】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(a / b,a 丄a? b 丄a；面面平行的性质(a 丄a,all价 a 丄3;面面垂直的性质.(2) 证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.所以，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(3) 线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.【变式探究】 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，PA 丄底面 ABCD , AB 丄 A

6、D , AC 丄 CD , / ABC=60 PA = AB= BC, E 是 PC 的中点.证明；CD丄4(2)加丄平面ABE.ABE.证明在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，丁刃丄底面45 CD,CDU平面的叫/./MlCDJ/jlClCD,RiriAC=A,RiriAC=A,二GD丄平面PAC.PAC.而血匸平面PAC,PAC, ,CD1AE.,CD1AE.由RiRiAB=BCAB=BC? ?ZABC=&rjZABC=&rj可得AC=PA,AC=PA,是PC的中気二血丄PG由1),知应丄CD,且PCTiCD=C,PCTiCD=C,二血丄平面P3.P3.而PDU平面PCD,

7、PCD, : :.AE.AE丄PD丁刃丄底面ABCDABCD? ?PAPA丄46.又*AB1AD*AB1AD且刃C4D二儿二廊丄平面PAD,PAD,而PDU平面PAD,PAD,二廊丄PD又9 9：AB(AE-A,AB(AE-A,:.PD 丄平面 ABE.高频考点二平面与平面垂直的判定与性质例 2、(1)(2019 山东)如图，/三棱台 DEFABC 中，AB = 2DE , G, H 分别为 AC, BC 的中点.1求证：BD /平面 FGH ;2若 CF 丄 BC, AB 丄 BC,求证：平面 BCD 丄平面 EGH.证明 方法一 如虱 连接门CD,CD,设CDGF=M,CDGF=M,连接在

8、三棱台DEFABCDEFABC中AB2DEAB2DE? ?G为虫C的中点，可得DFIIDFII GC,GC, DF=DF= GC,GC,所以四边形DFCGDFCG为平行四边形则皿为仞的中点，又刃为的中点所以又加 U 平面FGH,FGH,页平面FGH,FGH,所以平面尸GH.方法二 如图，在三棱台DEFABCDEFABC中，由BC=2EF,BC=2EF,R为居C的中点, 可得BHHEF,BHHEF, BH=EF,BH=EF,所以四边形加即为平行四边形可得BEHHFBEHHF 在 MBMBC中，G为/C的中点，丹为EC的中点，mGHUAB.GHUAB.又GHCHF=H,GHCHF=H,所以平面FG

9、HHFGHH平面ABED-ABED-又因为 QU 平面ABED,ABED,所以平面尸GH连接 HE ,因为 G, H 分别为 AC, BC 的中点，所以 GH / AB.由 AB 丄 BC, 得 GH 丄 BC.又 H 为 BC 的中点，所以 EF / HC, EF = HC ,所以四边形 EFCH 是平行四边形，所以 CF / HE.又 CF 丄 BC,所以 HE 丄 BC.又 HE , GH?平面 EGH , HEAGH = H ,所以 BC 丄平面 EGH.又 BC?平面 BCD，所以平面 BCD 丄平面 EGH .如图所示，四边形 ABCD 中，AD / BC, AD = AB,ZBC

10、D = 45 / BAD = 90。将 ABD 沿对角线 BD 折起，记折起后 A 的位置为点 P,且使平面 PBD 丄平面 BCD.求证：CD 丄平面 PBD.平面 PBC 丄平面 PDC.li证明 ZE4D二XT,.ZABD=ZADB=45.ZABD=ZADB=45又SADUBC,SADUBC,/,ZDC45D,又ZDCS=45C,: :.ZSDC=90.ZSDC=90即ED丄DC丁平面PB刀丄平面BCD,BCD,平面PKDi平面BCD=BD,BCD=BD,二CD丄平面PBD.PBD.由 CD 丄平面 PBD 得 CD 丄 BP.又 BP 丄 PD,PDPCD=D, BP 丄平面 PDC.

