天津市河西区2019届九年级上期中数学试卷含答案解析

1、2018-2019 学年天津市河西区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题 3 分，共36 分）1下列各点，在二次函数y=x 2 2 的图象上的是 ()A （ 0， 0） B （ 1， 1） C（1， 9）D（ 2， 2）2下列图案中，可以看作是中心对称图形的有()A1 个B2 个C3 个D4 个3在平面直角坐标系中，把点的坐标为 ()P（ 3，2）绕原点O 顺时针旋转180°，所得到的对应点PA（3，2）B （2， 3）C（ 3， 2）D（ 3， 2）4下列命题中不正确的是()A 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴B圆是中心对称图形，圆心是它

2、的对称中心C同弧或等弧所对的圆心角相等D平分弦的直径一定垂直于这条弦5抛物线 y=x 2 8x+9 的顶点坐标为 ()A（4，7） B（ 4， 7）C（4， 7）D（ 4， 7）6将抛物线 y=3x2 向上平移 3个单位，再向左平移2 个单位，那么得到的抛物线的解析式为()A y=3（ x+2 ） 2+3B y=3（ x2） 2+3C y=3 （x+2 ） 2 3D y=3（ x2） 2 37如图，以 ABC 的边 BC 为直径的圆 O 分别交 AB ，AC 于点 D 、E，连接 OD 、 OE，若DOE=50 °，则 A 的度数为 ()A 65° B 60° C

3、 50° D 45°8如图，四边形ABCD 内接于圆 O，E 为 CD 延长线上一点，若B=110°，则 ADE 的度数为()A 115°B 110°C 90° D 80°9已知二次函数y= x2 7x+，若自变量x 分别取 x1， x2， x3，且 0 x1 x2x3，则对应的函数值 y1， y2， y3 的大小关系正确的是()A y1y2 y3B y1 y2 y3C y2 y3 y1D y2y3 y110已知二次函数2y=ax +bx+c （ a0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是()A ac 0B b 0C b2

4、 4ac 02D x=3 关于 x 方程 ax +bx+c=0 一个根11已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表：x 10123y105212则当 y 5时， x 的取值范围为 ()A 0x 4 B 4 x 4C x 4 或 x 4D x 412如图， 点 E、F、G、H 分别在菱形 ABCD 的四条边上， BE=BF=DG=DH ，连接 EF，FG，GH， HE ，得到四边形 EFGH ，若 AB=a ， A=60 °，当四边形EFGH 的面积取得最大时，BE 的长度为 ()ABCD二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共 18 分）

5、13圆中最长的弦是_14二次函数y=x （x 6）的图象的对称轴是_15如图，圆 O 的半径为 6，点 A 、B 、C 在圆 O 上，且 ACB=45 °，则点 O 到弦 AB 的距离为 _16如图，已知平行四边形把 BAE 顺时针旋转，得到的度数为 _ABCD 中，AE BC 于点 E，以点 B 为中心，取旋转角等于BA E，连接 DA 若 ADC=60 °， ADA =50°，则ABC ，DA E17已知抛物线y=与 x 轴交于点A ，点 B，与 y 轴交于点C，若 D 为 AB 的中点，则 CD 的长为 _18如图，有一张纸片，若连接EB，纸片被分为矩形FA

6、BE 和菱形 EBCD ，请你画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明画法_三、解答题（本大题共7 小题，共66 分 .解答写出文字说明、演算步骤或推理过程）19如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片，你能帮他找到这个车轮的半径吗？（画出示意图，保留作图痕迹）220已知二次函数y=x 2x3（）当x 取何值时，函数值为0；（）观察图象，当x 取何值时，函数值大于0？21在平面直角坐标系中， O 为原点，点 A （ 2， 0），点 B （ 0，2），点 E，点 F 分别为 OA ，OB 的中点若正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转， 得正方形 OEDF，记旋转角为 当=90°

