大庆市2019届高三第一次模拟考试数学(理科)含答案解析

1、黑龙江省大庆市2019 年高考数学一模试卷（理科）（解析版）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1已知集合A=x|x 2 0 ， B=x|x a ，若 A B=A ，则实数a 的取值范围是（）A （ ， 2 B 2， +） C（ ， 2D 2， +）【分析】 化简 A ，再根据A B=A ，求得实数a 的取值范围【解答】 解：集合A=x|x 2 0=x|x 2 ，B=x|x a ， A B=A ， a2，故选： D【点评】 本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题2若复数x 满足x+i=，则复数x 的模为（）A B10C4D【分析】 利用复数代数形

2、式的乘除运算求得复数x，再求其模即可【解答】 解： x+i=， x= i= 13i ， |x|=，故选： A【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题3下列函数中，在（0， +）上单调递减，并且是偶函数的是（）23xA y=x B y= x C y= ln|x|D y=2【分析】 本题根据函数奇偶性定义，判断函数的是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题结论【解答】 解：选项A ，y=x 2 是偶函数，当 x 0 时， y=x 在在（ 0， +）上单调递增，不合题意；选项 B，y= x3，是奇函数，不合题意；选项 C，y= ln|x|是偶函数，当 x 0 时， y

3、= lnx 在在（ 0， +）上单调递减，符合题意；选项 D，y=2x，不是偶函数，递增，不合题意故选： C【点评】 本题考查了奇偶性与单调性，本题难度不大，属于基础题4双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（）A=1B=1C=1D=1【分析】 根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，且一个顶点的坐标是（2， 0），可确定双曲线的焦点在x 轴上，从而可求双曲线的标准方程【解答】 解：双曲线的一个顶点为（2， 0），其焦点在x 轴，且实半轴的长a=2，双曲线的一条渐近线方程为y=x， b=2，双曲线的方程是=1故选： D【点评】 本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位

4、置与实半轴的长是关键，属于中档题5下列说法中不正确的个数是（） 命题 “?xR， x3 x2+10”的否定是 “?x0R， x03 x02 +1 0”； 若“pq”为假命题，则p、 q 均为假命题；“三个数 a，b， c 成等比数列 ”是 “b=”的既不充分也不必要条件AOB1C 2D3【分析】 根据含有量词的命题的否定判断 根据复合命题与简单命题之间的关系判断 根据充分条件和必要条件的定义判断【解答】 解：全称命题的否定是特称命题，命题 “ xRx3x2? ，+10”“ xR，的否定是? 03 2x 0 x0 +1 0”正确 若“pq”为假命题，则p、 q 至少有一个为假命题；故错误“三个数

5、a，b， c 成等比数列 ”则b2=ac， b=，若 a=b=c=0，满足b=，但三个数a， b，c 成等比数列不成立， “三个数 a， b， c 成等比数列 ”是 “b=”的既不充分也不必要条件，正确故不正确的是 故选： B【点评】 本题主要考查命题的真假判断，解决的关键是对于命题的否定以及真值的判定的运用，属于基础题6已知直线l 平面 ，直线 m? 平面 ，给出下列命题 =l m； ? l m； l m? ； l m? 其中正确命题的序号是（）A B C D 【分析】 由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l 平面 ，再利用面面垂直的判定可得 为真命题；当直线与平面都和同

6、一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故 为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m平面 ，再利用面面垂直的判定可得 为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面 内，则有和 相交于 m，故 为假命题【解答】 解：l平面 且 可以得到直线l平面 ，又由直线m? 平面 ，所以有 l m；即 为真命题；因为直线所以 l 与l平面 且 可得直线m，可以平行，相交，异面；故l平行与平面或在平面内，又由直线 为假命题；m? 平面 ，因为直线l平面 且 l m 可得直线m平面 ，又由直线m? 平面 可得 ；即 为真命题；

7、由直线l平面 l m可得直线m平行与平面m? 平面以及或在平面内，又由直线为假命题得 与可以平行也可以相交，即所以真命题为 故选 C【点评】 本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查重点考查课本上的公理， 定理以及推论， 所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理， 定理以及推论理解透彻，并会用7记定义在区间a，b上的连续函数y=f（x），如果存在x0 a，b ，使得 f（ x0）=3成立，则称x0 为函数 f （ x）在 a， b 上的 “平均值点 ”，那么函数f（ x）=x +2x 在 1， 1“”）上 平均值点 的个数为（A1B2C3D4【分析】 由新定义计算定积分可将问题转化