11、又 BP?平面 PBC,平面 PBC 丄平面 PDC.【感悟提升】面面垂直的性质应用技巧(1) 两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，使用时要注意平面内的直线”.(2) 两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不 是很复杂的题目中，要对此实行证明.【变式探究】(2019 重庆)如图，三棱锥 PABC 中，平面 PAC 丄平面 ABC,/ ABC=寸，点 D , E 在线段 AC 上，且 AD= DE =EC= 2, PD = PC = 4，点 F 在线段 AB 上，且 EF / BC.(1)证明：AB

12、 丄平面 PFE ;若四棱锥 PDFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长.证明 由DE=EC,DE=EC,PD=PC知，E为等APDC中DC边的中点，故PE1AC.PE1AC.又平面7MC丄平面ABC,ABC,平面刃CH平面ABC=ACABC=ACf fPEU平面PAC,PAC, PE_AC,PE_AC,所以PE丄平面ABC,ABC,从而PE1AB.PE1AB.因ZABC=*,ZABC=*, EFIIBC,EFIIBC,故45丄EF从而ABAB与平面PFEPFE内两条相交直线PE,PE,EF都垂直，所以肋丄平面PFE.PFE.解 设BC=x,BC=x,则在R1AABCR1AABC中，ABAB

13、= =、屁一陀=#36,ACy y由肋MC得AAFESAABC,故逹从而四边形DFBCDFBC的面积为SDFEC=SBC SFDjc36Jt2-扣736_卡=总&36_工2.宙(1)知，朋丄平面卫*匚所以PEPE为四棱锥PDFBCPDFBC的高.在R1AMC中，PE=pPPE=pP- - 曲=荊 一 /=2 2 书体积PDFBCPDFBC亍SDFECPE* TF /二亍亍丽孑-2西二匚故得 FTE 十243=0,解得应=9或抬=2厂 由于0,可得x=3或所儿眈=?或匚 3 3 丑高频考点三 线面角、二面角的求法 例 3、如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 丄底面 ABCD , AB

14、 丄AD, AC 丄 CD，/ ABC = 60 PA=AB= BC, E 是 PC 的中点.B(1) 求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小；证明：AE 丄平面 PCD ;即SAJFFBC-(3)求二面角 APDC 的正弦值(1) 解 在四棱锥 P ABCD 中，因为 PA 丄底面 ABCD , AB?平面 ABCD ,故 PA 丄 AB.又 AB 丄 AD,FAPAD=A,从而 AB 丄平面 PAD ,故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA， 从而/ APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角.在 Rt PAB 中，AB= PA，故/ APB = 45所以 PB 和平面 PAD 所成

15、的角的大小为 45.(2) 证明 在四棱锥 PABCD 中，因为 PA 丄底面 ABCD , CD?平面 ABCD ,故 CD 丄 PA.由条件 CD 丄 AC, PAPAC= A, CD 丄平面 PAC.又 AE?平面 PAC,. AE 丄 CD.由 PA= AB= BC,ZABC = 60 可得 AC= PA./ E 是 PC 的中点， AE 丄 PC.又 PCPCD = C,综上得 AE 丄平面 PCD.解 过点E作EMLPD,垂足为晰 连接血6如图所示.由知，皿丄平面PCD,PCD,卫赵在平面PCD内的射影是EA6则可证得 3 丄PD因此ZUME是二面角A-PDA-PDC C的平面角-

16、由已知，可得ZCW二设AC=aAC=a可得在R1HDP中，: :.AMPD=PA.AMPD=PA AD,AD,在岚AEM中，sin/AME=AM二冷所以二面角 A PD C 的正弦值为4【感悟提升】求线面角、二面角的常用方法：线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一 个三角形中求解.(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有定义法; 垂面法注意利用等腰、等边三角形的性质.【变式探究】(2019 山东)如图，在三棱台 DEFABC 中，AB = 2DE, G, H 分别为 AC, BC 的中点.(1)求证：BD /平面 FG

17、H ;若 CF 丄平面 ABC,AB 丄 BC, CF = DE, / BAC= 45 求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角)的大小.证明 方法一如图，连接DG,CDCD? ?a设CDDGF二0,连接0H,0H,在三棱台DEFABCDEFABC中，朋二 IDE,IDE,G为的中点, 可得DFHGC,DFHGC, DF=GC,DF=GC,所以四边形D尸CG为平行四边形.则0为仞的中点，又R为眈的中為所以OHIIBD,OHIIBD,又OHU平面FGH,FGH,ADI平面FGH,FGH,所V.BDIIV.BDII平面尸GH.方法二 如副 在三棱台DEFABCDEFABC中，由BC=2EF