7、;时，求 AE ， BF的长22如图，已知点 A ，点 B，点 C 在圆 O 上，且 BC 为圆 O 的直径， CAB 的平分线交圆 O 于点 D ，若 AB=6 ，AC=8 （ 1）求圆 O 的半径；（ 2）求 BD 、CD 的长23某宾馆有50 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180 元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10 元时，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用，房价定为多少时，宾馆利润最大？并求出一天的最大利润24已知 O 中，弦 AB=AC ，点 P 是 BAC 所对弧上一动点，连接PB、PA（）如图 ，把 ABP

8、绕点 A 逆时针旋转到 ACQ ，求证：点 P、 C、 Q 三点在同一直线上（）如图 ，若 BAC=60 °，试探究 PA、PB、PC 之间的关系（）若 BAC=120 °时，（ 2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明25如图，抛物线y=ax2+bx ，经过 A （ 1， 0）， B （ 5， 0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使 PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A， C， M ， N四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；

9、若不存在，请说明理由四点构成的2018-2019 学年天津市河西区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题 3 分，共36 分）1下列各点，在二次函数y=x 2 2 的图象上的是 ()A （ 0， 0）B （ 1， 1）C（1， 9）D（ 2， 2）【考点】 二次函数图象上点的坐标特征【分析】 此题可以直接把各选项的坐标代入二次函数看是否满足，再用排除法作答【解答】 解： A 、x=0 时， y=0 2= 20；B、 x= 1 时， y=1 2= 1；C、 x=1 时， y=1 2= 19；D、 x=2 时， y=4 2=2 2；故选 B【点评】 本题考查了二次函数图象上

10、点的坐标特征，通过代入点的坐标来判断是否在函数图象上2下列图案中，可以看作是中心对称图形的有()A1 个 B2 个C3 个D4 个【考点】 中心对称图形【分析】 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行解答【解答】 解：第一个图形，第二个图形，都是中心对称图形，故选： B【点评】 此题主要考查了中心对称图形的概念：关键是中心对称图形要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合3在平面直角坐标系中，把点P（ 3，2）绕原点O 顺时针旋转180°，所得到的对应点P的坐标为()A（3，2）B （

11、2， 3）C（ 3， 2）D（ 3， 2）【考点】 坐标与图形变化-旋转【分析】 将点 P 绕原点 O 顺时针旋转180°，实际上是求点P 关于原点的对称点的坐标【解答】 解：根据题意得，点P 关于原点的对称点是点P，P 点坐标为（3， 2），点 P的坐标（ 3， 2）故选： D【点评】 本题考查了坐标与图形的变换旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键4下列命题中不正确的是()A 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴B圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心C同弧或等弧所对的圆心角相等D平分弦的直径一定垂直于这条弦【考点】 命题与定理【分析】 利用圆的对称

12、性、圆周角定理及垂径定理分别判断后即可确定正确的选项【解答】 解： A 、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，正确；B、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确；C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确；D、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，错误，故选 D【点评】 本题考查了命题与定理的知识， 解题的关键是了解圆的对称性、 圆周角定理及垂径定理，属于基础题，难度不大5抛物线 y=x 2 8x+9 的顶点坐标为 ()A（4，7） B（ 4， 7）C（4， 7）D（ 4， 7）【考点】 二次函数的性质y=x 2【分析】 利用配方法将抛物线的解析式8x+9 转化为顶点式解析式，

13、然后求其顶点坐标【解答】 解：由 y=x 2 8x+9，知y=（ x 4）2 7；抛物线 y=x 2 8x+9 的顶点坐标为： （ 4， 7）故选 C一般式： y=ax2+bx+c ，顶点式：【点评】 本题考查了二次函数的性质二次函数的三种形式：y=（ x h）2+k ；两根式： y=a（ x x1）（ x x2）6将抛物线 y=3x2 向上平移 3 个单位，再向左平移2 个单位，那么得到的抛物线的解析式为()A y=3（ x+2 ） 2+3B y=3（ x2） 2+3C y=3 （x+2 ） 2 3D y=3（ x2） 2 3【考点】 二次函数图象与几何变换【专题】 探究型【分析】 直接根据