8、为g（ x） =x 3x 1 1+2x 在 ， 上的零点个数，由零点判定定理和函数单调性可得【解答】 解：由题意可得（ x3+2x） dx= （x4+x 2）=，函数 f（x）=x 311 “”31 1+2x在x +2x=上根的个数， ， 上 平均值点 的个数为方程在 ， 构造函数3，则问题转化为g（ x）在 x 1， 1 上的零点个数，g（x） =x+2x求导数可得 g（ x） =3x20gxx 11+2）在上单调递增， ，故函数（，由 g（ 1） g（ 1） 0，故函数 g（ x）在 x 1， 1 上有唯一一个零点故选： A【点评】 本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题

9、8（ 5 分）（ 2019 呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形若该几何体的体积为V ，并且可以用n 个这样的几何体拼成一个棱长为4 的正方体，则V ， n 的值是（）A V=32， n=2B CD V=16 ， n=4【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以 V=，边长为 4的正方体 V=64 ，所以 n=3故选 B【点评】 本题考查学生的空间想象能力，是基础题9（ 5 分）（ 2019漳州一模）已知曲线f （x） =sin（ wx ） +

10、cos（ wx ）（ w 0）的两条相邻的对称轴之间的距离为，且曲线关于点（x0， 0）成中心对称，若x00， ，则x0=（）A BCD【分析】 利用两角和的正弦公式化简f（ x），然后由f（ x0） =0 求得 0， 内的x0 的值【解答】 解：曲线f（ x） =sin（ wx ） +cos（wx ）=2sin （ wx+）的两条相邻的对称轴之间的距离为， =， w=2 f （ x） =2sin（ 2x+） f （ x）的图象关于点（ x0， 0）成中心对称， f （ x0） =0，即 2sin（2x0+ ） =0， 2x0+ =k ， x0=， kZ ， x00， x0=故选： C【点评】

11、 本题考查两角和与差的正弦函数，考查了正弦函数的对称中心的求法，是基础题10已知在三棱锥P ABC 中， PA=PB=BC=1 ，AB=，AB BC ，平面 PAB 平面 ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A B 3CD 2【分析】 求出 P 到平面 ABC 的距离为， AC 为截面圆的直径，AC=，由勾股定理可22222得R=（） +d =（） +（ d） ，求出【解答】 解：由题意， AC 为截面圆的直径， AC=设球心到平面ABC 的距离为 d，球的半径为 R，PA=PB=1 ，AB=，R，即可求出球的表面积，PA PB，平面 PAB 平面 ABC ，P 到平面

12、 ABC 的距离为由勾股定理可得R2=（） 2+d2=（）2+（ d）2， d=0， R2=，2球的表面积为4R =3故选： B【点评】 本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键11在平面直角坐标系xOy 中，已知 C：x2+（ y 1）2=5 ，点 A 为 C 与 x 轴负半轴的交点，过 A 作 C 的弦 AB ，记线段 AB 的中点为M ，若 |OA|=|OM| ，则直线 AB 的斜率为（）A 2BC 2D 4【分析】 因为圆的半径为，所以 A（ 2，0），连接 CM ，则 CM AB ，求出圆的直径，在三角形 OCM 中，利用正弦定理求出sin OCM ，利用 OCM

13、与 OAM 互补，即可得出结论【解答】 解：因为圆的半径为，所以 A （ 2， 0），连接 CM ，由题意 CM AB ，因此，四点 C， M ，A ， O 共圆，且 AC 就是该圆的直径， 2R=AC=，在三角形 OCM 中，利用正弦定理得2R=，根据题意， OA=OM=2 ，所以，=，所以 sinOCM=， tan OCM= 2（ OCM 为钝角），而 OCM 与 OAM 互补，所以 tan OAM=2 ，即直线AB 的斜率为2故选： C【点评】 本题考查直线与圆的位置关系，考查正弦定理， 考查学生的计算能力，属于中档题12已知函数 （fx）=x3 x2 x+a 的图象与 x轴只有一个交点