18、,BC=2EF,丹为及?的中点，可得BH-EF,BH-EF,所以四边形BHFEBHFE为平行四边形，可得BENHKBENHK在 SBQ 中，G为M的中点，旧为匚的中点，所认 GHHAB.GHHAB.又 GHAHF = H，所以平面 FGH /平面 ABED.因为 BD?平面 ABED , 所以 BD /平面 FGH .设AB-2,AB-2,则C=l.由严C丄平面血C,得HM1FC,HM1FC,又FCOACC,FCOACC,所以円M丄平面ACFD.ACFD.因此GF_LNH,GF_LNH,所臥回即为所求的角- 在3GC中，KfHlEG,KfHlEG, MHMH 二皋 G=G=生，由砂3厶辺，可得

19、沿籍， 从而普、由也/丄平面ACFD,ACFD,AfiV匸平面ACFDACFD? ?得也/丄册，因此tanZA=V3所以平面FGH2平面ACFD所成角(锐角)的大小为斫一边形DGCFDGCF 为平行四边形所以DG丄平面ABC.ABC.可得2=0则由所以平面円诃与平面ACFDACFD所成角(锐角的大小为6r因此DGI/FC,DGI/FC,又尸C丄平面 仙匚以G为坐标原点建立如團所示的空间直角坐标系傀炉陀，血1)解 方法一设血=2,则仔=L=L在三棱台DEMBCDEMBC中，G为M的中点，由D=AC=GCD=AC=GC? ?可得四令可得平面FGHFGH的一个法向量N=(b諦=0,妪1)所以G=0,

20、所畑何洽烧囁詁1.【2019 高考北京文数】(本小题 14 分)如图，在四棱锥P - ABCD中，PC_ 平面ABCD,AB/DC,DC _ AC(1)求证：DC_ 平面PAC；(II)求证：平面PAB_ 平面PAC；(III)设点E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存有点 F,使得-A/平面C F?说明理由.在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EF / DB.【解析】【解析】(I )因为尸C丄平面ABCDABCD , ,所以尸C丄DU.又因为DC丄AC,AC,所以 QQ 丄平面PACPAC . .(II)因为AB/DCAB/DC , , DCDC 丄 AC,AC,所叹AS丄因为尸

21、C丄平面ABCD,ABCD,所以FC丄曲所叹血丄平面只.所咲平面PABPAB丄平面PACPAC (III)棱PB上停点F,使得尸如/平面曲证明如下: 矗PB中点厂连结EFCE,CF.CF.又因为E为曲的中点，所決EF/PAEF/PA . .又因为已平面如所以PAHPAH平面CEFCEF . .【考点】空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理；空间想象水平，推理论证水平2.【2019 高考山东文数】(本小题满分 12 分)(I)已知 AB=BC, AE=EC.求证：AC 丄 FB;(II)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点求证：GH /平面 ABC.【答案】(I)证明：见解析；(H)见解

22、析.【鮮析】(I证明：EEFVBDEEFVBDf f所以EF与妙确罡平面QEF.C连接DE,DE, fyAEfyAE = = ECECt tD D为XC的中炬*所以DE丄 N6 同理可御肋丄丿又BD DE二D，所以AC_平面BDEF, 因为FB平面BDEF，所以AC _ FB(H)设FC的中点为I，连GI , HI在CEF中，因为G是CE的中点，所以GI / EF,又EF / DB，所以GI / DB.在厶CFB中，因为H是FB的中点，所以HI / BC,在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EF / DB.又GI HI=1，所以平面GHI /平面ABC,因为GH：_平面GHI，所以GH

23、 /平面ABC.3.【2019 高考天津文数】（本小题满分 13 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED 丄平面 ABCD , EF|AB , AB=2 , BC=EF=1 ,AE=.6, DE=3，/ BAD=60o , G 为 BC 的中点.（I）求证：FG平面 BED ;（H）求证：平面 BED 丄平面 AED ;（川）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值【答案】（I）详见解析（H）详见解析（川）6【解析】（I）证明：取加中点 6 连接OE.OGOE.OG,在仞中，因为G杲中点，所V.OGHDCV.OGHDC且OGOG = =丄血=1,又因为EFHAB.AB/DC