14、 “上加下减，左加右减 ”的原则进行解答即可【解答】 解：由 “上加下减 ”的原则可知，将抛物线y=3x 2 向上平移3 个单位所得抛物线的解析式为： y=3x 2+3；由“左加右减 ”的原则可知， 将抛物线 y=3x 2+3向左平移 2 个单位所得抛物线的解析式为： y=3（x+2 ） 2+3故选 A【点评】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键7如图，以 ABC 的边 BC 为直径的圆O 分别交 AB ，AC 于点 D 、E，连接 OD 、 OE，若DOE=50 °，则 A 的度数为 ()A 65° B 60° C

15、50° D 45°【考点】 圆周角定理【分析】 由 DOE=50 °，可求得 BOD 与 COE 的和，又由OB=OD=OC=OE ，可求得 B+ C 的和，继而求得答案【解答】 解： DOE=50 °， BOD+ COE=130 °，OB=OD ， OC=OE，B=，C=， B+ C=180°（ BOD+ COE） =180°×130°=115°， A=180 °（ B+ C） =65 °故选 A【点评】此题考查了圆的性质以及等腰三角形的性质注意整体思想的应用是解此题的关键

16、8如图，四边形ABCD 内接于圆 O，E 为 CD 延长线上一点，若B=110°，则 ADE 的度数为()A 115°B 110°C 90° D 80°【考点】 圆内接四边形的性质【分析】 由四边形 ABCD 内接于圆 O，E 为 CD 延长线上一点， 若 B=110 °，根据圆的内接四边形的性质，即可求得 ADC 的度数，继而求得答案【解答】 解：四边形 ABCD 内接于圆 O， B=110°， ADC=180 ° B=70 °， ADE=180 ° ADC=110 °故选 B【点评

17、】 此题考查了圆的内接多边形的性质注意圆的内接四边形的对角互补9已知二次函数y=x2 7x+，若自变量x 分别取x1， x2， x3，且0 x1 x2x3，则对应的函数值y1， y2， y3 的大小关系正确的是(A y1y2 y3B y1 y2 y3C y2 y3 y1)D y2y3 y1【考点】 二次函数图象上点的坐标特征【专题】 压轴题【分析】 根据 x1、 x2、x3 与对称轴的大小关系，判断y1、 y2、 y3 的大小关系【解答】 解：二次函数y=x2 7x+，此函数的对称轴为：x= = 7， 0 x1 x2x3，三点都在对称轴右侧， a 0，对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小， y

18、1 y2 y3故选： A【点评】此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性， 利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键10已知二次函数y=ax2+bx+c （ a0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是()A ac 0B b 0C b2 4ac 0D x=3 关于 x 方程 ax2+bx+c=0 一个根【考点】 二次函数图象与系数的关系【分析】 由开口向上，判定 a0，与 y 轴交于负半轴，判定c 0，对称轴在 y 轴右侧，判定 b 0，则可得 A ， B 正确；由抛物线与 x 轴有 2 个交点，判定 =b2 4ac 0，可得 C 错误；由抛物线与 x 轴的一个交点为（ 1，

19、0），对称轴为直线x=1，可得抛物线与x 轴的另一个交点为（ 3， 0），即可得 x=3 关于 x 方程 ax2+bx+c=0 一个根则可得D 正确【解答】 解： A 、开口向上，a 0，与 y 轴交于负半轴，c 0，ac 0，故本选项正确；B、 a0，对称轴在y 轴右侧，b 0，故本选项正确；C、抛物线与x 轴有 2 个交点， b2 4ac 0，故本选项错误；D、抛物线与x 轴的一个交点为（1， 0），对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴的另一个交点为（3， 0）， x=3 关于 x 方程 ax2+bx+c=0 一个根；故本选项正确故选 C【点评】 此题考查了二次函数的图象与系数的关系注意二次

20、函数y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定11已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表：x 10123y105212则当 y 5 时， x 的取值范围为 ()A 0x 4 B 4 x 4C x 4 或 x 4D x 4【考点】 二次函数的性质【分析】 根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4 时， y=5 ，然后写出 y 5时， x的取值范围即可【解答】 解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2 ，所以， x=4 时， y=5，所以， y5时， x 的取值范围为0 x 4故选 A

