八年级数学上册4.4一次函数的应用例题与讲解素材(新版)北师大版

1、4 一次函数的应用基础知识基举捷能UZjlZi F hi丁JA E A n i i P i i入 * 壬疋1 .确定一次函数表达式(1) 借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y=kx(k丰0)；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y=kx+b(kz0)；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标.对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y=kx或y=kx+b中，求出其中的k,b,即可确定出其关系式.(2) 确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件1由于正比例函数y=kx(k丰0)

2、中只有一个未知系数k，故只要一个条件，即一对x,y的值或一个点的坐标，就可以求出k的值，确定正比例函数的表达式.2一次函数y=kx+b(kz0)有两个未知系数k，b，需要两个独立的关于k，b的条件，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y的值.【例 1】 如图，直线AB对应的函数表达式是(A. y=-|x+ 32D. y= 3X+ 3解析：设直线AB对应的函数表达式是y=kx+b(k丰0)，当x= 0 时，y= 3,代入得b33=3，当x= 2 时，y= 0，贝y2k+ 3= 0，k=-，故y= -x+ 3.答案：A点技巧用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数，

3、故应设成y=kx+b(kz0)的形式，再将A, B两点坐标代入该关系式，即可求出k,b,从而确定出具体的关系式.2.待定系数法(1) 定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的 方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数.B. y= |x+ 32(2) 用待定系数法求解析式的一般步骤：1根据已知条件写出含有待定系数的解析式；2将x,y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未 知数的方程或方程组；3解方程(组)，得到待定系数的值；4将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式.【例 2- 1】一次函数图象如图所示，求其

4、解析式.分析：利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的坐标，再用待定系数法求出k,b的值，从而确定表达式.解：设一次函数解析式为y=kx+b,一次函数图象过点(0，- 2),2=kxo+b,. b= 2.一次函数图象过点(1,0), 0=kx1+b,k= 2. 一次函数解析式为y= 2x 2.【例 2 2在直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过三点A(2,0) ,B(0,2) ,C(m,3)，求这个函数的表达式，并求m的值.解：根据题意，得2k+b= 0，b= 2,km+b= 3，把b= 2 代入，得 2k+ 2= 0,即卩k= 1;把b= 2,k= 1 代入，得 m= 1.故函数的表达

5、式为y= x+ 2.3.一次函数的实际应用(1) 通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系.释疑点函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大 的帮助.(2) 一次函数图象的应用3一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中4有着广泛的应用.禾 U 用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点, 容在中考中占有重要的地位.谈重

6、点 函数y=kx+b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y=kx+b(k工 0)的图象就不再是一条直线要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等.【例 3- 1】甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题:(1) 乙队开挖到 30 m 时，用了 _ h 开挖 6 h 时甲队比乙队多挖了 _ m.(2) 请你求出：1甲队在 OwXW6的时段内，y与x之间的函数关系式；2乙队在 2x6的时段内，y与x之间的函数关系式.(3) 当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所

7、挖河渠的长度相等？分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m 时，用了 2 h 开挖 6 h 时甲队比乙队多挖了 10 m设甲队在 0wxW6的时段内y与x之间的函数关系式为y=kix(ki丰0)，由 图可知，函数图象过点(6,60) ,.6 匕=60,解得k1= 10,y= 10 x.设乙队在 2 1 500 时，y2yi; 0vxv1 500 时，y?vyi.解：观察图象，得：(1) 每月行驶的路程小于 1 500 km 时，租国有出租车公司的车合算；(2) 每月行驶的路程为 1 500 km 时，租两家车的费用相同；(3) 如果每月行驶的路程为 2 600 km,那么这个单位租个体

8、车主的车合算.析规律 函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小; 交点处的函数值相等.4一次函数和一元一次方程的关系当一次函数y=kx+b(kz0)中的函数值为 0 时，可得 0 =kx+b即kx+b= 0,这在形式 上变成了求关于x的一元一次方程，也就是说，当一次函数y=kx+b的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程kx+b= 0 的解；若从图象上来看，则可看做函数y=kx+b的图象 与x轴的交点的横坐标，即为方程kx+b= 0 的解.由此可见，方程与函数是密不可分的.【例 4】某汽车生产厂对其生产的A 型汽车进行耗油量实验，实验中汽车

9、视为匀速行驶已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程F图.请你根据这些信息求 A 型车在实验中的速度分析：考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力.解法一：余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，可设关系式为y=kx+b(k丰0).由图象可知y=kx+b经过两点(0,100)和(500,20)，则有b= 100,20 = 500k+b.4x(km)的关系如行驶时间t(h)0123油箱余油量y(L)100846852200 5001 5000500 AAm6把b= 100 代入 20= 500k+b,得 20= 500k+ 100，解得k=- 4直线的解析式为y