24、EFHAB.AB/DCr r所EFUEFU OGOG且册 =即四边形。&庖是平行四2边形，所以阳0胚，又FG工平面BEDBEDf fOEu平面月ED,所FGHFGH平面BED.7/23&/2；得 口= 6一66. 2019 高考四川，文 18 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示由图1可知,平行四边形BCDEBCDE面积S S = = BC-ABBC-AB = = a a2 2f f【答案】(I)证明略，详见解析；(II) a =6.(I)请按字母 F, G, H 标记在正方体相对应地顶点处(不需要说明理由)(n)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系

25、并说明你的结论.(川)证明：直线 DF 平面 BEG【解析】(I)点 F, G, H 的位置如图所示B(n)平面 BEG/平面 ACH.证明如下EG因为血CD-册GH为正方体，所以尸G，BC=FGBC=FG只 FGHEH,FGHEH, FG=EH,FG=EH,所汉占C“附BC=EHBC=EH于是BCEHBCEH为平行四边形所以BEBE /!/! CHCH又CffU平面ACH,ACH,EE0平面ACHACH? ?所以阴平面/Cff同理启G平面/CH又 EClECl G=EG=E所以平面BEGBEG IIII平面ACHACH(III)连接朋因为ABCD-EFGHABCD-EFGH为正方体所以DH丄

26、平面EfGR因为EGu平面EFGH,EFGH,所以DZCLEG又EG丄丹GEGCFH=6EGCFH=6所以EG丄平面BFHDBFHD又D尸 u 平面EFD氏，所以.OF丄FG同理DF1BGDF1BG5lEGDBG=G5lEGDBG=G所臥DF丄平面BEG.BEG.7.【2019 高考新课标 1,文 18(本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,BD 交点，BE_平面ABCD，G 为 AC 与【答案】(I)见解析(II)3+2、5【解析】(I)因为四边形曲仞为菱形，所以皿丄砂，因为3龙丄平面ABCD,ABCD,所以丄C丄丧故/C丄平面EED又XCc平面廊C,所以平面4EC丄平面宓D(

27、II)设45=丸，在菱形血仞中，由ZABC=2QZABC=2QQ Q, ,可得AG=GC=AG=GC=由宓丄平面ABCD,ABCD,知hEBGhEBG 卞)直角三角形，可得BE=BE= x.x.2由已知得、三棱锥E/CDE/CD的体积理一忧二丄其丄/G GD0E二幺三二 3 _故2 3 2243从而可得AE=EC=ED=AE=EC=ED= . .所以AE4C的面积为3, AEAD的面积与AE仞的面积均为V?.故三極锥E-ACDE-ACD的侧面积为3+2亦.8.【2019 高考浙江，文 18】(本题满分 15 分)如图，在三棱锥ABC- ABC中，(II)若.ABC =120：,AE _ EC,

28、三棱锥E- ACD的体积为求该三棱锥的侧面积因为廊丄EG所U在RtAECRtAEC中，可得龙G=X.X7GBGD=-2 2E E(I)证明：平面AEC_平面BED;8【答ABC =90,AB = AC = 2,AAr= 4,A|在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 为 BG 的中点.(1)证明:AD .1平面ArBC；(2)求直线ArB和平面BBQG所成的角的正弦值(1)略；辽【解析】(1 设E为BC中点， 由题青得丄平面ABC,所臥4E丄血一因为ABAB = = ACAC , ,所以AEVBC.AEVBC.所以血丄平面BC.BC.由D, E分别为C的中点，得 DEDE眄且 DEDE帚从

29、而DE/AA,DE/AA,且0=虫4,所以山】DE是平行四边形所以心/AEAE因为血丄平面ABCABCf f所以4。丄平面4BC.作AF 丄 DE，垂足为F，连结EF.因为AE_平面ABC，所以BC _ AE.因为BC丄AE，所以BC丄平面AADE.所以BC丄AF,AF丄平面BRGC.所以NA|BF为直线AB与平面BBGC所成角的平面角.由AB = AC =2, CAB =90；，得EA二EB 2.由AE丄平面ABC，得AiA=AB =4,A|E =JT4.由DE =BB1=4, DA =EA=疥2, DRE =90：，得A1F7.2所以sin ABF -8【答案】(I)祥见解析,(n) BC