21、【点评】 本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y=5 的另一个 x 的值是解题的关键12如图， 点 E、F、G、H 分别在菱形 ABCD 的四条边上， BE=BF=DG=DH ，连接 EF，FG，GH， HE ，得到四边形 EFGH ，若 AB=a ， A=60 °，当四边形EFGH 的面积取得最大时，BE 的长度为 ()ABCD【考点】 菱形的性质；二次函数的最值；矩形的判定与性质【分析】 利用等腰三角形的性质：等边对等角，以及平行线的性质可以证得DGH+ CGH=90 °，则 HGF=90 °，根据三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形EFGH 是矩形；

22、设 BE 的长是 x，则利用 x 表示出矩形 EFGH 的面积，根据函数的性质即可求解【解答】 解： DG=DH ， DHG= DGH ，同理 CGF=， DGH+ CGF=，又菱形 ABCD 中， AD BC， D+ C=180°， DGH+ CGF=90 °， HGF=90 °，同理， GHE=90 °， EFG=90 °，四边形 EFGH 是矩形； AB=a ， A=60 °，菱形 ABCD 的面积是：a2，设 BE=x ，则 AE=a x，则 AEH 的面积是：，BEF 的面积是：，则矩形EFGH的面积y=a2x2，即 y=

23、x2+ax，则当x=时，函数有最大值此时 BE=故选： C【点评】 本题考查了菱形的性质， 矩形的判定以及二次函数的性质， 正确利用 x 表示出矩形 EFGH 的面积是关键二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共 18 分）13圆中最长的弦是直径【考点】 圆的认识【分析】 根据圆的性质直接回答即可【解答】 解：圆中最长的弦是直径，故答案为：直径【点评】 本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆中最长的弦是直径，难度不大14二次函数y=x （x 6）的图象的对称轴是x=3【考点】 二次函数的性质【分析】 将抛物线的一般式转化为顶点式，可求对称轴，也可以用对称轴公式求解22【解答】 解： y=

24、x （x 6） =x 6x=（ x 3） 9，抛物线的对称轴为直线x=3故答案为： x=3 【点评】 本题考查了二次函数的性质抛物线的顶点式y=a（x h） 2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h15如图，圆O 的半径为6，点A、B、C 在圆O 上，且ACB=45 °，则点O 到弦AB的距离为3【考点】 圆周角定理；等腰直角三角形【分析】 连接 OA 、OB、作 ODAB 于点 D，证明 OAB 是等腰直角三角形，则 OD=AB ，据此即可求解【解答】 解：连接 OA 、 OB、作 OD AB 于点 D OAB 中， OB=OA=6 ， AOB=2 ACB=90 °

25、;，AB=6 ，又 ODAB 于点 D，OD=AB=3故答案是： 3【点评】 本题考查了圆周角定理，正确证明 OAB 是等腰直角三角形是关键16如图，已知平行四边形 ABCD 中，AE BC 于点 E，以点 B 为中心，取旋转角等于 ABC ，把 BAE 顺时针旋转，得到 BA E，连接 DA 若 ADC=60 °， ADA =50°，则 DA E 的度数为 160°【考点】 旋转的性质【专题】 计算题【分析】 根据平行四边形的性质得 ABC= ADC=60 °， AD BC ，则根据平行线的性质可计算出 DA B=130 °，接着利用互余计算

26、出 BAE=30 °，然后根据旋转的性质得 BA E=BAE=30 °，于是可得 DA E=160°【解答】 解：四边形ABCD 为平行四边形， ABC= ADC=60 °， AD BC ， ADA +DA B=180 °， DA B=180 ° 50°=130°，AE BE， BAE=30 °， BAE 顺时针旋转，得到BA E， BA E=BAE=30 °， DA E=130 °+30 °=160 °故答案为160°【点评】 本题考查了旋转的性质： 对

