八年级数学上册13.3等腰三角形构造等腰三角形解题的常见途径素材(新版)华东师大版

1、构造等腰三角形解题的常见途径等腰三角形是研究几何图形的基础，因此在许多几何问题中， 常常需要构造等腰三角形才能使问题获解，那么如何构造等腰三角形呢？一般说来有以下几种途径：一、利用角平分线+ +平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形如图 1 1中,若AD平分/BAC AD EC则厶ACE是等腰三角形；如图 1 1中，AD平分/BAC DE AC则厶ADE是等腰三角形；如图 1 1中，AD平分/BAC CE AB则厶ACE是等腰三角形；如图1 1中，AD平分/BAC EF/ AD则厶AGE是等腰三角形如图 2 2, ABC中,AB= AC在AC上取

2、点P,过点P作EFL BC交BA的延长线于点E,垂足为点F.求证：. .AE= AP简析 要证. .AE= AP,可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB= AC则可以作AD平分/BAC所以ADLBC而EFLBC所以AD/ EF,所以可得到AEP是等腰三角形，故AE= AP例 2 2 如图 3 3,在厶ABC中 , /BAC/BCA的平分线相交于点0,过点0作DE/ AC分别交AB BC于点D E试猜想线段AD CE DE的数量关系，并说明你的猜想理由 . .简析 猜想：ABCE= DE理由如下：由于0A0C分别是/BAC/BCA勺平分线，DE/ AC所以ADOACEC均是等腰三角形，则D0

3、= DA EC= EQ故A&CE= DEC C图 1 1D D F F例 3 3 如图 4 4, , ABCABC 中，AD平分/BAC E、F分别在BD AD上，且DE= CD,EF=AC求证：EF/ AB简析 由于这里要证明的是EF/ AB而AD平分/BAC所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE= CD的提示下，相当于倍长中线，即延长AD至M使DM= AD连结EM则可证得厶ADC所以ME= AC又EF=AC/M=ZCAD所以/M=ZEFM即/CAO/EFM又因为AD平分/BAC所以/BAD=ZEFD=ZCAD所 以EF/ AB二、利用角平分线+ +垂线

4、,构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形如图 5 5 中，若AD平分/BAC ADL DC则厶AEC是等腰三角形例 4 4 如图 6 6,已知等腰 RtRtABC中，AB= AC/BAC=9090 ,BF平分/ABC CDL BD交BF的延长线于D.求证：BF= 2 2CD简析 由BF平分/ABC CDLBD并在图 5 5 的揭示之下，延长线BA CD交于点E,于是厶BCE是等腰三角形，并有ED= CD余下来的问题只需证明BF=CE而事实上，由/BAC=9090 ,CDLBD, /AFB=/DFC得/ABF=/DCF而AB= AC,所以ABFAACE贝U

5、BF=CE故BF= 2 2CD三、利用转化倍角，构造等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2 2 倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形如图 7 7中，若/ABC=2 2/C如果作BD平分/ABC则图 7 7A AD D 图5 5DBC是等腰三角形；如图 7 7中，若/ABC=2 2/C,如果延长线CB到D,使BD= BA连结AD则厶ADC是等腰三角形；如图 7 7中，若/ B=B= 2 2/ACB如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作/ACD=ZACB交BA的延长线于点D,则厶DBC是等腰三角形E E图 8 8例 5 5 如图 8 8，在ABC中，/ACB=2 2/B,BO2 2AC求证：/A= 9090.简析 由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对/ACB=2 2/B进行技术处理，即作CD平分/ACB交AB于D,过D作DEL BC于E,则由/ACB=2 2/B知/B=ZBCD即厶DBC是等腰三角形， 而DE