30、=3或BC= 3, 3.9.【2019 高考重庆， 文 20】 如题(20)图， 三棱锥 P-ABC 中， 平面 PAC _平面 ABC ,ABC=点 D、E 在线段 AC 上，且 AD=DE=EC=2 , PD=PC=4，点 F 在线段 AB 上,(I)证明：AB _平面 PFE.(H)若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长.2且 EF/BC.【解析】证明：如题(20)图由0=必,尸0=刊7知，E为等腰狂 DCDC中DC边的中点，故PE丄ACAC, ,又平面丄平面ABC,ABC,平面血Cc 平面ABC=AC,ABC=AC,PEu平面PACPAC, , PEPE LACLAC

31、, ,所以FE丄平面ABC,ABC,从而PE丄曲.因ZABC= -,F|PC,故AB丄EF. 2从而AB与平面P庖内两条相交直线PE, EF都垂直，所以AB丄平面尸庖.解：设BCciJ在直角SABCSABC中，A B=J Ab _ C4=( (36 _d d从而S帖二IABXBO丄JC( (36【x22 2由旳曲知务务今_ 4即Sgy = SJIJSC-百AABC二AIBC二兀(36-JT3,f_ _ 1_ _ 7_从而四边形DFBC的面积为S殴S HTl0,可得兀二3或x = 3的.所以5C = 3或BC = 3語1. （2019 福建卷）在平面四边形 ABCD 中，AB= BD = CD

32、= 1 , AB 丄 BD , CD 丄 BD.将ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD 丄平面 BCD，如图 1-5 所示.（1）求证：AB 丄 CD ;若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.【解析】解：（1）证明：平面 ABD 丄平面 BCD，平面 ABD 门平面 BCD = BD, AB?平面 ABD ,AB 丄 BD , AB 丄平面 BCD.又 CD?平面 BCD , AB 丄 CD.过点 B 在平面 BCD 内作 BE 丄 BD.由AD=3/瓦Sigg =-=-图 1-5宙和血丄平面BCD,BCD,EEu平面丧CD,妙匸平面BCD,BCD, : :

33、.AB.AB 丄 RE,RE,曲丄戌DU为坐标原点，分别以宓血竝的方向为工轴，y轴，疋轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示)-依题意，得左0?臥Ctl；b Oh恥，I,W W乂(仏o, 65 5一贝1, 0),BAf=(0,BAf=(0,若 訪 蛊=(0小-1).设平面MBCffMBCff去向量fl=(xt) )jyo?yo?2b)J収勿=1,得平面AffiC的一个法冋量淞=1, -b 1)*设直线ADAD与平面MBC?所成角为禺则sin心応AbAbWADWAD即直线ADAD与平面倔C所成角的正弦倩为爭一2. (2019 湖南卷)如图 1-6 所示，四棱柱 ABCD -A1B1C1D1的所有棱

34、长都相等， ACQBD = O,AICIQB1D1= O1,四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形.(1)证明：010 丄底面 ABCD ;若/ CBA = 60,求二面角 C1-OB1-D 的余弦值.图 1-6xo+曲=0【解析】解：如團仙 因为四边形ACCiAiACCiAi矩形，所CCilAC.CCilAC.同理D6丄加. 因为CCiilDDiCCiilDDif f所以CCilBD.CCilBD.而因此CCi丄底面九BCD由题设知010/CiC.故010丄底面ABCD.ABCD.方法一；如團（，过01作0JJ1001于兄 连接HCi.HCi.由知，7101底面AB0D,AB0D

35、,所以60丄底面AiBiCiDi,AiBiCiDi,于是016U1S图又因为四搂住ABCD*ABCD*出 8 81 1的所有棱长都相等 所以四边形AIBICIDT是菱形,因此/1G丄月1A,从而小。丄平面FDDFDD 迅所以/向丄少“于是0冏丄平面OL/TCL进而Oil不妨设AB=2.AB=2.因为ZCBF=60 ,所以加二卫，0C,0C, 08i=08i=命一在RiAOOii中,易知回OBiOBi故cosZCOi-.即二面角Ci-Mi-D的余弦倩为疇.方法二：因为四棱柱 ABCD-AIBICIDI的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，所以if-.OC, OOi两两垂直.图(b)如图e