14、， 则实数 a 的取值范围是 （）A （ ， 1）（， +） B（， 1）C（ ， 1） D（ ，）（ 1， +）【分析】 求出导数，求出单调区间，求出极值，曲线f（ x）与 x 轴仅有一个交点，可转化成 f（ x） 极大值 0 或 f （x） 极小值 0 即可【解答】 解：函数f（ x）=x 3 x2 x+a 的导数为f （ x）=3x 2 2x 1，当 x 1 或 x时， f（ x） 0， f （ x）递增；当 x 1 时， f（ x） 0， f（ x）递减即有 f （1）为极小值，f（）为极大值 f （ x）在（ ，）上单调递增，当x 时， f（ x） ；又 f（ x）在（1，+）单调递

15、增，当x+时， f （ x）+，当f （x） 极大值 0 或f（ x） 极小值 0 时，曲线f（x）与x 轴仅有一个交点即 a+ 0 或 a（ ，a 1 0，）（1， +），故选： D【点评】 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13若 | |=1， | |=，且，则向量与的夹角为【分析】 根据向量的数量积运算和向量的夹角公式即可求出【解答】 解：设向量与 的夹角为，且，=（+）=+=| |2+| |cos=0，即 1+ cos=0，即 cos= ， 0 =，故答案为：【点评】 本题考查了向量的数量积运算和向量模

16、的计算，属于基础题14已知在等差数列a n 中， a1 ，a2019 为方程 x2 10x+16=0 的两根，则a2+a1009+a2019 的值为15【分析】 利用一元二次方程的根与系数的关系可得a+a=10再利用等差数列的性质即可12019得出【解答】 解： a1， a2019 为方程 x2 10x+16=0 的两根， a1+a2019=10=2a 1009，数列 a n 是等差数列，则 a2+a1009+a2019=3a1009=15 故答案为： 15【点评】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15设变量x， y 满足约束条件，目

17、标函数z=abx+y （ a，b 均大于 0）的最大值为8，则a+b 的最小值为2【分析】 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（ a 0，b 0）的最大值为8，求出a，b 的关系式，再利用基本不等式求出a+b 的最小值【解答】 解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图：4 个顶点是（ 0， 0），（ 0， 2），（， 0），（ 2， 6），由图易得目标函数在（2， 6）取最大值8，即 8=2ab+6， ab=1， a+b2=2，在 a=b=2 时是等号成立， a+b 的最小值为 2故答案为： 2【点评】 用图解

18、法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件， 并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解16已知 F1，F2 是椭圆=1 的两个焦点， A ，B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段 AB 上，则的最小值为【分析】求得椭圆的焦点和A ，B 的坐标，以及直线 AB 的方程，设出 P（ m，n），求得的坐标表示， 由 m2+n2 的几何意义： 表示原点与 AB 上的点的距离的平方，运用点到直线的距离公式即可得到所求最小值【解答】 解椭圆

19、=1， A （ 2， 0）， B （ 0，1）， F1（， 0）， F2（，0），可得 AB 的方程为 x 2y+2=0 ，设 P（ m， n），则=（m， n）（ m， n）=m 2+n 23，由 m2+n2 的几何意义：表示原点与AB 上的点的距离的平方可得原点到直线AB 的距离取得最小，且为=，即有 m2+n2 3的最小值为 3=故答案为：【点评】本题考查椭圆方程和性质，考查向量的坐标表示及最值的求法，解题时要认真审题，注意 m2+n2 的几何意义的合理运用，属于中档题三、解答题（共5 小题，满分60 分）17（ 12 分）（ 2019 大庆一模） 已知等比数列a n 的各项均为正数，

20、且 a1+2a2=1，a=4a2a6（ 1）求数列 a n 的通项公式；（ 2）设 b=log a +log a +log a ，求数列 的前 n 项和n21222 n【分析】 （ 1）设数列 a n 的公比为 q，通过解方程组可求得a1 与 q，从而可求数列 a n 的通项公式；（ 2）可知 b n 为等差数列， 利用等差数列的求和公式可求得bn，利用裂项法， 可求数列 的前 n 项和【解答】 解：（1）设等比数列 a n 的公比为 q，由 a=4a2a6 得 a =4， q2=，由已知a 0， q=，n由 a1+2a2=1，得 2a1=1， a1= ，数列 a n 的通项公式为an =（

21、2） bn=log 2a1+log 2a2+log 2an=（ 1+2+ +n ）=2（），数列 的前n 项和 =2（ 1） +（） +（） =【点评】 本题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题18（ 12 分）（ 2019大庆一模）已知 ABC的内角A ， B， C 的对边分别为a，b，c，=（， c 2b），=（ sin2C， 1），且满足=0（ 1）求 A 的大小；（ 2）若 a=1，求 ABC 周长的取值范围【分析】 （ I ）由已知及平面向量数量积的运算可得2acosC+c 2b=0，由余弦定理