27、应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了平行四边形的性质17已知抛物线y=与 x 轴交于点A ，点B，与y 轴交于点C，若D 为AB的中点，则CD的长为【考点】 抛物线与x 轴的交点【专题】 推理填空题【分析】 根据y= 可以求得此抛物线与x 轴的交点A 和点B 的坐标，与y 轴交点C 的坐标，从而可以求得点D 的坐标，进而可以求得CD的长【解答】 解：令y=0，则解得， x1= 3， x2=12令 x=0 ，则 y=6 抛物线y=与 x轴交于点A ，点B，与y 轴交于点C， D为AB的中点，点点A 的坐标为（3， 0），点D 的坐标为

28、（ 4.5， 0）B 的坐标为（12，0），点C 的坐标为（0， 6）CD=故答案为：【点评】 本题考查抛物线与 x 轴的交点， 解题的关键是根据抛物线的解析式可以求得各点的坐标18如图，有一张纸片，若连接EB，纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD ，请你画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明画法连接BF、AE交于M ，连接BD、 EC 交于 N，作直线 MN 【考点】 中心对称【分析】 根据中心对称的性质、菱形和平行四边形是中心对称图形矩形解答即可【解答】 解：如图，连接BF 、 AE 交于 M ，连接 BD 、 EC 交于 N ，作直线 MN ，则直线MN 即为所求【点评】 本题

29、考查的是中心对称的性质， 理解矩形和平行四边形的中心对称图形是解题的关键三、解答题（本大题共7 小题，共66 分 .解答写出文字说明、演算步骤或推理过程）19如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片， 你能帮他找到这个车轮的半径吗？ （画出示意图，保留作图痕迹）【考点】 垂径定理的应用；勾股定理【分析】 确定圆心的位置就相应的确定了半径，圆心在圆的弦的垂直平分线上作出圆的两条弦的垂直平分线的交点就是圆心【解答】 解：【点评】 本题主要考查了垂径定理及其推论垂直平分弦的直线一定过圆心220已知二次函数y=x 2x3（）当x 取何值时，函数值为0；（）观察图象，当x 取何值时，函数值大于0？【考点

30、】 二次函数的性质；二次函数的图象【分析】（ 1）先利用配方法得到顶点式， 确定抛物线的顶点坐标坐标和对称轴，然后利用列表、描点、连线画二次函数图象；（2）根据图象直接写出当x 取何值时函数值为0 即可；（3）函数值大于0 就是函数的图象位于x 轴的上方，从而确定答案【解答】 解：（ 1） y=x2 2x 3=（ x1）2 4，列表：x 10123y0 3 4 30描点：连线，如图（2）观察图象知：当x= 1 或 x=3时， y=0 ；（3）当 x 1 或 x 3 时函数值大于0【点评】 本题考查了函数的性质及二次函数的图象的作法，二次函数图象为抛物线，利用列表、描点、连线画二次函数图象21在

31、平面直角坐标系中， O 为原点，点 A （ 2， 0），点 B （ 0，2），点 E，点 F 分别为 OA ，OB 的中点若正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转， 得正方形 OEDF，记旋转角为 当=90°时，求 AE ， BF的长【考点】 旋转的性质；坐标与图形性质【专题】 计算题【分析】 根据点 A 和点 B 的坐标得到OA=2 ， OE=1 ， OB=2 ， OF=1 ，再根据旋转的性质得E（ 0， 1）， F（1， 0），然后利用勾股定理计算AE ，BF 的长【解答】 解：点 A （ 2， 0），点 B （ 0， 2），点 E，点 F 分别为OA，OB的中点， OA=2 ，

32、 OE=1， OB=2 ，OF=1 ，正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转90°，得正方形OEDF，E（ 0， 1）， F（ 1， 0），在 Rt OAE 中， AE =；在 Rt OBF中， BF =即 AE ，BF 的长都为【点评】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了坐标与图形性质22如图，已知点 A ，点 B，点 C 在圆 O 上，且 BC 为圆 O 的直径， CAB 的平分线交圆 O 于点 D ，若 AB=6 ，AC=8 （ 1）求圆 O 的半径；（ 2）求 BD 、CD 的长【考点】 圆