36、h以D为坐标原点*0C0C? ?00所在直线分别为鼻轴小轴，屛由，建立空间直角坐标系O-yyz-yyz? ?不妨设血=2一因为ZG&4=60、所以阳=耳 OC=hOC=h于是相关各点的坐标0(0,Q,Q,0),月1(话，0, 2), Ci(0,1, 2).易知，迫=心b 0)是平面恳 DDDD 血的一个进向量.饭0血=0,艮曲Z* _ cIY -I-1呛FOCiOj -取尸_心则尸2,尸血所以劭二2西，-点).慢二面角CrCr OBvDOBvD的大小为叭易知8杲锐角，于杲=2羽二2皈五 T T19 -故二面角C1-OB1-DC1-OB1-D的余弦值为導.(1)求证：AB 丄 PD.若/

37、 BPC = 90, PB = 2, PC = 2,问 AB 为何值时，四棱锥 P - ABCD 的体积最大？并求此时平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值.3JC+2?=0；h + 2r=0.V设圧=RJJ咼是平面OSiCi的一个法向量，则图 1-6PAD 丄平面 ABCD.【解析】解： 证明：因为 ABCD 为矩形，所以 AB 丄 AD .又平面 PAD 丄平面 ABCD ,平面 FAD 门平面 ABCD = AD ,所以 AB 丄平面 PAD，故 AB 丄 PD.过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O,过 O 作 BC 的垂线，垂足为 G,连接 PG.故 PO 丄平面 ABCD , B

38、C 丄平面 POG , BC 丄 PG.在 Rt BPC 中, PG =于，GC= 丁，BG= f设 AB = m,贝 U OP = .PG2 OG2=：3 m2,故四棱锥 P - ABCD 的体积为因为粧1 1 咅_尿=也诫一6泌=所殆血=书，即曲=当寸，四棱锥P-A5CO的体积最大.此时般立如團所示的空间直角坐标系冶点的坐标分别为的，蜉，-当j灌，爭 亦,瞬o仏0,辱故社傳甕-尊茲屁0), GD=(%0,0,o)设平面BFC的一个法向量为m=(xm=(xf fv, 1),则由泌走“丄記得%+唔一同理可求出平面DPC的一个法向量为血=1)设平面BPCBPC与平面DPCDPC的夹角为们则8S2

39、 腕譽二5. (2019 辽宁卷)如图 1-5 所示，AABC 和 ABCD 所在平面互相垂直，且 AB = BC = BD = 2,/ ABC =ZDBC = 120, E, F 分别为 AC, DC 的中点.(1) 求证：EF 丄 BC;(2) 求二面角 E-BF-C 的正弦值.一鱼3“ 解得工=1,则曲=(0, I).屈=0,=(VwV=fx.6m42m /23 m = 3 ,8 6m .A【解析】解： (1)证明：方法一，过点 E 作 EO 丄 BC,垂足为 0,连接 OF由ABCDBC 可图 1-5n证出 AEOCFOC，所以/ EOC =ZFOC =三，即 FO 丄 BC.又 EO

40、 丄 BC, EOnFO = O,所 以 BC 丄平面 EFO.又 EF?平面 EFO,所以 EF 丄 BC.图 1方法二，由题意，以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线，并将其作为 x 轴, BC 所在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线， 并将其作为 z 轴， 建立如图所示 的空间直角坐标系， 易得 B(0， 0， 0)， A(0， - 1, .3),D(,3, 1, 0), C(0, 2, 0)，因而 E(0, 2，亨)，F(岁3，2， 0)，所以 EF =(乌3, 0， ), BC = (0, 2 , 0)，所以 EF BC = 0

41、 , 从而 EF 丄 BC ,所以 EF 丄 BC.图 2方法一，在團1中,.过点0作OG1BF,OG1BF,垂足为G Gf f连接斑因为平面肋C丄平面所次M丄面BDC,BDC,又0G丄迟旳所以由三垂纟竝理知EGLEF,EGLEF,因此ZEGO为二面角E.BF-CE.BF-C的平面角在 中EO=EC=CEO=EC=C- 005 30&=.由因此tanZEGg罷勺 从而得鈕尊,即二面甬E-BF-CE-BF-C的正弦值为卒一方法二，在图 2 中，平面 BFC 的一个法向量为 ni= (0, 0, 1).设平面 BEF 的法向量 n2= (x, y, z),又 BF=（于,J,0）, BE=

