培优(九年级)第27讲——刘凯老师

1、第 27 讲 抛物线与直线型（ 3）由动点生成面积问题科学家就是为了解决重大的科学问题来到世上，绝不是为了受到别人的提拔和奖励才做研究的，从中学开始，我就自己找困难的几何问题，寻找自己的数学之路。丘成桐知识纵横面积是平面几何中一个重要的概念， 关联这平面图形中的重要元素与角。 由动点而生成的面积问题， 是抛物线与直线形结合的常见形式。 解这类问题常用到以下与面积相关的知识：（ 1）图形的割补；（ 2）等积变形；（ 3）等比变化。例题求解【例 1】 如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（ -2 ， 0），连接 OA，将线段 OA绕原点 O 顺时针旋转 120°，得到线段 OB（ 1）

2、求点 B 的坐标；（ 2）求经过 A、 O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由（昆明市中考题）思路点拨对于（ 3），抛物线的对称轴是直线 x1 ，当点 C 位于的对称轴与线段AB的交点时，BOC 的周长为最小，为此需求出直线AB的解析式；对于（）过点p作y轴4的 平 行 线 交 AB 解 析 式 ； 对 于 （ 4 ）， 过 点 p 作 y 轴 的 平 行 线 交 AB 于 D ， 则1SPAB SPADS PBD2 ( yD yP )( xBxA ) ，代入展开整理得关于 x 的二次函数。

3、【例 2】如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ 1， 2），点 B 的坐标为（ 3， 1），二次函数 yx 2 的图象记为抛物线 l1 （1）平移抛物线 l1 ，使平移后的抛物线过A，B 两点，记为抛物线 l 2 ，如图，求抛物线 l 2的函数表达式；（2）设抛物线 l 2 的顶点为 C， K 为 y 轴上一点若 S ABKS ABC ，求点 k 的坐标；（威海市中考题）思路点拨（ 1）设 k 点坐标为 ( 0, h) ，通过图形的分割计算，建立h 的方程；（ 2） K 点必在平行于AB 的直线上，从等积变形入手。【例 3】 如图，已知点 A（ m,6) 、 B(m,1) 为两动点，其中

4、 0 m 3，连接 OA、 OB， OA OB。（1）求证： mn= 6；（2）当 S AOB6 时，抛物线经过A，B 两点且以y 轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；(3) 在（ 2）的条件下，设直线 AB交 y 轴于点 F，过点 F 作直线 l 交抛物线于 P， Q两点，问是否存在直线l ，使？若存在，求出直线l 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。（潍坊中考题）【例 4】如图，已知抛物线yax2bxc 经过点 A（ 2，3）， B（ 6， 1）， C（0， -2 ）（ 1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；（ 2）点 P是抛物线对称轴上的动点，当AP CP时，

5、求点 P 的坐标；（3）设直线BC与 x 轴交于点D，点 H 是抛物线与x 轴的一个交点，点E（t ， n）是抛物线上的动点，四边形 OEDC的面积为 S当 S 取何值时，满足条件的点值时，满足条件的点 E 有两个？E 只有一个？当S 取何分析于 t由点的个数的探讨联想到的一元二次方程。（ 2017 年包头市中考题）“根的判别式” ，解题的关键是寻找n、S 的关系，并建立关学历训练1如图，抛物线 y ax2bx (a0）与双曲线 yk 相交于点A， B已知点 B 的坐标为x（-2 ， -2 ），点 A 在第一象限内，且tan AOx =4过点 A 作直线 AC x 轴，交抛物线于另一点 C（

6、1）求双曲线和抛物线的解析式；（ 2）计算 ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点 D，使 ABD的面积等于 ABC的面积？若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由（ 2017 年日照市中考题）(第1题）2如图，已知直线 y1 x 与抛物线 y1 x26交于 A、B两点，24（ 1）求 A， B 两点的坐标；（ 2）求线段 AB 的垂直平分线的解析式；（ 3）如图 2，取与线段 AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在 A， B两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 P 在直线 AB上方的抛物线上移动， 动点 P 将与 A，B构成无数个三角形， 这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如

7、果存在， 求出最大面积， 并指出此时 P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由（长沙市中考题）3. 如图，抛物线yax2bxc 经过点A（-1,0）、 B（ 3,0 ）、 C（ 0,3 ）三点，对称轴与抛物线相较于点P、与直线BC相较于M，连接PB。（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q，使QMB与PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使RPM与RMB的面积相等？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由。（大连市中考题）第 3 题4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bxc 与x 轴交于点A、B（点A 在点B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 E，顶点为 E。（1）若 b=2， c=3，求此时抛物线顶点E 的坐标；（2）将（ 1）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形A