33、周角定理；勾股定理；等腰直角三角形【分析】（ 1）由圆周角定理可得 BAC=90 °，进而根据勾股定理求出 BC 的长度，即圆的直径，继而半径可求出；（ 2）根据角平分线的定义可得 DAC= BCD ，然后求出 AD=BD ，再根据等腰直角三角形的性质其解即可【解答】 解：（ 1） BC 是直径， CAB= BDC=90 °（直径所对的圆周角是直角） ，在 Rt ABC 中， AB=6 ，AC=8 ，BC=10 ，圆 O 的半径 OC=5；（ 2）BC 是直径， CAB= BDC=90 °（直径所对的圆周角是直角）， CAB 的平分线交O 于点 D， CAB= B

34、AD ，CD=BD ，在 Rt CBD 中， CD=BD=×10=5【点评】 本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是求出CAB= CDV=90 °23某宾馆有50 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180 元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10 元时，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20 元的各种费用，房价定为多少时，宾馆利润最大？并求出一天的最大利润【考点】 二次函数的应用【分析】 设每个房间每天的定价增加 x 元，宾馆所得利润为 y，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论【解答】 解：设每

35、个房间每天的定价增加x 元，宾馆所得利润即其中 0x500，且 x 是 10 的倍数当时，房价定为180+170=350 时，宾馆利润最大答：房价定为350 元，宾馆利润最大，一天的最大利润为10890 元【点评】 本题考查了二次函数的应用，要求同学们仔细审题，将实际问题转化为数学模型，注意配方法求二次函数最值的应用24已知 O 中，弦 AB=AC ，点 P 是 BAC 所对弧上一动点，连接PB、PA（）如图 ，把 ABP 绕点 A 逆时针旋转到 ACQ ，求证：点 P、 C、 Q 三点在同一直线上（）如图 ，若 BAC=60 °，试探究 PA、PB、PC 之间的关系（）若 BAC=

36、120 °时，（ 2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明【考点】 圆的综合题【专题】 证明题【分析】（）连结PC，如图 ，根据旋转的性质得ABP= ACQ ，再根据圆内接四边形的性质得 ABP+ ACP=180 °，则 ACQ+ ACP=180 °，于是可判断点P、C、 Q 三点在同一直线上；（）把 ABP 绕点 A 逆时针旋转到 ACQ ，如图 ，则由 得点 P、 C、 Q 三点在同一直线上，根据旋转的性质得BAP= CAQ ， AP=AQ ，PB=CQ ，而 BAP+ PAC=60 °，则 PAC+ CAQ

37、=60 °，即 PAQ=60 °，于是可判断 APQ 为等边三角形， 所以 PQ=PA=PB+PC ；（）把 ABP 绕点 A 逆时针旋转到 ACQ ，如图 ，由 得点 P、 C、 Q 三点在同一直线上， BAP= CAQ ，AP=AQ ，PB=CQ ，由 BAP+ PAC=120°，得到 PAC+ CAQ=120 °，即 PAQ=120 °，可计算出 P= Q=30°，作 AH PQ，根据等腰三角形的性质得PH=QH ，在 Rt APH中，利用余弦的定义得cos APH=cos30 °=，则PH=PA，由于PQ=PC+CQ

38、=PC+PB=2PH，所以得到PB+PC=PA【解答】（）证明：连结PC，如图 ，把 ABP 绕点 A 逆时针旋转到ACQ ， ABP= ACQ ，四边形 ABPC 为 O 的内接四边形， ABP+ ACP=180 °， ACQ+ ACP=180 °，点 P、C、 Q 三点在同一直线上；（）解： PA=PB+PC 理由如下：把 ABP 绕点 A 逆时针旋转到 ACQ ，如图 ，由 得点 P、C、Q 三点在同一直线上， BAP= CAQ ， AP=AQ ， PB=CQ ，而 BAC=60 °，即 BAP+ PAC=60 °， PAC+ CAQ=60 °，即 PAQ=60 °， APQ 为等边三角形，PQ=PA ，PA=PC+CQ=PC+PB ；（）（ 2）中的结论不成立，PA、 PB、 PC 之间的关系为PA=PB+PC 理由如下：把 ABP绕点 A 逆时针旋转到