42、（0,i,易,n2 BF = 0,T得其中一个 n2= （i，3, i）.2 BE = 0,设二面角 E-BF-C 的大小为0,且由题知B为锐角，则 cos0=|cos ni,门2所以 sin0=2=25，即所求二面角正弦值为3.555-AiBiCi中，侧面 BBiCiC 为菱形，AB 丄 BiC.若 AC 丄 ABi,/ CBBi= 60, AB = BC,求二面角 A -AiBi-Ci的余弦值.【解析】解：证明：连接BCiBCif f交冏C干点O,连接加，因狗侧面辭1GC为菱形，所以ECUS且0为BiCRBCiBiCRBCi的中点.又ABkBiC,ABkBiC,所以丧1C丄平面更Q由于上比

43、平面心 6 故51C140,又5i0= CO,故ACABi.ACABi.Q)因为M丄血I,且。为血C的中点，所A0=C0.A0=C0.又因为AB=EC,AB=EC,所ABOC.ABOC.故Q4丄個，从而 少，0B0Bf f两两垂直*決0为坐标原点，06的方向为工轴正方向门的为单位长，建立如團所示的5：间直角坐标系。珈因为ZCBi=60Q,所以心冏为等边三角形，又AB-BC,AB-BC,则#), ,辱虹他0),亨，J血o).1ni门i1-|ni|n2|证明：AC= ABi；设?!二V,力是平面加】场的法向量，则所以可取n=（l,耳的）.设曲是平面如冏。的法向量则（同理可取=（1,一,遍、贝ICO

44、S心 Q 所以结合图形知二面角-4-1151 -G 的余弦值为97. （2019 四川卷）三棱锥 A -BCD 及其侧视图、俯视图如图AD, AB 的中点，P 为线段 BC 上的点，且 MN 丄 NP.证明：P 是线段 BC 的中点；图 1-41-4 所示.设 M ,N 分别为线段【解析】解： 如图所示，取 BD 的中点 0,连接 AO, C0.由侧视图及俯视图知， ABD , BCD 为正三角形，所以佃丄ED,OCBD.OCBD.因为川O, OCu平面/DC,AOrOC=O,AOrOC=O,所以ED丄平面AOC.AOC.又因为Mu平面AOC,AOC,所以SDLAC.SDLAC.取。的中点连接

45、Nf,PH.PH.又MN,N,刃分别为线段几D,AB,AB,BO的中為 所臥册ED,ED, NHHAO,NHHAO,因为A01BD,A01BD,所以NHLBD.NHLBD.因为丄 NP,NP,所以九0丄召D因为NH,NH,JVP匸平面NHP,NHP,且A7/HA?=AS所以丄平面NHP.NHP.又因为HPu平面MJP,MJP,所以劭丄刃”又0C1SD,0C1SD,肿 u 平面BCD,BCD,OC匚平面BCD,BCD,所以HPllHPll OC.OC.因为刃为恳。的中点，所以卩为0的中点.方法一：如图所示，作 NQ 丄 AC 于 Q,连接 MQ.C由知，NP/ AC,所以 NQ 丄 NP.因为

46、MN 丄 NP,所以/ MNQ 为二面角 A - NP - M 的一个平面角.由知，ABD , ABCD 为边长为 2 的正三角形，所以 AO = OC = 3.由俯视图可知，AO 丄平面 BCD.因为 0C?平面 BCD，所以 AO 丄 0C,所以在等腰直角AAOC 中，AC= 6.作 BR 丄 AC 于 R因为在AABC 中，AB= BC,所以 R 为 AC 的中点，因为在平面 ABC 内，NQ 丄 AC, BR 丄 AC,所以 NQ / BR.又因为 N 为 AB 的中点，所以 Q 为 AR 的中点, 所以 NQ =齐 同理，可得 MQ =4 故AMNQ 为等腰三角形, 所以在等腰 MN