22、整理得b2+c 2a2=bc，可求 cosA=，结合范围0A ，即可解得A 的值（ II）由正弦定理及恒等变换的应用可得ABC 的周长 l=a+b+c=1+（ sinB+sinC ）=2sin（ B+） +1，结合范围0B，可求 sin（ B+） 1，即可得解周长的取值范围【解答】 （本小题满分12 分）解：（ I ）=0 ，sin2C+c 2b=， （ 2 分），即 2acosC+c 2b=0， （ 3 分）由余弦定理得： 2a+c2b=0， （ 4 分）整理得 b2+c2a2=bc， cosA=，0 A ， A=（6 分）（ II ） cosA=， sinA=， （7 分）由正弦定理得：=

23、，（8 分） ABC 的周长 l=a+b+c=1+（sinB+sinC） =1+sinB+sin （ B+）=2sin （ B+） +1 ， （ 10 分）0B， B， sin（B+） 1， （11 分）2 l 3ABC周长的取值范围为（23 （12分）因此 ，故，【点评】 本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题19（ 12 分）（2019 大庆一模）如图，四棱锥P ABCD 的底面是菱形，PA平面 ABCD ，AC=BC ，E， F 分别是 BC，PC 的中点（ 1）证

24、明：平面AEF 平面 PAD ；（ 2）若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为，求二面角F AE B 的余弦值【分析】 （ 1）根据面面垂直的判定定理即可得到结论（ 2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可【解答】 解：（ 1）由四边形ABCD 是菱形， AC=BC ，可得 ABC 为正三角形 AE BC又 BCAD ， AE AD（1 分）PA 平面 ABCD ，AE ? 平面 ABCD ， PA AE ，PA ? 平面 PAD ， AD ? 平面 PAD ，且 PAAD=A ， AE 平面 PAD ，而 AE ? 平面 AEF ，平面 AE

25、F 平面 PAD （ 4 分）（ 2）设 AB=2 ， H 为 PD 上任意一点，连接AH ， EH ，由（ I）知 AE 平面 PAD ，则 EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角 （5 分）在 Rt EHA 中， AE=，当 AH 最短时， EHA 最大， 即当 AH PD 时， EHA 最大，此时 tan EHA= （ 6 分） AH=，又 AD=2 ， ADH=45 °， PA=2 （ 8 分）由（ I）知 AE ， AD ， AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系又 E， F 分别是 BC ，PC 的中点， A （ 0， 0，0）， B（， 1，

26、 0）， C（，1， 0），D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（， 0， 0）， F（， ，1） （9 分） =（， 0， 0），=（， 1）设平面 AEF 的法向量为=（ x， y，z），则，（ 10 分）取 z= 1，则=（ 0， 2， 1），为平面AEF 的一个法向量又 PA 平面 ABC ，=（0， 0， 1）为平面ABE 的一个法向量 cos， =，故所求二面角的余弦值为（12 分）【点评】 本题主要考查面面垂直判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大20（ 12 分）（ 2019 大庆一模）已知函数 f（ x） =ln

27、 （ x+a） x2 x 在 x=0 处取得极值（1）求函数 f （x）的单调区间；（2）若关于 x 的方程 f（ x）=x+b 在区间（ 0，2）有两个不等实根，求实数b 的取值范围；（3）对于 nN +，证明：【分析】 （ 1）求导， f （ 0） =0，求得 a 的值，写出函数及导函数表达式，f（ x） 0，求得 f（ x）的单调递增区间，；由f（ x） 0，求得函数单调递减区间；（ 2）构造辅助函数g（x） =f （ x）（x+b ），求导，令g（ x） =0，求得 x 的值，即可求得 g（ x）的单调区间，求得g（ x）的两个零点，实数b 的取值范围；2时等号成立），可得到 ln（

28、3）由（ 1）可知当 x0 时 ln（ x+1）x +x （当且仅当 x=0，求得前n 项不等式，采用累加法及对数函数的性质，即可证明不等式成立【解答】 解：（ 1）由已知得f（ x） = 2x1=，（ 1 分） f （ 0） =0，=0， a=1 f （ x） =ln （ x+1 ） x2 x（ x 1）， （ 2 分）于是 f （ x）=（ x 1），由 f（ x） 0 得 1x 0；由 f （ x） 0，得 x 0， f （ x）的单调递增区间是（1，0），单调递减区间是（0， +） （ 4 分）（ 2）令 g（ x） =f （ x）（2x b， x（ 0， 2），x+b ） =ln （