10、= + 100.25当y= 100 时，x= 0;当y= 84 时，x= 100.由图表可知，油箱中的余油量从100 L 到 84 L ,行驶时间是 1 h，行驶路程是 100 km.A型汽车的速度为 100 km/h.解法二：由图表可知：A 型汽车每行驶 1 h 的路程耗油 16 L.由图象可知：A 型汽车耗油 80 L 所行驶的路程为 500 km.可设汽车耗油 16 L 所行驶的路程为xkm ,则 500 : 80=x: 16，解得x= 100.A型汽车 1 h 行驶的路程为 100 km.它的速度为 100 km/h.点评：有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解.基本方法卿

11、能力丿ii QU匚1 Di Fi hi% P、m5.一次函数图象的平移一次函数y=kx+b（k丰0）的图象可以看做由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b0 时，向上平移；当bv0 时，向下平移）.实际上就是指一次函数y=kx+b的图象沿y轴平移时，在b的位置上按照“上加下减”的规律进行如：一次函数丨1：y= |x+ 2 的图象可以看做是由正比例函数I:y= 2x的图象沿y轴向上平移 2 个单位长度得到的；一次函22数丨2:y=3x 2 的图象可以看做是由正比例函数I:y=3x的图象沿y轴向下平移 2 个单位33长度得到的.【例 5】 如图所示，将直线0A向上平移 1 个单位长度，得到一

12、个一次函数的图象，那 么这个一次函数的解析式是 _.7OA 1 2 JC解析：由图象可知，直线经过原点，所以设直线的解析式为y=kx（0）.因为直线经过点（2,4），所以直线的解析式为y= 2x.根据“上加下减”的原则，可知所求的一次函数解 析式为y= 2x+ 1.答案：y= 2x+ 1析规律 平移中的函数解析式解决平移问题可以对性质进行记忆直接运用，也可以找出平移后借助坐标系运用待定系数法求解平移前后k的值不变，改变的是b的值.6.函数、方程和不等式的完美结合从“数”的角度看，由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b= O（a,b为常数，且a*0）的形式，所以解一元一次方程可以看做：当一次函

13、数y=ax+b的值为 0 时，求相应的自变量的值；反之，求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为 0,只要求出方程ax+b=0 的解即可由于任何一元一次不等式都可以转化为类似ax+b0 或ax+b0 或ax+b 0 的解集是_ .解析：本题先以表格的形式向我们提供了一次函数y=ax+b的信息按一般解法，我们完全可以利用这些对应值，通过待定系数法求出未知系数a和b,然后再去解方程或不等式，于是得解果真那样去做的话，说明你没有真正领会到本题的用意事实上，本题是想 考查你对一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间关系的掌握情况.由三者之间的关系可知，求方程ax+b= 0 的解，实质上就是求一

14、次函数y=ax+b的函数值为 0 时，对应的 自变量x的取值，从表中可直接看出x= 1；同理，求不等式ax+b 0 的解集，实质上就是求当一次函数y=ax+b的函数值大于 0 时，对应的自变量x的取值范围，这时也可以从表 中直接看出为x 1.V. 4 3 2 18答案：x= 1x0 时，向上平移；当bv0 时，向下平移)，所以将直线y= 2x向上平移两个单位长度，所得的 直线是y= 2x+ 2.答案：A【例 7 5】 大拇指尽量伸开时，拇指与食指的距离称为指距，某研究表明，一般情况 下，人的身高h是指距d的一次函数，下表是测得指距与身高的一组数据：指距d(cm)20212223身高h(cm)1

15、60169178187(1) 求出h与d之间的函数关系式.(2) 某人身高 196 cm，一般情况下他的指距是多少？解： 设一次函数的解析式为h=kd+b(k,b为常数，且k工 0).由题意，得 160= 20k+b，169 = 21k+b.，得k= 9，代入，得b= 20.故一次函数的解析式为h= 9d 20.(2)当h= 196 时，196 = 9d 20,得d= 24.因此某人身高 196 cm，一般情况下他的指距是24 cm.8.分段计费问题元？10在自变量的不同取值范围内表示函数关系的解析式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，有关运用分段函数的知识解决生活中的问题是近几年中考的热点之一，能考查学生分析问题、解决问题的能力，及培养学生思维的广阔性和深刻性.分段计费问题和实际生活联系密切，这类问题考查有效地应用数学知识解决实际问题的 能力常见的分段计费问题有：水费分段计费、电费分段计费、话费分段计费等.点评：解决问题的关键是根据已知条件构建函数在不同的条件下的解析式，再由条件选择对应的解析式求解.【例 8】 某市居民生活用电基本价格为每度0.4 元，若每月用电超过a度，超过部分按基本电价的 70%攵费.(1) 某户五月份用电 84 度，共缴电费 30.72 元，求a的值；(2) 若该户六月份的电费平均为每度0.36 元，求六月份共用电多少度？应缴电费多