47、Q 中,MN BDcos/ MNQ =NQ=NQ故二面角 A - NP - M 的余弦值是严.5方法二 由俯视图及(1)可知，虫O丄平面3因为OC, Ou平面ECD,所以丄0丄OC,AO1OB.AO1OB.又OC丄05,所以直线61,OB,OB,OC两两垂直.如图所示，叹O为坐标原点，以OB,OB,OC,QAQA的方向为工轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O O -jcyz.-jcyz.则“(0, 0,心,B(lB(lf f0, 0), 0(0,耳0), D(1, 0, 0).因为M,M,N分别为线段仙，ABAB的中点，又由(1)知，P为线段的中点，(b o, 0)，NP=NP=设平面

48、血C的一个法向量m=(xi,yi,yi,zi),加丄45,/Bd一禺BC=(-BC=(-1,1,V3,m AB-QAB-Qf fIni BC=Q,BC=Q,.m丄BC,BC,何(jtuyiyif fzi) (b 0，一击)OfOfL(xi(xir ryiyir rzi- -17曲、0) =0j取21=1,贝*XL=Vj1=1,所以1，1).设平面ACVP的一个法向量rt2rt2(X2(X2? ?y2y2? ?Z2),Z2),由,g 丄履M,角 *得._LNP_LNP? ?血-NP=0NP=0? ?(JQ,yi?yi?厂(1?o；o)二(,图 1-4【解析】解：方法一：依题意，以点A 为原点建立

49、空间直角坐标系(如图所示)，可得 B(1 , 0,0), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2). C 由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1 , 1 , 1).从而*xi A/3ZI=0一天1+萌加=0_取a=l,则H=lj血=0,所叹雄=(Q, 1, 1).设二面角小旳W的大小为 6 则如心齐 故二面角A-NP-A-NP-M M的余弦值是理-墮1, I) -( (0, I, 1& (2019 天津卷)如图 1-4 所示，在四棱锥 P -ABCD 中，PA 丄底面 ABCD, AD 丄 AB, AB/DC, AD = DC = AP = 2, AB =

50、1,点 E 为棱 PC 的中点.(1)证明：BE 丄 DC ；求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF 丄 AC,求二面角 F - AB - P 的余弦值.(1)证明：向量 BE = (0, 1, 1), DC = (2, 0, 0),故 BE DC = 0,所以 BE 丄 DC.不妨令 y= 1,可得 n = (2 , 1, 1)为平面 PBD 的一个法向量.于是有_ V3cosn, BE=| n|BE|=6 x. 2= 3 所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为2), AC = (2, 2, 0), AB = (1 , 0, 0).由点

51、 F 在棱PC 上,设 CF=总,0W冶 1.故 BF = BC+ CF = BC+ CP = (1 -2 人 2 -2 人2 为.由 BF 丄 AC ,得 BF AC = 0,所以 2(1 - 2?)+ 2(2 - 2? = 0,解得冶 4,即 BF =-3 设 n1= (x , y , z)为平面 FAB 的法向量,则n1 AB =0 , 血 BF =0 ,即丫x=0,113不妨令 z= 1 ,可得 n1= (0 , - 3 , 1)为平面 FAB 的一个法向來+?y+z= 0.量.取平面 ABP 的法向量 n2= (0 , 1 , 0),则n1门2 33/1010 cos ,=.10 羽

52、易知二面角 F - AB - P 是锐角，所以其余弦值为3100.(2)向量 BD = (- 1, 2,0), PB = (1 , 0, - 2) 设 n = (x, y, z)为平面PBD 的法向量,n BD = 0 ,则|n PB = 0 ,即厂x+2y=0,x-2z=n BE(3)向量 BC = (1 , 2, 0) , CP= (- 2 , - 2 ,方法二：证明：如團所示，取妙中点场 连接乩G卫时由于禺血分别为胆，加的中点，故瓦谢DC,DC,且丘0討匚又由已扣，可得EXfliEXfli ABAB且故四边形拙EM为平行四边形所以匪心M因为已丄底面ABCDABCD、故刃丄防，而 3 丄加，从而 仞丄平面別D因为匚平面RWRWt t所以CDLAM-CDLAM-又BEBE ifif AM,AM,所以.亚丄仞一连接 BM，由有 CD 丄平面 PAD，得 CD 丄 PD.而 EM / CD，故 PD 丄 EM.又因为 AD = AP,M 为