29、 x+1） x +则 g（ x） = 2x+=，令 g（ x） =0，得 x=1 或 x= （舍），当 0 x 1 时， g（ x） 0；当 1 x 2 时 g（ x） 0，即 g（ x）在（ 0， 1）上单调递增，在（ 1， 2）上单调递减 （ 7 分）方程 f（ x）=x+b 在区间（ 0， 2）有两个不等实根等价于函数g（ x）在（ 0， 2）上有两个不同的零点，即亦即， ln3 1 b ln2+，故所求实数b 的取值范围为b 丨 ln3 1 b ln2+ （ 9 分）证明：（ 3）由（ 1）可得，当x0 时 ln（ x+1） x2+x （当且仅当x=0 时等号成立），设 x=，则 ln

30、 （1+）+，即 ln （10 分） ln， ln， ln， ， ln，将上面 n 个式子相加得：+ ln+ln+ln+ln=ln （ n+1 ），故： （12 分）【点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程的实数根转化为函数图象与 x 轴的交点的问题， 同时考查了利用构造函数法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，是一道综合题，属于难题21（ 12 分）（ 2019 大庆一模）从抛物线G： x2=2py（ p 为常数且p 0）外一点 P 引抛物线 G 的两条切线 PA 和 PB（切点为 A 、B ），分别与 x 轴相交于点 C、D ，若 AB 与 y 轴相交于点 Q（ 1）

31、求证：四边形 PCQD 是平行四边形；（ 2）四边形 PCQD 能否为矩形？若能，求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由【分析】 （ I）设 A ，B 的坐标，求出切线 PA， PB 的方程，解出 P 点坐标，设 Q 坐标和直线 AB 方程，联立方程组得出 P，Q 点的坐标关系证明 CD 平分 PQ，求出 C，D 坐标，得出CD 的中点，代入 PQ 方程即可得出 PQ 平分 CD，于是得出结论；（ II ）若四边形 PCQD 能否为矩形，则 |PQ|=|CD|，列方程解出p， t 的关系得出 Q 坐标2得 y=， y= 【解答】 解：（ I ）由 x =2py设 A （ x1 ，）， B（ x2

32、，），则直线PA 的方程为y=（ x x1）， 直线 PB 的方程为 y=（ x x2）， 由 、解得 x=， y=， P 点坐标为（，）设点 Q（0， t），则直线 AB 的方程为 y=kx+t 由得 x2 2pkx 2pt=0，则 x1+x 2=2pk， x1x2= 2pt，P（ pk， t），线段 PQ 被 x 轴平分，即被线段CD 平分在 中，令 y=0，解得 x=， C（， 0）；同理得 D（， 0），线段 CD 的中点坐标为（， 0），即（， 0）又直线 PQ 的方程为 y= x+t ，线段 CD 的中点（，0）在直线 PQ 上，即线段 CD被线段 PQ 平分，四边形PCQD 是平

33、行四边形（ II ）若四边形PCQD 是矩形，则 |PQ|=|CD|，即=，解得 t=当点 Q 为（ 0，）（即抛物线G 的焦点）时，四边形PCQD 为矩形【点评】 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题选修 4-1：几何证明选讲22（ 10 分）（ 2019 大庆一模）如图，AB 为 O 的直径，过点B 作 O 的切线 BC ， OC交 O 于点 E，AE 的延长线交BC 于点 D（ 1）求证： CE2 =CDCB ；（ 2）若 AB=BC=2 ，求 CE 和 CD 的长2 CED CBE 即可，故连接BE，【分析】 （ 1）要证 CE =CDCB ，结合题意，只需证明利用弦切角的知识即可得证；（ 2）在 Rt 三 OBC 中，利用勾股定理即可得出CE 的长，由（ 1）知， CE2=CDCB ，代入CE 即可得出 CD 的长【解答】 （ 1）证明：连接BE BC 为 O 的切线 ABC=90 ° AB 为 O 的直径 AEB=90 °（2 分） DBE+ OBE=90 °， AEO+ OEB=90 ° OB=OE ， OBE= OEB DBE= AEO（4 分） AEO= CED CED= CBE ， C=C CED CBE ， CE2=CDCB（6 分）（ 2）解： OB